专题3.1直角坐标系中的面积问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 3.1 直角坐标系中的面积问题 【例题精讲】 【例1】如图，平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，求四边形 的面积． 【解答】解：如图，作 轴于点 ， 轴于点 ． 则 ， ， ， ， 答：四边形 的面积是8.5． 【例2】如图所示，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，且 ， 满足 ，点 的坐标为 ．（1）求 ， 的值及 ； （2）若点 在 轴上，且 ，试求点 的坐标． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， 点 ，点 ． 又 点 ， ， ， ． （2）设点 的坐标为 ，则 ， 又 ， ， ， ， 即 ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ．【题组训练】 静态面积 1．如图，四边形 各个顶点的坐标分别是 ， ， ， ．求这 个四边形的面积． 【解答】解：分别过 点和 点作 轴和 轴的平行线，如图， 则 ， 所以 ． 2．如图，写出 各顶点的坐标并且求出三角形的面积．【解答】解：如图， ， ， ， ． 3．如图，四边形 所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）建立以点 为原点， 边所在直线为 轴的直角坐标系．写出点 、 、 、 的 坐标； （2）求出四边形 的面积．【解答】解：（1）如图， ， ， ， ； （2）四边形 的面积 ． 4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1， 的三个顶点恰好 是正方形网格的格点． （1）写出图中所示 各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积．【解答】解：（1） ， ， ； （2）如图所示： ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半 轴上一点，其中 满足方程 ． （1）求点 ， 的坐标； （2）点 为 轴负半轴上一点，且 的面积为12，求点 的坐标；【解答】解：（1）解方程 ，得到 ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ， 点 在 轴的负半轴上， ， ． 动态面积 7．已知： ， ， （1）求 的面积； （2）设点 在坐标轴上，且 与 的面积相等，求点 的坐标．【解答】解：（1） ； （2）如图所示：以 ， 为底，符合题意的有 、 、 以 ， 为底，符合题意的有： 、 ． 8．如图，已知 、 、 （1）求点 到 轴的距离； （2）求 的面积； （3）点 在 轴上，当 的面积为6时，请直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） ， ， 点 到 轴的距离为3；（2） 、 、 ，点 到边 的距离为： ， 的面积为： ． （3）设点 的坐标为 ， 的面积为6， 、 ， ， ， 或 ， 点的坐标为 或 ． 9．如图， ， ，点 在 轴上，且 ． （1）求点 的坐标； （2）求 的面积； （3）在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形的面积为 10？若存在， 请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点 在点 的右边时， ， 点 在点 的左边时， ，所以， 的坐标为 或 ； （2） 的面积 ； （3）设点 到 轴的距离为 ， 则 ， 解得 ， 点 在 轴正半轴时， ， 点 在 轴负半轴时， ， 综上所述，点 的坐标为 或 ． 10．已知：如图， 的三个顶点位置分别是 、 、 ． （1）求 的面积是多少？ （2）若点 、 的位置不变，当点 在 轴上时，且 ，求点 的坐标？ （3）若点 、 的位置不变，当点 在 轴上时，且 ，求点 的坐标？【解答】解：（1） ， ， ， ， 点 到 的距离为3， 的面积 ； （2） ， 以 为底时， 的高 ， 点 在 轴正半轴时， ； 点 在 轴负半轴时， ； （3） ， 以 为底时， 的高为3，底边 ， 点 在 的左边时， ，即 ； 点 在 的右边时， ，即 ． 11．已知在平面直角坐标系中有三点 、 、 ．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点 、 、 的位置； （2）求出以 、 、 三点为顶点的三角形的面积； （3）在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形的面积为 10，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）描点如图； （2）依题意，得 轴，且 ， ； （3）存在； ， ， 点到 的距离为4， 又点 在 轴上， 点的坐标为 或 ．12．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，过点 分别作 轴、 轴的平行线，交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是从点 出发，沿 以2个单位长度 秒的速度 向终点 运动的一个动点，运动时间为 （秒 ． （1）直接写出点 和点 的坐标 0 ， 、 ， ； （2）当点 运动时，用含 的式子表示线段 的长，并写出 的取值范围； （ 3 ） 点 ， 连 接 、 ， 在 （ 2 ） 条 件 下 是 否 存 在 这 样 的 值 ， 使 ，若存在，请求出 值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， 故答案为：0、6，8、0；（2）当点 在线段 上时， 由 ， ， 可得： ， ， ， ； 当点 在线段 上时， 点 走过的路程 ． （3）存在两个符合条件的 值， 当点 在线段 上时 ， 解得： ， 当点 在线段 上时， ，解得： ，综上所述：当 为3秒和5秒时 ， 13 ． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， 其 中 ， 满 足 ． （1）填空： ， ； （2）如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积； （3）在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得 的面积与 的 面积相等，请求出点 的坐标． 【解答】解：（1） ， 且 ， 解得： ， ， 故答案为： ，3； （2）过点 作 轴于点 ， ， ，， 又 点 在第三象限 ； （3）当 时， ， 点 有两种情况：①当点 在 轴正半轴上时，设点 ， ， ， 解得： ， 点 坐标为 ； ②当点 在 轴负半轴上时，设点 ，， ， ， 解得： 点 坐标为 ， 故点 的坐标为 或 ． 14 ． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， 其 中 ， 满 足 ． （1）求 ， 的值； （2）如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积； （3）在（2）条件下，当 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点 ，使得四边形 的面积与 的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ， 满足 ， ， ， 解得 ， ． 故 的值是2， 的值是3； （2）过点 作 轴于点 ． 四边形 面积 ； （3）当 时，四边形 的面积 ． ， ①当 在 轴负半轴上时， 设 ，则 ， 解得 ； ②当 在 轴负半轴上时， 设 ，则 ， 解得 ． 或 ．15．已知点 、 ，且 ． （1）求 、 的值． （2）在 轴的正半轴上找一点 ，使得三角形 的面积是15，求出点 的坐标． （3）过（2）中的点 作直线 轴，在直线 上是否存在点 ，使得三角形 的面积是三角形 面积的 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ； （2）如图1， 、 ， ， 三角形 的面积是15， ， ，； （3）存在，如图2， 三角形 的面积是15， ， ， ， 或 ． 16．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ， ， ，其中 ， 满足关系式 ， ． （1）求 、 、 三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点 ，使 得面积与 的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在第四象限内有一点 ，请用含 的代数式表示四边形 的面积． 【解答】解：（1）根据题意得， ， ， 解得 ， ， ， 点 ， ， ； （2） ， 点 在 轴上时， ， 解得 ， 点 的坐标为 或 ， 点 在 轴时， ， 解得 ， 点 的坐标为 或 ，综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ； （3） ， ， ， ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 、 、 满 足关系式 ， （1）求 、 、 的值． （2）如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积． （3）在（2）的条件下，是否存在点 ，使四边形 的面积与 的面积相等？若 存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知 ， 可得： ， ， ； （2） ， ， ； （3）因为 ， ， 则 ， 所以存在点 使 ． 18．如图在直角坐标系中，已知 ， ， ， 三点，若 ， ， 满足关系式： ． （1）求 ， ， 的值． （2）求四边形 的面积． （3）是否存在点 ，使 的面积为四边形 的面积的两倍？若存在，求 出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， ，， ， ； （2） ， ， ， ； 四边形 为直角梯形，且 ， ， ， 四边形 的面积 ； （3）设存在点 ，使 的面积为四边形 的面积的两倍． 的面积 ， ， 存在点 或 ， 使 的面积为四边形 的面积的两倍．