文档内容
3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用
思维导图
知识点总结
导数与不等式
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不
等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的
构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式 f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明 f(x)－g(x)＞
0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结
论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、
通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据
“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最
值求解．
零点与隐零点问题
1．已知函数有零点求参数范围常用的方法
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范
围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新
函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确
定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参
数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研
究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所
求参数范围．
2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐
零点”)
对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技
巧．
典型例题分析
考向一 移项作差构造函数证明不等式
例1 (2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与
曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
解 (1)因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
因为g(x)＝＋－bx，g′(x)＝－－－b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线
互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1，解得a＝b＝－1.
(2)证明：g(x)＝－＋＋x，则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.
因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0，h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0.
故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数
h(x)的单调性或最值证明不等式．
考向二 单变量不等式恒成立或存在性问题
例2 已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0，得x＝1.当
x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递
减．所以1为函数f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，
所以0＜a＜1＜a＋，故＜a＜1，即正实数a的取值范围为.
(2)当x≥1时，k≤恒成立，令g(x)＝(x≥1)，
则g′(x)＝
＝.令h(x)＝x－ln x(x≥1)，
则h′(x)＝1－≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上单
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】调递增，
所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].
(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，
进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参
数的方法，转化为求函数的最值问题．
考向三 构造双函数
例 3 已知两函数 f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若
∀x ∈[－3，3]，∃x ∈[－3，3]，恒有f(x )>g(x )成立，求m的取值范围．
1 2 1 2
解 若∀x ∈[－3，3]，∃x ∈[－3，3]，恒有f(x )>g(x )成立，
1 2 1 2
只需在[－3，3]上，f(x) >g(x) 即可．
min min
f(x)＝8x2＋16x－m＝8(x＋1)2－m－8，
f(x) ＝f(－1)＝－m－8，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(x＋1)
min
(3x＋2)，
当x∈[－3，－1)∪时，g′(x)>0，故[－3，－1)与是g(x)的单调递增区间；
当x∈时，g′(x)<0，故是g(x)的单调递减区间．
因此g(x)的极小值为g＝－，
又g(－3)＝－21，所以g(x) ＝－21，
min
所以－m－8>－21，解得m<13.
所以m的取值范围为(－∞，13).
常见的双变量不等式恒成立问题的类型
(1) 对 于 任 意 的 x ∈ [a ， b] ， 总 存 在 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 max 2 max
(2) 对 于 任 意 的 x ∈ [a ， b] ， 总 存 在 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 min 2 min
(3) 若 存 在 x ∈ [a ， b] ， 对 任 意 的 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 min 2 min
(4) 若 存 在 x ∈ [a ， b] ， 对 任 意 的 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 max 2 max
(5)对于任意的x ∈[a，b]，x ∈[m，n]，使得f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 2 1 max 2 min
(6)对于任意的x ∈[a，b]，x ∈[m，n]，使得f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 2 1 min 2 max
考向四 判断函数零点(方程根)的个数
例4 已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；
(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
解 (1)证明：当a＝0时，f(x)＝ex－x，
令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，
则g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，得x＝ln 2.当xln 2时，g′(x)>0，g(x)单调递增．ln 2是g(x)的极小值点，也是最小值
点，
即g(x) ＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln >0，故当a＝0时，f(x)>x成立．
min
(2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.
所以当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x) ＝f(0)＝1－a.
min
当1－a>0，即a<1时，f(x)在R上没有零点．
当1－a＝0，即a＝1时，f(x)在R上只有一个零点．
当1－a<0，即a>1时，
因为f(－a)＝e－a－(－a)－a＝e－a>0，
所以f(x)在(－∞，0)内只有一个零点．
由(1)得ex>2x，令x＝a，得ea>2a，
所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，
于是f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点．
因此，当a>1时，f(x)在R上有两个零点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，当a<1时，函数f(x)在R上没有零点；当a＝1时，函数f(x)在R上有
一个零点；
当a>1时，函数f(x)在R上有两个零点．
利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个
数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号
(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用
导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区
间上零点的个数．
考向五 已知函数零点个数求参数问题
例5 函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝a＋ln x＋1.因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，则f(x)＝－x＋x ln x，
f′(x)＝ln x.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0e时，f(x)>0.
当x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.
由图象可知，－1＜m＋1<0，即－2＜m<－1，
所以实数m的取值范围是(－2，－1).
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】利用函数零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为
直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．
(2)利用零点存在定理构建不等式求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观
题常用).
考向六 可转化为函数零点个数的问题
例6 已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.
(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－x2在直线l的上方；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
解 (1)证明：令h(x)＝ex－x2－x－1，
则h′(x)＝ex－x－1，
令g(x)＝h′(x)，则g′(x)＝ex－1，当x＞0时，g′(x)＞0，h′(x)为增函数，
所以h′(x)＞h′(0)＝0，从而h(x)也为增函数，得h(x)＞h(0)＝0.
故ex－x2＞x＋1，即曲线y＝f(x)－x2在直线l的上方．
(2)令φ(x)＝aex－x－1，则φ′(x)＝aex－1，当a≤0时，令φ′(x)＜0，得φ(x)在
R上单调递减，不符合题意；
当a＞0时，令φ′(x)＝0，得x＝ln ，
所以φ(x)在上为减函数，
在上为增函数，
由已知函数φ(x)有两个零点，φ(x) ＝φ＝－ln ＜0，得0＜a＜1，此时φ(－
min
1)＝＞0，φ(x)在上有且只有一个零点．
由(1)得当x＞0时，φ(x)＞a－x－1＝ax2＋(a－1)x＋a－1，
所以φ＞a＋(a－1)·＋a－1＝a＋1＞0.
由(1)知，当x＞0时，h′(x)＞0得ex＞x＋1，令x＋1＝t，则ln t＜t－1(t＞
1)，
所以＞－1＞ln ，φ(x)在上有且只有一个零点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，0＜a＜1.
处理函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题的常用方法
(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况．
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)＝g(x)根的个数问题，通过构造函数y＝
f(x)－g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根
的情况．
考向七 与函数零点有关的证明问题
例7 已知函数f(x)＝ln ＋a2x2－ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝0且x∈(0，1)，求证：f(x)0，当x＝时，f′(x)＝0；当0＜x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增；
若a<0，当x＝－时，f′(x)＝0；当0＜x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)证法一：若a＝0且x∈(0，1)，
则f(x)＝ln ＝1－ln x.
欲证f(x)0，函数
g(x)在(0，1)上单调递增，
所以g(x)p(0)＝2，且p(1)<0，
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故存在x ∈(0，1)，使得h′(x )＝0，即当x∈(0，x )时，h′(x)>0，当x∈(x ，
1 1 1 1
1)时，h′(x)<0，从而函数h(x)在(0，x )上单调递增，在(x ，1)上单调递减．
1 1
因为h(0)＝1，h(1)＝e，所以当x∈(0，1)时，h(x)>h(0)＝1，
所以x(1－ln x)<(1＋x－x3)ex，x∈(0，1)，即f(x)0，函数
g(x)在(0，1)上单调递增．所以g(x)x3，
所以1＋x－x3>1，
又11，
所以g(x)<10，ex>e0＝1，则＋x2－＜1－ln x＋x2－，则
只需证明1－ln x＋x2－<1，
只需证明ln x－x2＋>0，
令g(x)＝ln x－x2＋，x∈(0，1)，
则g′(x)＝－2x－＝<<0，则函数g(x)在(0，1)上单调递减，
则g(x)>ln 1－12＋1＝0，
所以ln x－x2＋>0，所以＋x2－＜1，即原不等式成立．
处理函数隐性零点的三个步骤
(1)确定零点的存在范围(可以由零点存在定理确定，也可以由函数的图象特
征得到)；
(2)根据零点的意义进行代数式的替换，替换过程中，尽可能将复杂目标式
变形为常见的整式或分式，尽可能将指、对数函数式用有理式替换；
(3)结合前两步，确定目标式的范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．若 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：对于A，B作出 图象如图所示，可见 时，既有
单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C，设 ，作如图所示，因
，此时， 在 上为减函数，故有
，得 ，故C正确，D不正确，故选C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用.
2．若函数 的导函数为 ，且 ，则 在
上的单调增区间为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． 和 D． 和
【答案】D
【详解】试题分析：由题意得 ，
解得 ，又 ，所以单调增
区间为 和 ，选D.
考点：三角函数单调区间
3．设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的
取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，可得 .
在坐标系内画出函数 的图象（如图所示）.
当 时， .由 得 .
设过原点的直线 与函数 的图象切于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，解得 .
所以当直线 与函数 的图象切时 .
又当直线 经过点 时，有 ，解得 .
结合图象可得当直线 与函数 的图象有3个交点时，实数 的取值范围是
.
即函数 在区间 上有三个零点时，实数 的取值范围是 .选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
4．已知 在区间 内任取两个不相等的实数 ，不等式
恒成立,则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵p≠q，不妨设p＞q，由于 ，
∴f（p）﹣f（q）＞p﹣q，得[f（p）﹣p]﹣[f（q）﹣q]＞0，
∵p＞q，∴g（x）＝f（x）﹣x在（0，1）内是增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即 0恒成立，
a x（2x+1）的最大值，
∵x （0，1）时x（2x+1）＜3，
∴实∈数a的取值范围为[3，+∞）．
故选：D．
5．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题.
【详解】函数 ，
①当 ，即 时，满足 ；
②当 ，即 时，若 ，则有
，
令 ，则有 ，
若 ，易知 在 上单调递增，不一定都满足 ，∴ ，即 ，
，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所
以，
在 上单调递增，在 上单调递减，由 ，则有
，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 时，满足 ；
③当 ，即 时，若 ，则有
，即 ，
易知 ，当且仅当 时取等号，当 时，
所以 ，
即 ，所以不满足 恒成立；
综上，若 ， 的取值范围是 .
故选：A
6．已知函数 ，在区间 内任取两个实数 ，且 ，若不等式
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知不等式得新函数 的切线的斜率均大于 ，求出 的导数，由
不等式恒成立求解．
【详解】因为在区间 内任取两个实数 ，且 ，若不等式
恒成立，
即在区间 内任取两个实数 ，且 ，若不等式 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】它表示函数 在 上任意两点间连线的斜率大于 ，也即 在 上
任意两点间连线的斜率大于 ．
所以 在 恒成立，
变形得 ，
时， ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以 ， 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】结论点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键掌握斜率与导数的关系．
时， 表示 图象上两点 连线的斜率，而当
无限趋近于 （ ）时， 无限趋近于函数 在 点处切线的斜率，即
．
二、多选题
7．已知函数 的图象如图， 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义可得 ，即可判断选项AB，记 ，
，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项..
【详解】由函数的图像可知函数 是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在 处的切线斜率 大于在 处的切线斜率 ，
所以 ；
故A错误，B正确；
记 ， ，作直线 ，则直线 的斜率
，由函数图像，可知 ，
即 .
故C，D正确；
故选：BCD
8．若 存在，则称 为二元函数
在点 处对x的偏导数，记为 .已知二元函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，则（ ）
A． B．关于t的函数
C． 的最小值为 D．关于t的函数 有极小值
【答案】BCD
【分析】根据所给的定义分别得到 、 后就容易求解了.
【详解】对于A、C，因为 ，
所以 ，则 .
因为 ，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故A错误，C正确..
对于B、D，因为 ，
所以 ，则 .
，令 ， .
当 时 ；当 时 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值.
故B、D都正确.
故选：BCD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．函数 的导函数f ¢（x）= __________．
【答案】
【详解】试题分析：
考点：函数求导数
10．某箱子的容积与底面边长 的关系为 ，则当箱子的容积
最大时，箱子的底面边长为__________．
【答案】 40
【详解】分析：令v′=60x﹣ =0，解得x=40，明确函数的单调性，由此能求出当箱子的
容积最大时，箱子的底面边长．
详解：∵V（x）=x2（ ）（0＜x＜60），
∴v′=60x﹣ ，0＜x＜60，
令v′=60x﹣ =0，解得x=0（舍去），或x=40，
并求得V（40）=16000．
当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；
当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，
v（40）=16000是最大值．
∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40．
故答案为40．
点睛：求函数 最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程
求出函数定义域内的所有根；(4) 求出函数的极值 （5）把极值与端点值进行比
较得到函数的最值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 取值的集合为
__________.
【答案】
【分析】令 ，则恒成立的不等式可化为 ，利用导数可求得 的
范围，从而构造函数 ，分别讨论 和 的情况，结合 正负可
得 单调性，通过 可确定 的取值.
【详解】由 得： ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
，即 ，
则原不等式可化为 在 上恒成立，
令 ，则 ，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，又 ，
当 时， ，不合题意；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增；又 ，
若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，即 在 上恒成立，满足题意；
综上所述：实数 的取值集合为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
12．已知函数 ，下列说法正确的是___________.
① 的图像关于点 对称
② 的图象与 有无数个交点
③ 的图象与 只有一个交点
④
【答案】①③
【分析】根据函数解析式，验证函数是否满足 ，从而得到对称性；求导，
研究函数的单调性，判断函数图像交点问题及函数值大小问题；
【详解】由
知，
的图像关于点 对称，故①正确；
当 时， ，
当 时， ，
故 的图象与 无交点，②错误；
，
当 时， ， ，则 ，函数单减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由对称性可得当 时，函数单减；则 ，④错误；
又 ， ，
则由单调性知，函数 在 时，与 只有一个交点，
当 时，由①知 ，与 无交点，故③正确；
故答案为：①③
四、解答题
13．要使函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，﹣1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（﹣6，+∞）
【详解】试题分析：由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即a＞﹣ 在
x∈（﹣∞，1]上恒成立．运用指数函数的性质，结合二次函数的值域求法，可得最大值，
进而得到a的范围．
解：由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，
即a＞﹣ 在x∈（﹣∞，1]上恒成立．
又∵﹣ =﹣（ ）2x﹣（ ）x=﹣[（ ）x+ ]2+ ，
当x∈（﹣∞，﹣1]时，（ ）x∈[2，+∞），
﹣ ≤﹣（2+ ）2+ =﹣6，
∴a＞﹣6．
即a的取值范围是（﹣6，+∞）．
考点：函数恒成立问题．
14．已知函数 （ 为常数）
1）讨论函数 的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 时， 递增， 时，在 递减， 递增；（2）
.
【分析】（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负得单调性；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．
【详解】（1）函数定义域是 ，
，
时， 恒成立， 在 上是增函数；
时， 时， ， 递减， 时， ， 递增．
（2） 即 在 上恒成立，则 ，
设 ，则 ， 时， ， 递增，
时， ， 递减， ，所以 ．
15．已知函数 .
(1)当 时，求 在 上的最值；
(2)曲线 与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围.
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【分析】（1）当 时，利用导数分析函数 在 上的单调性，可得出函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上的最大值和最小值；
（2）对实数 的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，根据函数
只有一个零点可得出关于实数 的不等式，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，可得 或
（舍）.
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，当 时， ，
又因为 ， ，则 .
（2）解： ，则 .
①当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
故函数 在 上单调递增， ， ，
由零点存在定理可知，函数 在区间 存在唯一零点，合乎题意；
②当 时，由 可得 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作出函数 的图象如下图所示：
因为函数 只有一个零点，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
16．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；
（2）即证 ，设 ，求出函数 的最小值即得证.
【详解】（1）解：由题意可得 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
（2）证明：要证 ，即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即证 .
设 ，则 .
由（1）可知当 时， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 .
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数 的导函数 的图象如图所示， ，令
，则不等式 的解集是
A． B．
C． D．[-1，2]
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】试题分析：由题根据所给函数图像得到f（x）的得到性，结合所给条件不难得到
不等式的解集；
由题f（x）在 时，单调递减，在 时，单调递增，
，
或 或
，故选A.
考点：利用导数研究函数的性质
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的定义域和奇偶性，利用对称性和函数值的符号进行排除即可．
【详解】解：函数的定义域为 ，
，则 是奇函数，图象关于原点对称，排除 ，
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 ， ，当 时
，即 在 上单调递增，当 时 ，即 在
上单调递减，所以 时函数取得极小值，即最小值，
，所以 恒成立；
则此时 恒成立，排除 ，
故选： ．
3．已知函数 ， ，若 ， 使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为 使得 成立，通过求得导数和单调性，可得最
值，再根据不等式成立，结合参数分离可得 的范围．
【详解】 ， 使得 成立，等价为 使得
成立，
由 得 ，当 时， ，此时 单调递增，当
时， ，此时 单调递减， ，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 成立，
当 时， ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
所以 在 递减，所以 ，
则 在 递减，所以 ，
则 ，所以 ．
故选：A
4．已知函数 与 ，设 ，
，若存在 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 是增函数，
因为 ，所以 .
∵存在 ， ，使得 ， ∴ .
即 在 上有解，即方程 在 有解，
设 则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数.
∵ ， ，
，
故选：C.
5．设函数 在区间D上的导函数为 ， 在区间D上的导函数为 ，若
在区间D上， 恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，
，若对满足 的任何一个实数m，函数 在区间 上都为
“凸函数”，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用题意得到 ，则可转化成 时，关于m的一次函数
恒成立，可得到最大区间 ，即可得到答案
【详解】由 可得 ，
设 在区间 上的导函数为 ，
，
当 时， 恒成立等价于 即 时，关于m的一次函数
恒成立，
所以 且 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，
从而 ，
故选：C.
6．已知函数 在 上恒不大于0，则 的最大值为（
）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】先求得函数导数，当 时，利用特殊值判断不符合题意.当 时，根据
的导函数求得 的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导
数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得 的取值范围，进而求得 的最大值.
【详解】 ，当 时， ，则
在 上单调递增， ，所以不满足 恒成立；当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，又 恒成立，即 . 设 ，
则 . 因为 在 上单调递增，且 ，
，所以存在唯一的实数 ，使得 ，当
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时， ；当 时， ，所以 ，解得
，又 ，所以 ，故整数 的最大值为 .故选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点
存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、多选题
7．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法—牛顿迭代法.做法如下：如
图，设 是 的根，选取 作为 初始近似值，过点 作曲线 的切
线 ， 与 轴的交点的横坐标 ，称 是 的一次近似值，过点
作曲线 的切线，则该切线与 轴的交点的横坐标为
，称 是 的二次近似值.重复以上过程，得到 的近似值序列，
其中 ，称 是 的 次近似值，这种求方程 近似解
的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程 的近似解，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若取初始近似值为1，则该方程解得二次近似值为
B．若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据牛顿迭代法求方程 近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.
【详解】令 ，则 ，当 ， ，
，故A正确；
当 ， ， ，故B正确；
因为 ； ； ； ，
∴ ，故C正确，D错误.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABC
8．已知函数 ，则（ ）．
A． B．若 有两个不相等的实根 ，则
C． D．若 ， 均为正数，则
【答案】AD
【分析】先求导数，判断函数单调性，A,C,D结合单调性可以判断正误，B结合反例可以判
断错误.
【详解】对于A： ，又 ， ，
，所以 ，则有 ，A正确；
对于B： 当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；所以 有极大值 .
若 有两个不相等的正实根 ，不妨取 ，显然 ，此时不满足
，B不正确；
对于C：由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，则有
， C不正确；
对于D：令 ， ， 均为正数，则 ，解得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，即 ，
所以 ，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用导数求出函数的单调区间，结合单调性，比
较数值的大小.
三、填空题
9．已知e为自然对数的底数，则曲线 e 在点 处的切线斜率为________．
【答案】
【详解】试题分析： ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ．
考点：导数的几何意义．
10．当 时，不等式 恒成立，则a的取值范围是
________
【答案】
【分析】利用换元法构成新函数，利用导数，分类讨论，根据新函数的单调性和取特殊值
法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】令 ，
所以有 ，化简得：
设函数 ，原问题等价于 在 时恒成立，
，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此当 时， 单调递增，要想 在 时恒成立，
只需 ，解得 ，而 ，所以 ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，故 不成立，显然此
时 在 时不恒成立，
综上所述：
故答案为；
【点睛】本题考查了已知不等式恒成立利用导数求参数取值范围，考查了数学运算能力.
11．用长为 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 ，问
该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是________．
【答案】3
【分析】设长方体的宽为xm，高为hm，根据题意得到 ，从而得到h，再由
，利用导数法求解.
【详解】设长方体的宽为xm，高为hm，
由题意得 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，即长方体的长为2m、宽为1m、高为1.5m时，其体积最大，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】最大体积是3 .
故答案为：3
12．对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点，且有如下
零点存在定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数 在区间 内有零点．给出下列命题：
①若函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点；
②函数 有3个零点；
③函数 和 的图像的交点有且只有一个；
④设函数 对 都满足 ，且函数 恰有6个不同的零点，则
这6个零点的和为18；
其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)
【答案】②④
【分析】由特殊函数和特殊值法判断①③；利用导数研究函数单调性判断②；利用对称性
判断④.
【详解】①函数 在 上是单调函数，不一定有 ，故 在
上有且仅有一个零点是错误的，例如 在 是单调函数，但其函数值恒大于0，①
错误；
②由 可解得 在区间 与 上是增函
数，在 是减函数，故函数存在极大值 ，极小值 ，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数有三个零点，②正确；
③ 的零点即为函数 和 的图像的交点，因为
， ， ，所以 至少有两个零点，一个在 内，
另一个在 内，③错误；
④由 可得函数的图像关于 对称，又函数 恰有6个不同的零点，
此6个零点构成三组关于 对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18，
④正确.
故答案为：②④
四、解答题
13．设函数 ，其中 ， 是实数．已知曲线 与 轴相切
于坐标原点．
（1）求常数 的值；
（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析．
【详解】试题分析：（1）由切线切于原点知 及 ，可得 ；（2）不等式
恒成立，即 在 上的最小值大于或等于0，因此要研究 的单调性、极值，
为此求得 ， ，为了确定 的正负，再求导
，由二阶导数 的正负确定一阶导数 的单调性及正负，从而
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】确定 的单调性，最值．对 分类： ， ， ；（3）要证不等式
，显然要与上面的结论有关，首先证明一个更一般的情形：对任意的正整数
，不等式 恒成立，等价变形为 ，相当于（2）中
， 的情形．由此可证．
试题解析：（1）因为 与 轴相切于坐标原点
则
（2） ， ，
①当 时，由于 ，有 ，
于是 在 上单调递增，从而 ，因此 在 上单调递增，
即 而且仅有 符合；
②当 时，由于 ，有 ，
于是 在 上单调递减，从而 ，
因此 在 上单调递减，即 不符；
③当 时，令 ，当 时，
，于是 在 上单调递减，
从而 ，因此 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 而且仅有 不符.
综上可知，所求实数 的取值范围是 .
（3）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数 ，不等式 恒成立，等价变形
相当于（2）中 ， 的情形，
在 上单调递减，即 而且仅有 ；
取 ，得：对于任意正整数 都有 成立；
令 得证.
考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与单调性、最值，不等式证明．
【名师点睛】本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义．已知函数点 处的切
线方程，实际上已知两个条件： 和 ．在求函数的最值时，一般要研究函数的单
调性，这就要求研究导数 的正负，象本题导数 的正负也不易确定时，还必须研
究导函数 的单调性，从而又要对导函数 再求导，得二阶导数 ，由 的
正负确定 的单调性，从而确定 的正负．这在导数的复杂应用中经常采用．本题
第（3）小题考查同学们的观察能力、想象能力，类比推理能力，要在已证结论中取特殊值
得到要证的不等式，要求较高，属于难题．
14．已知函数 有极小值 ．
（1）求实数 的值；
（2）设函数 ．证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由 得 ,当 时，利用导数工具可得 有极大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值 ，无极小值，与题不符．当 时利用导数工具可得 有唯一极小值
，又已知 有极小值 ；（2）由（1）可知
当 时， 等价于 ． 利用导数工具可知
在 有最小值 .设函数 ，利用导数工具可得 在 上
的最大值 ．又由于函数 取最小值与函数 取得最大值时的 取值不相等，
所以，当 时， 也恒成立，即 成立.
试题解析：（1）函数 的定义域是 ．
，由 得
当 时，将 、 的值随 的变化列表如下：
增 极大值 减
由上表可知， 时 有极大值 ，无极小值，与题不符.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，将 、 的值随 的变化列表如下：
极小
减 增
值
由上表可知， 时， 有唯一极小值 ，又已知 有极小值 ．
，
（2）由（1）可知 ，从而当 时， 等价于 ．
又由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，从而函数
在 有最小值
设函数 ，则 ，所以当 时， ，当 时，
，故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 在 上的最
大值为
由于函数 取最小值与函数 取得最大值时的 取值不相等，
所以，当 时， 也恒成立，即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、导数的综合应用.
15．已知函数 ，曲线在 处的切线斜率为 .
（1）求证：函数 在区间 上没有零点；
（2）当 时，求证： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由题意得， ，易得 ，即 在区间 上单
调递增，又 ，从而得证；
（2）由（1）知， ，要证 ，即证 的图象在 图
象的上方即可.
【详解】（1）由题意得， ， ， ，
， .
当 时， ， 在区间 上单调递增，
又 ，则函数 在区间 上没有零点．
（2）由（1）知， ，令 ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．令 .
①当 时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则函数 的图象在 图象的上方.
②当 时， ， ，而 ，
则函数 的图象在 图象的上方.
综上所述，当 时， .
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化
思想，是一道综合题．
16．形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数
解析式两边取对数得 ，两边对 求导数，得
，于是 .已知
， .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，写出切线方程；
（2）通过特殊值 得出必要条件 ，然后证明 也是充分的，为此引入函
数 ，求出导函数 ，再设 ，再求导以确定 的正负，
得函数 的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)
由 ，不妨设 ，
由幂指函数导数公式得 ，
所以 ，又 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为
(2)
先寻找必要条件：若 恒成立，则 ，解得
证明充分性：当 时，若 恒成立，
构造 ， ，
则 ，
令 ，
所以 ，
因为 与 同号，所以 ，所以 ，
，所以 ，所以 即 为 上增函数，
又因为 ，所以，当 时， ； 当 时，
.
所以， 为 上减函数，为 上增函数，
所以， ，无最大值.
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】恒成立．
综上， 的范围是 ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的阅读理解能力，创新能力，应用新知识的
能力，对不等式恒成立求参数问题采取的特殊方法：先由特殊值找到必要条件，然后再证
明其也是充分的，目的是解题中方便确定正负．目标明确．难点一是理解并应用新知识的
能力，二是需要二次求导，本题属于难题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
