文档内容
专题
3-3
解三角形
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·（10-17）分）
命题点1 正弦余弦定理基本应用
命题点2 解三角形中三线问题
命题点3 解三角形中周长面积问题
命题点4 解三角形中最值范围问题
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即
⃗AB
（其中R是三角形外接圆的半径）
⃗AB
2.变形：1） ．
2）化边为角：a:b:csin A:sinB:sinC；
⃗AB ⃗AB ⃗AB
⃗AB
3）化边为角：
⃗AB ⃗AB⃗AB
4）化角为边：⃗AB
5）化角为边：
⃗AB
三角形面积 .
⃗AB
余弦定理：
⃗AB
⃗AB
⃗AB ⃗AB ⃗AB
变形 ：
利用余弦定理判断三角形形状：
设⃗AB、⃗AB、⃗AB是⃗AB的角⃗AB、⃗AB、⃗AB的对边，则：
①若 ，所以 为锐角
⃗AB
②若
③若 ， 所以 为钝角，则是钝角三角三角形中常见
的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：两边之和大于第三边： ， ， ；
两边之差小于第三边： ， ， ；
在同一个三角形中大边对大角：⃗AB
三角形内的诱导公式：
⃗AB⃗AB⃗AB
⃗
AB
极化恒等式2 2
在△ 中， 是边 的中点，则⃗AB ⃗ AC=|⃗AD| −|⃗DB|.
A
B D C
如图，由
⃗AB∗⃗ AC= [1 (⃗AB+⃗AC) ] 2 − [1 (⃗AB−⃗AC) ] 2 =⃗AD2− (1 ⃗CB ) 2 =|⃗AD| 2 −|⃗DB| 2 得证.
2 2 2
1
⃗AB ∗⃗AC=(⃗AM) 2− (⃗BC) 2
4
解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题） 或者是0+1（只出现一
道解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。
真题多维细目表
考点 考向 考题
① 正弦余 2023全国乙卷T4 全国乙卷T17 2021 全国甲卷T8
弦基本应用
2023新高考甲卷T16 2023新高考Ⅰ卷T17
解三角形
② 解三角
2023新高考Ⅱ卷T17 全国乙卷T18
形中三线问题
甲卷T17
2022乙卷T17 新高考Ⅱ卷T18
③ 解三角
2021全国乙卷T15 2021新高考Ⅱ卷T18
形中周长面积问题
2022全国甲卷 2022年新高考Ⅰ卷T18
④解三角形中最值范围问题命题点2 正弦余弦定理基本应用
典例01 （2023·全国乙卷）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
典例02 （2023·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
命题点2 三角形中三线问题
典例01 （2023·全国甲卷）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
典例02 （2023·全国新课标Ι）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．对于解三角形中的出现的角平分线问题 ，方法技巧在于用等面积法进行转化，
或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），
对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。对于中线问题，一般思路是向
量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。
命题点三 解三角形中周长面积问题
典例01 （2023·全国高考乙卷）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
典例02 ．（2022·全国高考乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
命题点四 解三角形中最值范围问题
典例01 （2022·全国·高考甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ．
典例02 （2022·全国新高考Ⅰ）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
解 三角形中求边长最值问题一般采用设角把边长转化成关于角的函数，最
后转化成基本不等式或者是关于二次函数去求解。但是对于锐角三角形中，求长度或者是面积范围及问题，
应采用边角转化思想，把边长问题转化成角度问题，再利用二次函数或者是辅助角公式去求解。
方法二：对于平面图形中，如果题目中未指明图形的一些边长关系，可采用一般图形特殊化，通过建立直
角坐标系去转化成坐标运算.
预计2024年高考会出现正弦余弦定理的基本应用及面积最值范围相关题目
1．（23·24上·湖南·模拟预测）在 中， ， ，且 的面积为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23·24上·浙江·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若点 在边 上， ， ， ，求 的面积.
3．（23·24上·绵阳·模拟预测）在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最小值．
4 （23·24上·泰州·期中）在锐角 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 面积S的取值范围.
（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
A·新题速递
1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在 中， ， ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， ，则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东济宁·统考二模） 的内角 的对边分别为 ，若 边上的高为 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为
为 边中点，若 ，则 面积 的最大值为 .
5．（2023·河南郑州·统考模拟预测） 中， ， ， ， 平分线与 交于点 ，
则 .
三、解答题
6．（2023上·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C对应的边分
别是a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积是 ， ，求 的周长．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形 中，
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．8．（2023·山东烟台·统考二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
B·易错提升
1．（2023·浙江·校联考二模）在三角形 中， 和 分别是 边上的高和
中线，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2．（2023·四川宜宾·统考三模）在 中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若 ，
，则 面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023·新疆·校联考二模）在 中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
△则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 外接圆的面积为 .
三、解答题
6．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已
知 ， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．8．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
(1)求角 的大小；
(2)若 为 上一点， ， ，求 的最小值.
