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专题 3.2-4 图形的旋转与中心对称图形
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2020·扬州市梅岭中学初二期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；
B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；
D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；
故选：B.
2．（2020·江西省初三其他）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的
九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放人盒中空格的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【解析】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，
∴恰好能放入的有①②③④．
故选：D．
3．（2020·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，点G的坐标是 ，连接 ，将线段 绕原点
O旋转 ，得到对应线段 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得， 与G关于原点对称，
∵点G的坐标是 ，∴点 的坐标为 ．
故选A．
4．（2019·山东省初三期末）如图，BA=BC，∠ABC=80°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点
E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解析】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，
∴∠CBD=∠ABE，BD=BE，
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE +∠ABD，∠ABC=80°，
∴∠EBD=∠ABC=80°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE= （180°-∠EBD）= （180°-80°）=50°，
故选：A．
5．（2020·辽宁省初二期末）如图， 中，∠B＝30°，∠C＝90°，将 绕点A按顺时针方
向旋转到 的位置，使得点C、A、B 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
1
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】 在 中，
由旋转的性质得： 为旋转角，
点C、A、 在同一条直线上
即旋转角等于
故选：C．6．（2020·山东省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，
0），AC=2．将Rt ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐
标是（ ）
△
A．（2，2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【答案】A
【解析】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
如图所示，
将Rt ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（﹣1，2），
△
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2），
故选：A．
7．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB C
1 1
的位置，点B，O（分别落在点B ，C 处，点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△AB C 的
1 1 1 1 1 1 1 1 2
位置，点C 在x轴上，再将△AB C 绕点C 顺时针旋转到△AB C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下
2 1 1 2 2 2 2 2 2
去，…，若点A(3，0)，B(0，4)，AB=5，则点B 的坐标为________．
2021
【答案】（12128，0）
【详解】解：∵AO=3，BO=4，∠AOB=90°
∴AB= ，
∴OA+AB +B C =3+5+4=12，
1 1 2
∴B 的横坐标为：12，且B C =4，
2 2 2
∴B 的横坐标为：2×12=24，
4
∵2021÷2=1010…1，
∴点B 的横坐标为：1010×12+3+5=12128．
2021
2021÷3=673…2，
∴点B 的纵坐标为0，
2021
∴B （12128，0），
2021
故答案为：（12128，0）．
8．（2020·海南省中考真题）如图，在 中， 将 绕
点 逆时针旋转得到 ，使点 落在 边上，连接 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知： ，且 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
故选：B．
9．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，点 是等边 内一点，将 以点 为中心顺时
针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，且任意三角形内角和都为180°
∴
∵ 为等边三角形
∴ °
∵ °
∴
∴
∵ 以点C为中心顺时针旋转60°得到
∴
∴
故选：D
10．（2020·辽宁省初二期中）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝
AC＝ ，则图中阴影部分的面积等于( )
A．2﹣ B．1 C． D． ﹣l【答案】D
【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= ，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC= ，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD= BC=1，AF=FC′= AC′=1，
∴DC′=AC′-AD= -1，
∴图中阴影部分的面积等于：S -S = ×1×1- ×（ -1）2= -1，
AFC′ DEC′
△ △
故选D.
11．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），
C（0， ）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A 处，则点B的对应
1
点B 的坐标为（ ）
1
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OB ，作B H⊥OA于H，
1 1
由题意，得OA=6，AB=OC=2 ，则tan∠BOA= ，
∴∠BOA=30°，
∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知∠B OB=∠BOA=30°，
1
∴∠B OH=60°，
1
在△AOB和△HB O，
1
∴△AOB≌△HB O，
1
∴B H=OA=6，OH=AB=2 ，
1
∴点B 的坐标为（-2 ，6），
1
故选：D．
12．（2020·濮阳市第一中学九年级月考）如图， 是正 内一点， ， ， ，
将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论：① 可以由 绕点
逆时针旋转 得到；②点 与 的距离为4；③ ；④ ．其中正确的
结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=OC=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S =S +S = ×3×4+ ×42=6+4 ，故④错误；
四边形AOBO′ AOO′ OBO′
△ △
13．（2020·河南省初三学业考试）如图，在 中， ， ， ，D为AC中点，
P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转 得到 ，连 ，线段 最小值为
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A=∠P'ED=90°，
由旋转可得，DP=P'D，∠PDP'=90°，
∴∠ADP=∠EP'D，
在△DAP和△P'ED中，∴△DAP≌△P'ED（AAS），
∴P'E=AD=2，
∴当AP=DE=2时，DE=DC，即点E与点C重合，
此时CP'=EP'=2，
∴线段CP′的最小值为2，
故选C．
14．（2020·黑龙江省初三月考）如图，已知正方形 ， ， 是 中点， 平分
交 于点 ，将 绕点 顺时针旋转 得 ，则下列结论中：① ；②
；③ 平分 ；④ ；⑤ ．正确结论的序号是
（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④
【答案】B
【解析】过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，
∵四边形ABCD是正方形， ， 是 中点，
∴∠D=∠C=∠ABC=90º，BC=AD=CD=AB=4，DE=CE=2，
∴四边形CFMD是矩形，且 ，
∴FM=CD=4，
∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，
∴ ，故①正确；
且AG=AE= ，BG=DE=2，∠DAE=∠BAG，∠D=∠BAG=90º，
∴点G在CB的延长线上，
∵ 平分 交 于点 ，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=∠BAG+∠BAF即∠DAF=∠GAF，
∴ 平分 ，故③正确；
∴FN=FM=4，∵ ，
∴GF= ，故④错误；
∴BF= ，
CF=BC+BG-BF= ，故⑤正确；
又AE≠AB≠BF,，
∴ 不成立，故②错误，
∴正确的序号为①③⑤，
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·湖南省初一期末）如图，将等边三角形OAB绕O点按顺时针方向旋转160°，得到三角形
OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1=_________度；
【答案】100
【解析】解：∵将等边三角形OAB绕O点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA＇B＇，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：100．
16．（2019·湖南省初三学业考试）如图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA绕点B逆时针旋转
所得，若MC//BP，则∠BMC＝_______°．
【答案】120【解析】
∵△BMC是由△BPA绕点B逆时针旋转所得，
∴ ，
∴ ，
又∵△ABC是等边三角形，
∴ ，
又∵MC//BP，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
17．（2020·江苏省初三三模）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺
时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是____.
【答案】
【解析】∵A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，过点C作CD⊥x轴于点D
则易知△ACD≌△BAO（AAS），
∴AD=OB=1，
CD=OA=2
∴C（3，2），设直线AC的解析式为 ，将点A、点C坐标代入得
，
∴ ，
∴直线AC的解析式为 .
故答案为： .
18．（2020·河北省初三二模）在锐角 中， ， ， ，将 绕点 按
逆时针方向旋转，得到 ．（1）如图1，当点 在线段 的延长线上时，则 的度数为
______________度；（2）如图2，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，在 绕点 按
逆时针方向旋转过程中，点 的对应点是点 ，则线段 长度最小值是_____________．
【答案】90
【解析】解：（1）由旋转的性质可得： ， ，
，
；
（2）如图1，过点 作 ， 为垂足，
为锐角三角形，
点 在线段 上，在 中， ，
当 在 上运动， 与 垂直的时候， 绕点 旋转，使点 的对应点 在线段 上时，
最小，最小值为： ；
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·湖南省初一期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正
方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出 关于直线OM对称的 ；
（2）画出 绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的 ；
(3) 计算： 的面积为 ;
（4） (填“>”，“=”或 “<”)
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）1.5；（4）＞．
【解析】（1）如图所示，△AB C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，△AB C 即为所求；
2 2 2
（3）△AB C 的面积为：2×2- ×1×2- ×1×2- ×1×1= ；
1 1 1
故答案为： ；
（4）如图所示，，
，
∴ ；
故答案为：＞．
20．（2020·南通市八一中学初一月考）如图①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB="AC," AE是过A的一条
直线, 且B、C在AE的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求证: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图②位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请直
接写出结果, 不需证明.
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD与DE,CE的数量关系．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、BD=DE–CE；证明过程见解析；(3)、BD=DE–CE；(4)、当B,C在AE
的同侧时，BD=DE–CE；当B,C在AE的异侧时，BD=DE+CE.
【解析】(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE在△ABD与△ACE
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE,AD=EC
∴BD=DE+CE
(2)、∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE,AD=EC
∴BD=DE–CE
(3)、同理：BD=DE–CE
(4)、归纳：由（1）（2）（3）可知：当B,C在AE的同侧时，BD =DE –CE；当B,C在AE的异侧时，
∴BD=DE+CE
21．（2020·湖北省中考真题）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分
别为 ， ， ， ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答
问题：
（1）将线段 绕点 逆时针旋转 ，画出对应线段 ；
（2）在线段 上画点 ，使 （保留画图过程的痕迹）；
（3）连接 ，画点 关于直线 的对称点 ，并简要说明画法．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】解：（1）如图示，线段 是将线段 绕点 逆时针旋转 得到的；
（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
22．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针
方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
（1）求证： ;
（2）若AB=2， ,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2 -2
【解析】（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC
∴AE=AD，AB=AC
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
∴∠CAE=∠DAB∴△AEC≌△ADB
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°
∴∠DBA=∠BAC=45°
由（1）得AB=AD
∴∠DBA=∠BDA=45°
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形
∴BD=2
又∵四边形ADFC是菱形
∴AD=DF=FC=AC=AB=2
∴BF=BD-DF=2 -2
23．（2020·辽宁省初二期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，把 平移到
，再把 逆时针旋转到 的位置．
(1)把 平移到 ，则平移的距离为_______；
(2)四边形AEFD是_______四边形；
(3)把 逆时针旋转到 的位置，旋转中心是______点；
(4)若连接EG，求证： 是等腰直角三角形．
【答案】（1）4；（2）平行；（3）A；（4）证明见解析．
【解析】（1） 四边形ABCD是边长为4的正方形
由平移的性质可知，平移的距离为
故答案为：4；
（2）由平移的性质可知，平移距离为 ，且点 在一条直线上
又
四边形AEFD是平行四边形
故答案为：平行；
（3）由旋转的定义得：把 逆时针旋转到 的位置，旋转中心是A点故答案为：A；
（4）由旋转的性质得：
是等腰三角形
，即
，即
是等腰直角三角形．
24．（2020·北京育英中学初三三模）已知 ，M为射线 上一定点， ，P为射线
上一动点（不与点O重合）， ，连接 ，以点P为中心，将线段 顺时针旋转 ，得到
线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图1；
（2）求证： ；
（3）H为射线 上一点，连接 ．写出一个 的值，使得对于任意的点P总有 为定值，并
求出此定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的值为1，110°
【解析】（1）补全图形，如图所示．
；
（2）证明：根据题意可知， ，
∵ ，
∴ ；
（3）解： 的值为1．
在射线 上取一点G，使得 ，连接 ，根据题意可知， ，
在 和 中∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长
OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，
DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°< α<360°)得到正方形OE'F'G'，如图
2．
①在旋转过程中，当∠OAG'是直角时，求α的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的
锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说
明理由．
【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠OAG'为直角时，α=30°或150°.②315°
【解析】解：(1)如图1，延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
¿，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90∘，
∴∠GAO+∠DEO=90∘，
∴∠AHE=90∘，
即DE⊥AG；
(2)①如图2，在旋转过程中，∠OAG'成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0∘增大到90∘过程中，当∠OAG'=90∘时，
1 1
∵OA=OD= OG= OG'，
2 2
OA 1
∴在Rt△OAG'中，sin∠AGO= = ，
OG' 2
∴∠AG'O=30∘，
∵OA⊥OD，OA⊥AG'，
∴OD//AG'，
∴∠DOG'=∠AG'O=30∘，
即α=30∘；
(Ⅱ)α由90∘增大到180∘过程中，当∠OAG'=90∘时，
同理可求∠BOG'=30∘，∴α=180∘-30∘=150∘．
综上所述，当∠OAG'=90∘时，α=30∘或150∘．
②如图3，
当旋转到A、O、F'在一条直线上时，AF'的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
❑√2
∴OA=OD=OC=OB= ，
2
∵OG=2OD，
∴OG'=OG=❑√2，
∴OF'=2，
❑√2
∴AF'=AO+OF'= +2，
2
∵∠COE'=45∘，
∴此时α=315∘．
26．（2021·江西赣州市·九年级期末）（问题提出）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ，
， ．求 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
（尝试解决）（1）将 绕点 逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
为______三角形的度数为______．
（类比探究）（2）如图2，在等边三角形 外部有一点 ，若 ，求证 ．
（联想拓展）（3）如图3，在 中， ， ．点 在直线 上方且
， ，求 的长．
【答案】（1）直角；150°；（2）见详解；（3） ．
【详解】解：（1）将 绕点 逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，
则 为等边三角形．
∴ ，
， ， ，
为直角三角形，
∴ ,
的度数为： ．
故答案为：直角；150°．
（2）将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到如图所示 ，再连接 ，
∵△ABC是等边三角形，则点 与点B重合，
由旋转的性质，则 ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（3）将△PAB绕点A顺时针旋转90°，得到如图所示 ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，则点 与点C重合，
由旋转的性质，得 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
则点P、 、B三点共线，
∵ ， ，
∴点 是PB的中点，
设 ，则 ，
由勾股定理，得
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ．
