文档内容
专题3.1 用树状图或表格求概率+专题3.2 用频率估计概率
【学习目标】
1.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
2.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
3.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
4.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
【知识梳理】
1.树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，
也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
注意：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结
果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的
次数和方式，并求出概率的方法.
注意：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都
相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个
m
数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）= .
n
4．判断游戏的公平性
（1）判断游戏公平性的方法
游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若
概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。
（2）把不公平的游戏变为公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。
5.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
m
概率：事件A的频率 n 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.6.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当
试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而
频率是概率的近似值.
注意：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大
小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频
率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常
的.
7.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估
计概率.
注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果
将较为精确.
8．模拟试验
（1）模拟试验：在用试验法求某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定
难度，或所等的结果误差较大，或试验次数太多，或试验具有一定的破坏性，因而完成试验既费时
又费力。这时，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。
（2）模拟试验的两种方法：①利用替代物模拟试验估计概率；②利用计算器模拟试验估计概率。
（3）利用计算器产生随机数的大体步骤：
①进入产生随机数状态；②输入所产生随机数的范围；③按键得出随机数。
【高频考点精讲】
【高频考点1】用树状图或表格法求概率
例1.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有
1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______．
变式1.（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）某校九年级举行毕业典礼，需要从3名女生和1
名男生中随机选择主持人．(1)如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是______；
(2)如果选择2名主持人，请求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
【高频考点2】用表格法求概率
例2.（2022·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一
个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然
后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y．(1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有
可能出现的结果；(2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率．变式1.（2022·成都市·九年级专题练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品 九年
级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制
作了如下两幅不完整的统计图．
王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生 现在要在
其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 (要求写出用树状图或列表分
析过程)。
【高频考点3】几何图形求概率
例3.（2022·山东烟台·七年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中 ，
，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂
色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形网格中， 的三个顶点
均在格点上，若向正方形网格中投针，落在 内部的概率是________________．变式2．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆
面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A． B． C． D．
【高频考点4】游戏的公平性
例4.（2022·湖南湘西·九年级期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时
间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除
了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；
(3)如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获
胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．
变式1．（2022·广东·九年级单元测试）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，
描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
变式2．（2022·山东·青岛大学附属中学三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分
成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两
次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．【高频考点5】修改游戏方案
例5.（2022·湖北咸宁·九年级阶段练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标
有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲
先摸，摸出后不放回，乙再摸．(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓
球的概率；(2)他俩约定：若甲摸到的球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球
面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改
规则，设计一个公平的游戏方案．
变式1．（2022·陕西师大附中九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明
都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由
转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能
配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公中吗？请说明理由．若不公平，
如何修改规则才能使游戏对双方公平？
【高频考点6】用频率估计概率（1）
例6.（2022·浙江·温州外国语学校九年级期中）在一个暗箱里放有 个除颜色外完全相同的球，这
个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的
重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出 约为（ ）
A．16 B．13 C．10 D．7变式1．（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购
买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
变式2．（2022·陕西西安·七年级期末）不透明袋子里装有仅颜色不同的12个白色和若干个橙色乒
乓球，随机从袋子里摸出1个乒乓球记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到白色乒乓
球的频率稳定在0.6附近，则估计袋子中橙色乒乓球有_______个．
【高频考点7】用频率估计概率（2）
例7.（2022·河北·九年级课时练习）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除
颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统
计图根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，①估算一下袋中两种颜色球共有 个；
②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试
验后，摸出黑球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．
变式1．（2022·四川达州·七年级期末）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出
现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），
摸到红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
变式2.（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）某水果公司新进得一批草莓，销售人员首先从所有的草
莓中随机抽取若干草莓，进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
草莓总质量 … 50 100 150 200
损坏草莓质量 … 5.15 10.09 14.98 20.42
草莓损坏的频率 （精确到 … 0.103 0.101 0.100 a
0.001）
(1)填空： ___________；(2)估计草莓损坏的概率约为___________（精确到0.1）；
(3)这批草莓的总重量为 ，成本价是16元/ ，若公司把售价定为30元/ ，那么公司售出
草莓（去掉损坏的草莓）最终能够获得多少利润．
【能力提升】
一．选择题
1．（2022·广西贵港·八年级期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（）
A．80 B．64 C．1.2 D．0.8
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指
针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北十堰·）在如图所示的电路中，随机闭合开关S、S、S 中的两个，能让灯泡L 发光
1 2 3 1
的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张
卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西九年级期中）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明
同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 的正方形区域内，为了估计图中黑
色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定
在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）A． B． C． D．
6．（2022·浙江九年级期中）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频
数表如下：
抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 30 80 120 140 445 720 900
合格频率 0.6 0.8 0.8 0.7 0.89 0.9 0.9
估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（ ）
A．1080套 B．960套 C．840套 D．720套
7．（2022·山东九年级期中）数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的
频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
8．（2022·山东·九年级课时练习）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通
关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次
“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同
9．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在一次用频率估计概率的实验中，从一副去掉大小王的扑
克牌中，任意抽取一张，把抽到红桃出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（ ）A． B．
C． D．
10．（2022·山西）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所
示：
实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率
棣莫弗 2048 1061 0.5181
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（ ）
A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小
B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5
C．每多抛一次，频率会更加接近0.5
D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等
二．填空题
11．（2022·江苏淮安·九年级期中）一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球， 摇匀后每次
随机从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回袋中， 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为_________个．
12．（2022·陕西渭南·七年级期末）两个正方形如图摆放，假设可以随意在图中取点，那么这个点
取在阴影部分的概率为______．
13．（2022·重庆·模拟预测）从写有数字﹣2，﹣3，0，5的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡
片上的数字之和能被5整除的概率为_____．
14．（2022·江苏宿迁·八年级期末）事件 发生的概率为 ，大量重复做这种试验，平均每100次
实验，事件 发生的次数是_______
15．（2022·河南洛阳·）如图，两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两
个转盘．转停北后，指针将指向一个扇形区域（指针指向区域分割线时重新转动转盘），则指针所
指区域内的数字之和为4的概率是______．
16．（2022·浙江·金华市君华国际学校一模）某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率
为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．
平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本．
17．（2022·湖北九年级期中）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面
提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响
应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成
立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．
现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女
生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为_________．（直接填数字）
18．（2022·四川南充·九年级期中）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n
个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从
袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的
值是___．
三．解答题
19．（2022·江苏扬州·八年级期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如
图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到白球的概率估计值为________
（精确到0.1）；(2)若袋子中白球有4个，①求袋中黑色球的个数；②若将m个相同的白球放进了
这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是
________．（用含m的式子表示）
20．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为
求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到
0.1）．(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆
内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．(3)请你利用（2）中所得频率的
值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留 ）
21．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉
子， 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 处投
放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿
该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
22．（2022·广西·九年级专题练习）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的
残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组白鼠给服甲离
子溶液， 组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某
种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：
离子残留百分比
分组
给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12
给服乙离子白鼠（只
5 a 15 b 20 15
数）
（注：表中 表示实验数据 的范围为 ）
若记 为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到 的估
计值为0.70．
（1） _______； _______．
（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残
留百分比的平均值估计如下： ，
用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值．
（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数
据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残留百分比
中位数 众数 方差
分组
给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8
23．（2022·江苏淮安·九年级期中）有两个构造完全相同 (除所标数字外) 的转盘 A、B．小红和小
明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次， 两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小
红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大．
24．（2022·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外
都相同．(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；(2)搅匀后从中任意摸出
一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸
到红球的概率．
25．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，
3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点
数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)26．（2022·四川乐山·九年级期末）在一不透明的口袋中装有3个球，这3个球分别标有数字1、
2、 3 ，这些球除了数字外都相同．
(1)如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？
(2)小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球记下球的数字后放回搅匀后
再由小亮随机摸出一个球记下数字．若摸出的球的数字相同为平局，谁摸出的球的数字大谁获胜．
请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
