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专题 3.1 确定位置与平面直角坐标系
1. 能运用有序数对、方向和距离确定物体位置，理解其实际应用价值。
教学目标 2. 掌握平面直角坐标系的构成，会在坐标系中表示点及由点写坐标。
3. 体会数形结合思想，发展空间观念与应用数学解决问题的能力。
1.重点
（1）用有序数对、方向和距离确定位置的方法及应用。
（2）平面直角坐标系的基本概念，点与坐标的对应关系。
教学重难点
2.难点
（1）灵活选择合适方式确定位置，理解不同方式的适用场景。
（2） 理解平面直角坐标系中点的坐标含义，突破数形转化的抽象性。
知识点01 确定位置
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。【即学即练1-1】根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．八年级教室 B．北京东路
C．东偏北 方向 D．东经 ，北纬
【即学即练1-2】在实际生活中，我们经常采用“角度 距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以
点为基准点，射线 方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度 ，顺时针方向旋转为负角
度 如： 方向为 方向绕 点逆时针旋转 ，点 与点 的距离为 ，因此点 可以用
有序数对记为 ，类似地，点 可以记为 ．以下点的位置标记正确的是（ ）
A．点 B．点
C．点 D．点
知识点02 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正
方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐
标是b，则点P的坐标为 ，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
y
B
b P
A
O a x
3.象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点 的坐标满足： ， ；（2）第二象限内的点 的坐标满足： ，
；
（3）第三象限内的点 的坐标满足：x＜0， ；（4）第四象限内的点 的坐标满足： ，
.（5）x轴上的点 的坐标满足： ；（6）y轴上的点 的坐标满足： ；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
4.坐标系中的特殊直线：
（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为 ；
（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为 ．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为 ；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为 ．
5.点到特殊直线的距离：
（1）点 到x轴的距离为 ；到直线 （m为常数）的距离为 ；
（2）点 到y轴的距离为 ；到直线 （n为常数）的距离为 ．
【即学即练2-1】下列说法不正确的是（ ）
A．点 在第二象限
B．点 到y轴的距离为2
C．若点 中 ，则点P在x轴上
D．若点 在x轴上，则
【即学即练2-2】已知平面直角坐标系内的不同点 ．则下列说法中正确的是（ ）
A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则
B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则
C．若直线 平行于 x 轴，则 且
D．若直线 平行于 y 轴，且 ，则
【即学即练2-3】已知点 ，
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点 ，且 轴，求a的值；
(3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标．
题型01 用有序数对表示位置/路线
【典例1】2025年郑州两会于2月7号-8号召开，以下最能够准确表示会议位置的是（ ）
A．平顶山东北方向 B．北纬34.76°，东经113.68°
C．金水区 D．距离洛阳136公里处【变式1】如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用 表示，目标E用 表示，那么
表示的是（ ）
A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F
【变式2】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对
表示第m排从左到右第n个数，如 表示正整数2， 表示正整数3，则 表示的正整数是
（ ）
A．7 B．21 C．23 D．35
【变式3】如图，在 的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：
向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为： ，从B到A的爬行路线为：
，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)图中 （________，________）；
(2)若甲虫的爬行路线为 ，计算甲虫爬行的路程；
(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为 ， ， ， ，最终到达点P，请在图中
标出点P的位置．题型02 判断点所在的象限
【典例2】在平面直角坐标系内，点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中
设置了A，B两个关键点．若点 在第四象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】若点 在第一象限，则点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型03 求点到坐标轴的距离
【典例3】点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ．
【变式1】已知点 ，则点A到x轴的距离是 ；到y轴的距离是 ．
【变式2】点 到 轴的距离是 ，到坐标原点的距离是 ．
【变式3】点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是 ．
题型04 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标
【典例4】已知点 在y轴上，则 ．
【变式1】如果点 在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为
【变式2】已知在第二象限内的点P的坐标为 ，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐
标是 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，将点 到 轴的距离记作 ，到 轴的距
离记作 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若点 在第二象限，且 （ 为常数），则 的值为 ．
题型05 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，已知点 ， ．
(1)点 是否可能与原点重合，请说明理由；
(2)若点 在 轴下方，且 轴， ，求 和 的值．【变式1】已知点 ，试根据以下条件分别求出点A的坐标：
(1)点A的横坐标比纵坐标大2；
(2)已知点 ，且 轴．
【变式2】已知点 ，分别根据下列条件求出点 的坐标．
(1)点 在 轴上；
(2)点 的坐标为 ，直线 轴．
【变式3】已知点 的坐标为 ．
(1)若点 的坐标为 ，且直线 轴，求点 的坐标．
(2)若点 在第二象限，且到 轴、 轴的距离相等，求点 的坐标．
题型06 坐标与图形
【典例6】已知： ， ，
(1)在坐标系中描出各点，画出 ；
(2)求 的面积；
(3)设点P在y轴上，且 与 的面积相等，直接写出点P的坐标．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ．(1)点 落在 轴正半轴，且到原点的距离为3，则 _， _；
(2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出 ，并求出 的面积；
【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0,3)； ； ； ；
； ； ．
(1) 点到原点的距离是________．
(2)将点 向 轴的负方向平移 个单位，它与点________重合．
(3)连接 ，则直线 与坐标轴是什么关系？
(4)点 分别到 、 轴的距离是多少？
【变式3】如图，平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
(1)点C到y轴的距离为______；
(2)求 的面积；
(3)若点P的坐标为 ，
①直接写出线段 的长为______；（用含m的式子表示）
②当 时，求点P的坐标．
题型07 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标
【典例7】如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是 ，实验室的位置是 ．(1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________；
(2)已知教学楼的位置是 ，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________．
【变式1】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标
分别是 ， ．解答下列问题：
(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；
(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
【变式2】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是 ，实验室的位置是 ．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________；
(3)已知办公楼的位置是 ，教学楼的位置是 ，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1个单位长度表示 ，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m．
【变式3】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度．(1)请以广场为原点，以正东方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系；
(2)在（1）的前提下，
①写出博物馆的坐标；
②若公园的坐标为 ，请在图中标出公园的位置．
(3)若超市与图书馆所在的直线为 ，大剧院到直线 的距离是多少个单位长度？
题型08 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题
【典例8】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，
点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点 的“长距”为______；
(2)若点 是“完美点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为 ，试说明：点D是“完美
点”．
【变式1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离的较大值称为点 的“长距”，
点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“完美点”．
(1)点 的“长距”为_____；
(2)若点 是“完美点”，求 的值；
(3)若点 的长距为4，且点 在第二象限内，点 的坐标为 ，试说明：点 是“完美
点”．
【变式2】在平面直角坐标系中，对于点 ，若点Q的坐标为 ，其中a为常数，则称点
Q是点P的“a级关联点”，例如：点 的“3级关联点”为 ，即 ，
(1)已知点 的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)已知点 的“a级关联点”为 ，求 的值；
(3)已知点 的“ 级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标．
【变式3】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”．
(1)点 的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离；
(2)若点 是“等距点”，求a的值；
(3)若点 的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为 ，判断点D是否为
“等距点”，并说明理由．
一、单选题
1．点 所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．航海东路 B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城3号厅2排 D．东经 ，北纬
3．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角
坐标系，使“帅”位于点 ，“马”位于点 ，则“兵”位于（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则点 一定在第二、四象限的角平分线上
B．点 到 轴的距离是2
C．若 中 ，则点 在 轴上
D．点 可能在第二象限
5．在平面直角坐标系中，点 向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到点 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．6．若点 在坐标轴上，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
7．平面直角坐标系中，点 在第 象限．
8．已知点 在第二象限，则点 在第 象限．
9．在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是 ．
10．以水平数轴的原点 为圆心，过正半轴 上的每一个刻度点画同心圆，将 逆时针依次旋转
得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点 的坐标分别表示为
，则点 的坐标表示为 ．
11．已知平面直角坐标系中有两点 、 ，且 轴时，则 ．
12．若点 ，点 ，点P在y轴上，且三角形 的面积为4，则点P的坐标为 ．
三、解答题
13．已知点 ．
(1)若点P在 轴上，求点P的坐标；
(2)若点 ， 轴，求线段 的长度．
14．如下图，一个小正方形网格的边长表示 ．A同学上学时从家中出发，先向东走 ，再向北走
就到达学校．(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系．
(2)若以 为单位长度，请据图写出B同学家的坐标：________．
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为 ，请你在图中描出表示C同学家的位
置．
15．如图，在 的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向
右与向上为正，向左与向下为负．从点 到点 的爬行路线记为 ，从点 到点 的爬行路线
记为 ，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)填空：（ （__________，________）， _______（ ，________）．
(2)若甲虫从点 开始，爬行路线依次为 ， ， ，最终到达点 处．请在图中
标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ．
(1)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距
离为7，求m的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 ， ， 满足关系式：
．
(1)求 ， ， 的值；(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积．
18．已知点 ，根据下列条件求点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)在（2）的条件下， 轴，且 ，请直接写出点Q坐标；
(4)点P到x轴的距离为1．
19．在平面直角坐标系中，对于点 ，若点 的坐标为 ，则称点 是点 的“ 阶派生
点”（ 为常数，且 ）．例如：点 的“2阶派生点”为点 ，即点 ， ．
(1)若点 的坐标为 ，则它的“3阶派生点”的坐标为 _________．
(2)若点 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点 ，点 的“ 阶派生点”
位于坐标轴上，求点 的坐标．
20．如图1，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过C作 轴于B．
(1) ， （直接写出答案）；
(2)点P在x轴上，若三角形 和三角形 的面积相等，求出P点的坐标；
(3)如图2，若过B作 交y轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求 的度数．
