专题3.2-4图形的旋转与中心对称图形（讲练）-简单数学之八年级下册同步讲练（解析版）（北师大）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 3.2-4 图形的旋转与中心对称图形 典例体系 （本专题共 8 4 题 5 4 页） 一、知识点 1.图形的旋转 1）旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。 2）旋转三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 3）性质 ①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 2.中心对称1）定义把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对 称或中心对称 2）性质 ①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分 ②中心对称的图形是全等图形 3）中心对称图形 把一个图形绕着某一点o旋转180度后能与原图形重合 主体：一个图形，而中心对称指的是两个 4）关于原点对称的坐标特征 P(x，y)→P（-x，-y） 二、考点点拨与训练 考点1：图形旋转的判定 典例：（2019·湖南省初一期末）在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：A、由图形逆时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； B、由图形顺时针旋转180°而得出，故本选项不符合题意； C、由图形顺时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； D、不能由如图图形经过旋转或平移得到，故本选项符合题意． 故选：D． 方法或规律点拨 本题考查平移、旋转的性质．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点 所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等， 图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 巩固练习 1．（2020·河南省初三其他）下列运动属于旋转的是（ ） A．火箭升空的运动 B．足球在草地上滚动C．大风车运动的过程D．传输带运输的东西 【答案】C 【解析】A. 火箭升空的运动是平移，故不符合题意；B. 足球在草地上滚动时绕着旋转的点不是同一个点，故不符合题意； C. 大风车运动的过程是旋转，符合题意； D. 传输带运输的东西是平移，不符合题意； 故选：C. 2．（2020·江阴初级中学初一期中）下列汽车标志中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A图通过基本图形旋转变形可得到，故不符合题意， B图通过轴对称得到，故不符合题意， C图通过旋转变形得到，故不符合题意， D图可以通过平移得到，符合题意． 故选D． 3．（2018·内蒙古自治区初三期中）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得 到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ） A．第一张、第二张 B．第二张、第三张 C．第三张、第四张 D．第四张、第一张 【答案】A 【解析】观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张． 故选A． 4．（2019·长春市第一五三中学初三期中）右图中的“笑脸”顺时针旋转270°后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据旋转的定义， “笑脸”先顺时针旋转180°，得到：再顺时针旋转90°，得到： 故选：C． 5．（2019·河北省初一期末）下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】 图①在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 图②在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 图③在同一平面内经过旋转不可以得到例图，不符合题意； 图④在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 故选：C. 6．（2019·山东省初二月考）如图，甲图案变成乙图案，既能用平移，又能用旋转的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运 动叫做图形的平移运动，简称平移，由题意可知应选B. 7．（2019·北京市鲁迅中学初三期中）下面生活中的实例,不是旋转的是（ ） A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动 C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动 【答案】A【解析】 选项A中，传送带传送货物是平移，B,C,D均是旋转． 故选A. 考点2：旋转的三要素 典例：1（2020·扬州市江都区实验初级中学初二期中）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一 定的角度，得到△MNP，则其旋转中心可能是（ ） 1 1 1 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解析】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△MNP， 1 1 1 ∴连接PP 、NN 、MM ， 1 1 1 作PP 的垂直平分线过B、D、C， 1 作NN 的垂直平分线过B、A， 1 作MM 的垂直平分线过B， 1 ∴三条线段的垂直平分线正好都过B， 即旋转中心是B． 故选：B． 方法或规律点拨 此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点. 典例：2（2019·湖北省初三期末）如图，在Rt ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时 针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ） △A．70° B．65° C．55° D．35° 【答案】A 【解析】解：∵在 Rt ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠ABC＝55°， △ ∵将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α角到△A′B′C 的位置， ∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°， CB＝CB′， ∴∠CBB′＝∠B′＝55°， ∴∠α＝70°， 故选：A. 方法或规律点拨 本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键． 典例：3（2020·江西省初三二模）如图，正方形 的边长为 一个边长为 的小正方形沿着正 方形 的边 连续翻转(小正方形起始位置在 边上)，当这个小正方形翻 转到 边的终点位置时，它的方向是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意画出小正方形沿着正方形 的边 ，连续地翻转到 边 的终点位置时的图形（如图），由此可得，小正方形回到 边的终点位置时它的方向是向下． 故选C． 方法或规律点拨 本题主要考查了生活中的旋转现象，根据题意画出小正方形连续翻转后的草图是解决问题的关键．巩固练习 1．（2019·山东省鲁村中学初二月考）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°.将Rt ABC绕点C按逆时针方 向旋转48°得到Rt A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( ) △ △ △ A．42° B．48° C．52° D．58° 【答案】A 【解析】∵在Rt ABC中，∠BAC=90°，将Rt ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt A′B′C′， ∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A． △ △ △ 2．（2020·广东省初二期中）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点 O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A．30° B．45° C．90° D．135° 【答案】C 【解析】设小方格的边长为1，得， OC= ，AO= ，AC=4， ∵OC2+AO2= =16， AC2=42=16， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C． 3．（2020·内蒙古自治区初三月考）如图，一块含 角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到 ， 当 在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C， ∴BC与B'C是对应边， ∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°． 故选：A． 4．（2020·河北省初三其他）如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（ ） A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD 【答案】A 【解析】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE， ∴旋转角为∠BAD或∠CAE， 故选：A． 5．（2020·河北省初三一模）如图，将正五边形绕中心 顺时针旋转 角度，与原正五边形构成新的图形， 若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则 的最小角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵旋转后的图形既是轴对称又是中心对称图形， ∴旋转后的正五边形的五个顶点与旋转前的正五边形的五个顶点构成的图形是正十边形， ∵正五边形的中心角是72°，正十边形的中心角是36°， ∴ 的最小角度为36°． 故选：B． 6．（2020·内蒙古自治区初三期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转 中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边 △ CE交AB于D，则旋转角等于（ ）．A．70° B．80° C．60° D．50° 【答案】B 【解析】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点， ∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E， ∴∠F=∠FBC， ∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°， ∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°， ∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°． 故选B． 7．（2020·山东省初三二模）下列图形中，旋转 后可以和原图形重合的是 （ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】A：正三角形旋转的最小角为： ，故选项错误； B：正方形旋转的最小角为： ，故选项错误； C：正五边形旋转的最小角为： ，故选项错误； D：正六边形旋转的最小角为： ，故选项正确. 所以答案为D选项. 8．（2019·河北省初三月考）如图，在边长为1的正方形网格中，图形 是由图形 旋转得到的，则旋转 中心的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】如图所示，点P（0，1）即为旋转中心． 故选：B． 9．（2019·山东省初二期中）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0） 【答案】B 【解析】解：如图， 连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1). 故选B.. 10．（2019·浙江省初三期末）如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，将Rt ABC绕点C按逆时针方向旋转 46°得到Rt A′B′C，点A在边B′C上，则∠ACB的大小为（ ） △ △ △A．23° B．44° C．46° D．54° 【答案】C 【解析】由旋转得：∠ACA′=∠ACB=46°， 故选：C． 11．（2018·上海初一期末）如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内， 可作为旋转中心的点个数（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】可以绕点D,点C,线段CD的中点旋转， 故选C. 12．（2019·全国初一单元测试）1.下列图案都是在一个图案的基础上，利用“几何画板”软件中变换功能 形成的．它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】D 【解析】解：∵中心角是由四个角度相同的角组成， ∴旋转的角度是360°÷4=90°． 故选D 13．（2020·山东省中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线 段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋 转中心的坐标为_____．【答案】(4，2) 【解析】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）， 故答案为：（4，2）． 14．（2020·江苏省初三其他）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某 点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3）， 则这个旋转中心的坐标是__________． 【答案】（1，1） 【解析】解：连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示，∵A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴E点的坐标为（1，1）， ∴这个旋转中心的坐标是（1，1）， 故答案为：（1，1）． 15．（2020·江苏省初三其他）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到，则 旋转中心应该是________点. 【答案】M 【解析】解：以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点 对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH．故选A． 16．（2019·上海市建虹高级中学初一月考）如图，△ABC顺时针旋转能与△ADE重合，且∠BAE=60°， 则旋转中心是__________，旋转角的大小是_________度. 【答案】A 30 【解析】解：∵由△ABC顺时针旋转能与△ADE重合，且∠BAE=60° ∴∠BAC=∠DAE= ∠BAE=30° ∴.旋转中心是A；旋转角的大小是30°. 故答案为：A，30. 17．（2020·广东省初二期中）如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置． (1)指出它的旋转中心； (2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A，B，C的对应点． 【答案】(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F. 【解析】解：（1）它的旋转中心为点A； （2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度； （3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F. 18．（2018·河南省初二期中）如图，在边长为1的小正方形组成的 的方格中， 和 的 顶点都在格点上，且 .利用平移、旋转变换，能使 通过一次或两次变换后与 完全重合. （1）请你写出 通过两次变换与 完全重合的变换过程. （2） 通过一次旋转就能得到 .请在图中标出旋转中心 ，并简要说明你是如何确定的. 【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，作图说明见解析 【解析】（1）先将△ABC向右平移两个单位，再绕B 点顺时针旋转90°得到△AB C ； 1 1 1 1 （2）如图所示，连接CC ，BB ，作CC 的垂直平分线，BB 的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中 1 1 1 1 心． 19．（2020·江苏省初二月考）如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△ABC 旋转得到． 1 1 1 （1）在图中标出旋转中心点O； （2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△ABC ． 2 2 2【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【解析】（1）如图，点O即为所求． （2）如图，△ABC 即为所求． 2 2 2 20．（2020·贵州省初三期中）如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合． 旋转中心是点________，旋转了________度； 如果 ， ，求：四边形 的面积． 【答案】（1） , ；（2）详见解析. 【解析】解:(1) 四边形ABCD为正方形, AB=AD,∠BAD=90 , ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合, △即旋转中心是点A,旋转了90度; 故答案为A,90; (2) ADE绕点A顺时针旋转90 后与△ABF重合, BF=△DE, = , 而CF=CB+BF=8, BC+DE=8, CE=CD-DE=BC-DE=4, BC=6, = =6 =36 考点3：与旋转有关的规律探究 典例：（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，将函数 的图象记为 ，它与 轴的交点为 、 ．将 绕点 旋转180°得到 ，点 的对称点为 ；将 绕点 旋转180°得到 ，点 的对称点为 ；……，按此方法操作，直至得到 ．若 在 上，则 的值为_________． 【答案】 【解析】解：令y=0，则 解得 ∴A(2，0)， 1 由图知抛物线 在x轴的上方，相当于抛物线 向右平移4× =36个单位得到 ，再将 绕点 A 旋转180°得到 ， 19 ∴抛物线 =-(x-36-2)(x-36-2-2)=-(x-38)(x-40)， ∵ 在 上， ∴n=-( -38)( -40)=故答案为 ． 方法或规律点拨 本题考查了平面直角坐标系下的二次函数图像旋转和平移变换后的函数关系式的确定方法．解题的关键是 注意数形结合． 巩固练习 1．（2020·山东省初三一模）在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第 2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ） A．（ a, b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a） 【答案】B 【解析】解：通过观察，可以发现规律：P（b,-a）, P（-a，-b）,P （-b,a），P（a,b） 2 4 6 8 , P （b,-a）….故每8次是一个循环，2020 8=252……4,故与P 坐标一样,为（-a,-b）. 10 4 2．（2020·湖南省初三一模）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到， 第2020个图案中箭头的指向是（ ） A．上方 B．左方 C．下方 D．右方 【答案】B 【解析】由图可知，每旋转4次为一周 则第2020个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致，即箭头的指向是左方 故选：B． 3．（2019·石家庄市第十三中学初一期末）如图，一圆桌周围有5个箱子 ，依顺时针方向编号1 ~5 ，小 明从1号箱子 沿着圆桌依顺时针方向前进，每经过-个箱子就丢入-颗球，所有小球共有红、黄、绿3种颜 色， 1号箱子红色， 2号箱子黄色， 3号箱子绿色， 4号红色， 5号黄色， 1号绿色．．．．． ，颜 色依次循环，当他围绕圆桌刚好丢完2020圈时，则第5号箱子有（ ） 个红球． A．672 B．673 C．674 D．675【答案】B 【解析】解：根据题意，1号箱子红色， 2号箱子黄色， 3号箱子绿色， 4号红色， 5号黄色， 1号绿 色．．．．． ，当他围绕圆桌刚好丢完3圈时完成一个循环，此时第5号箱子有1 个红球 ∵2020÷3=673…1， ∴他围绕圆桌刚好丢完2020圈时，则第5号箱子有673个红球．， 故选B． 4．（2019·全国初一单元测试）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称 中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……则 第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是（ ）. A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【解析】依题意，旋转10次共旋转了10×45°＝450°， 因为450°－360°＝90°， 所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同， 故选B． 5．（2018·全国初三单元测试）己知点 ，将点 绕原点 顺时针旋转 后的对应点为 ，将点 绕原点 顺时针旋转 后的对应点为 ，依此作法继续下去，则点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解: 将点A绕原点O顺时针旋转60 后的对应点为A ,将点A 绕原点O顺时针旋转60 后的对 应点为A ,依此作法继续下去, 得出每旋转 =6次坐标一循环,得出2012 6=335余2,即点A 的坐标与点A 坐标相同,即可得出点 A 与点A关于x轴对称, A 点坐标为:(1,- ). 所以B选项是正确的. 6．（2020·河北省初三二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部 分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______ ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2 中，若正方形的边长为 ，则所得正八边形的面积为_______． 【答案】 【解析】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则 将一个正七边形绕其中心最少旋转 所得图形与原图的重叠部分是正多边形； 由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形， 设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为 x ∴x+x+ x=4，解得x=4-2 ∴减去的每个等腰直角三角形的面积为： ∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积 =4×4-4（ ） = ． 故答案为 ， ． 7．（2019·黑龙江省初三三模）如图，在直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，将线段 按逆 时针方向旋转 ，再将其长度伸长为 的 倍，得到线段 ；又将线段 按逆时针方向旋转 ， 长度伸长为 的 倍，得到线段 ．．．．．．如此下去，得到线段 为正整数)， 则点 的坐标为 __________________．【答案】 【解析】解：由题意，可得 ， ， ， ， ， ···， 则 ∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每8次变化为一个循环组， 2019÷8＝252…3， 点 是第 组的第 次变换对应的点，在 轴的负半轴上 点 的坐标为 故答案为 8．（2020·江西省初三月考）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的顶点 ， ．将正六边形绕点 顺时针旋转，每秒旋转 ，则第2018秒时，点 的坐标为________． 【答案】【解析】连接OB，设BC与y轴交于点M， ∵360°÷120°=3，2018÷3=672…2， ∴第2018秒时，点F旋转到点B的位置， ∵正六边形 的顶点 ， ， ∴OB=OA=2，∠OBC=60°， ∴BM=OB∙cos60°=2 =1，OM= OB∙sin60°=2 = ， ∴点 的坐标为： ． 9．（2020·广西壮族自治区初三三模）已知，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A 上，∠PAO=60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P坐标为_____． 【答案】（ ，0）或（ ，0） 【解析】解：如图所示， 当点P在点P 的位置时，点P第n次落在x轴上时， 1 点P的横坐标为： ； 即此时点P的坐标为（ ，0）； 当点P在点P 的位置时，点P第n次落在x轴上时， 2点P的横坐标为： ； 即此时点P的坐标为（ ，0）； 故答案为：（ ，0）或（ ，0）． 考点4：图形旋转在几何问题中的应用 典例：（2020·河北省初三学业考试）如图，在等腰 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连结 ． （1）求证： ； （2）四边形 是什么形状的四边形？并说明理由； （3）直接写出：当 分别是多少度时，① ；② ． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ABED是菱形．理由见解析；（3）① α＝30°；② α＝60° 【解析】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转2 ， 根据旋转的性质得： ∴∠EAC=2 ，∠DAE=∠BAC= ，AD=AB，AE=AC， ∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=2 - = ， ∴∠BAE=∠BAC， ∵AE=AC，AB=AB， ∴△ABE≌△ABC（SAS）， ∴BE=BC； （2）答：四边形ABED是菱形． 理由如下： ∵将△ABC绕点A逆时针旋转2 ， ∴AD=AB，BC=DE， ∵AB=BC，BE=BC， ∴AD=AB=BE=DE， ∴四边形ABED是菱形； （3）如图，当BE⊥AC时，延长EB交AC于H，∵四边形ABED是菱形， ∴AD∥BE， ∵BE⊥AC， ∴AD⊥AC， ∴∠DAC=90°， ∵∠DAE=∠BAC= ，∠EAC=2 ， ∴ +2 =90°， ∴ =30°； 如图，当BE∥AC， ∵四边形ABED是菱形， ∴AD∥BE， 又∵BE∥AC， ∴AD与AC共线， ∴∠DAE+∠EAC=180°， ∴ +2 =180°， ∴ =60°． 方法或规律点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本 题的关键． 巩固练习 1．（2020·北京初二期末）已知： 是等边三角形，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转 得到线段 AE，连接EC，作EF // BC交直线AB于点F． (1) 当点D在线段BC上时，如图1， ①依据题意，补全图1； ②猜想线段AB，AF，BD的数量关系，并证明；(2)当点D在线段BC的延长线上时，直接写出线段AB，AF，BD的数量关系． 【答案】（1）①图见解析；② ，证明见解析；（2） ，证明见解析． 【解析】（1）①先根据旋转的定义画出AE，再连接EC，然后过点E作 ，交AB于点F，画图结 果如图1所示： ② ，证明如下： 由旋转的性质得： 是等边三角形 又 在 和 中， 即 ；（2） ，证明如下： 如图2，由旋转的性质得： 是等边三角形 ， 又 ，即 在 和 中， 即 ． 2．（2020·甘肃省中考真题）如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，且，把 绕点 顺时针旋转 得到 ． （1）求证： ≌ ． （2）若 ， ，求正方形 的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形 的边长为6． 【解析】（1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在 和 中， ； （2）设正方形 的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又 四边形ABCD是正方形 则在 中， ，即 解得 或 （不符题意，舍去） 故正方形 的边长为6． 3．（2020·利辛县阚疃金石中学初二月考）如图E是正方形ABCD的边AB 的中点，延长BC到点F，使CF=AE． （1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由． （2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于G，求证：AH ⊥ED． 【答案】（1）把△ADE绕点D旋转一定的角度时，可以与△CDF重合，证明见解析；（2）证明见解析 【解析】解：（1）把△ADE绕点D旋转一定的角度时，可以与△CDF重合，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠BAD=∠DCF=∠ADC 90°， 又∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF， ∴∠1=∠2， ∵∠ADC 90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠EDF=90° ∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合． （2）由（1）可知∠EDF=90°， 由平移可知：AH∥DF， ∴∠EGH=∠EDF=90°， ∴AH⊥ED， 4．（2020·湖北省初二期中）如图1，已知正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 、 ．（1）试猜想 与 的数量关系与位置关系； （2）将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，使点 落在 边上，如图2，连接 和 ．你认 为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AE=GC，AE GC；（2）成立，见解析 【解析】 （1）答：AE=GC，AE⊥GC； 证明：如图1中，延长GC交AE于点H． 在正方形ABCD与正方形DEFG中， AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG， ∴△ADE≌△CDG， ∴∠1=∠2，AE=GC， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=90°， ∴AE⊥GC． 故答案为：AE=GC，AE⊥GC； （2）答：成立； 证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．在正方形ABCD和正方形DEFG中， AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°， ∴∠1=∠2=90°-∠3； ∴△ADE≌△CDG， ∴∠5=∠4，AE=CG， 又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°， ∴∠6=∠7， 又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH， ∴∠CEH+∠7=90°， ∴∠EHC=90°， ∴AE⊥GC． 5．（2020·江苏省河塘中学初一月考）如图1，已知直线m⊥n，垂足为点O．现有一个直角三角形ABC， 其中∠ACB＝90°，∠B＝30°，现将这个三角形按如图方式放置，使得点A与O重合，点C落在直线m上． 操作：将△ABC绕点O逆时针旋转一周，如图2所示．通过操作我们发现，当旋转一定角度α时，△ABC 会被直线m（或n）分成两个三角形，其中有一个三角形的两角相等．请直接写出所有符合条件的旋转角 度α． 【答案】α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°． 【解析】解：设旋转后的图形为△ ， ①当α＝45°时，如图1，由旋转得：∠CA ＝45°， ∴∠DA ＝45°， ∴∠ DA＝45°，∴∠DA ＝∠ DA； ②当α＝60°时，如图2， ∵BC∥y轴，∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DA ＝60°﹣30°＝30°， ∵∠ ＝30°， ∴∠ ＝∠DA ， ③当α＝135°时，如图3， 由旋转得：∠CA ＝135°，∴∠DA ＝45°， ∵∠ ＝90°，∴∠AD ＝45°， ∴∠DA ＝∠AD ； ④当α＝150°时，如图4， ∵∠CA ＝150°， ∴∠DA ＝180°﹣150°＝30°，∴∠ AD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ AD＝∠ ＝30°； ⑤当α＝225°时，如图5， ∵∠CA ＝360°﹣225°＝135°， ∴∠DA ＝135°﹣90°＝45°， ∴∠AD ＝45°， ∴∠DA ＝∠AD ； ⑥当α＝240°时，如图6， ∵∠CA ＝360°﹣240°＝120°， ∴∠DA ＝120°﹣90°＝30°， ∴∠ AD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ AD＝∠ ＝30°； ⑦当α＝315°时，如图7，∵∠CA ＝360°﹣315°＝45°， ∴∠AD ＝45°， ∴∠CA ＝∠AD ； ⑧当α＝330°时，如图8， ∵∠CA ＝360°﹣330°＝30°， ∴∠ AD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ AD＝∠ ＝30°． 综上所述，所有符合条件的旋转角度α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°． 6．（2020·河南省实验中学初二月考）如图，Rt ABC中，∠C=90°，把R ABC绕着B点逆时针旋转， 得到Rt DBE，点E在AB上 . △ △ (1)若∠BDA=70°，求∠BAC的度数； △ (2)若BC=8，AC=6，求△ABD中AD边上的高. 【答案】（1）50° （2） 【解析】解：(1)由旋转性质知BD=BA，∠CBA=∠EBD，∵∠BDA=70°， ∴∠BAD=70°， ∴∠ABD=∠ABC=40°， ∵∠C=90°， ∴∠BAC=50°； (2)∵BC=8，AC=6，∠C=90°， ∴AB= = =10， 由旋转性质知△ABC≌△DBE， 则BE=BC=8，DE=AC=6，AB=BD=10 ∴AE=AB-BE=2， 在Rt ADE中，AD= 作BF△⊥AD于点F， ∵BA=BD， ∴AF= AD= ∴BF= 考点5：中心对称 典例：（2020·广西壮族自治区初三期中）如图，ABC 与 ABC 关于O成中心对称，不一定成立的结 论是（ ） A．OAOA B．OC OC C．BC  BC D．ABC ACB 【答案】D 【解析】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确； 成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确；ABC和ACB不是对应角，D错误． 故选：D． 方法或规律点拨 本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等 形． 巩固练习 1．（2019·山东省初三期末）下列说法中错误的是（ ） A．成中心对称的两个图形全等 B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分 C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心 D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合 【答案】B 【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明 这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据 中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误． 故选B． 2．（2020·广西壮族自治区初三期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 B(6，4) ，过点 P(1，2) 的直 线将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（ ） 6 16 A． B． C． D．y  x y 4x6 y 3x5 y 2x4 5 5 【答案】C 【解析】解：连接AC、OB交于点E， ∵过点P（1，-2）的直线将▱OABC分成面积相等的两部分， ∴过点P（1，-2）的直线一定过点E， 则OE=BE， ∵B（6，4）， ∴E（3，2），设该直线的解析式为y=kx+b， kb2 ∴ ， 3kb2 k 2 解得： ， b4 ∴该直线的解析式为y=2x-4， 故选：C． 3．（2019·河北省初二期末）根据要求画图： （1）如图（1），是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小 正方形，使补画后的图形为轴对称图形． （2）如图（2），在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点．作△ABC 关于点O的中心对称图形△AB C ． 1 1 1 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）（四个答案中答对其中三个即可） （2）如图2，△AB C ，即为所求． 1 1 1 4．（2019·山东省初三期末）如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的 边长都为1． （1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△ABC ，请画出△ABC ； 1 1 1 1 1 1（2）请画出△ABC ，使△ABC 和△ABC关于点O成中心对称． 2 2 2 2 2 2 【答案】解：（1）所画△AB C 如图所示． 1 1 1 （2）所画△AB C 如图所示． 2 2 2 【解析】解：（1）所画△AB C 如图所示． 1 1 1 （2）所画△AB C 如图所示． 2 2 2 5．（2020·浙江省初一月考）分别按下列要求解答： （1）在图1中，将△ABC先向左平移5个单位，再作关于直线AB的轴对称图形，经两次变换后得到 △AB C ，画出△ABC ； 1 1 1 1 1 1 （2）在图2中，△ABC经变换得到△ABC .描述变换过程. 2 2 2 【答案】（1）见解析（2）先关于点A作中心对称图形,再向左平移2个单位 【解析】（1）如图，△ABC 即为所求； 1 1 1（2）将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移2个单位,得到△ABC ． 2 2 2 6．（2020·安徽省初三二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 ABC （顶点是网格线的交点）和格点O． （1）平移 ABC，使得点A与点O重合，画出平移后的 A′B′C′； （2）画出 ABC关于点O对称的 DEF； （3）判断 A′B′C′与 DEF是否成中心对称？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成中心对称 【解析】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，△DEF即为所求． （3）观察图形，连接 ，得到它们相交于同一点， A′B′C′与△DEF成中心对称，对称中心是线段OD 与线段FC′的交点． 7．（△2020·河北省初二期末）如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶 点都在格点上． （1）画出△ABC关于点O成中心对称的△AB C ； 1 1 1 （2）在线段DE上找一点P，△PAC的周长最小，请画出点P．【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】解：(1)如图所示，△AB C 即为所求； 1 1 1 (2)如图所示，作A点关于直线DE的对称点M，连接MC与DE的交点即为所求的点P． 考点6：中心对称图形的性质与识别 典例：（2020·浙江省初二期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 方法或规律点拨 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 巩固练习 1．（2020·江苏省初二期中）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质可得(1)、(3)、(4)既是轴对称图形，也是中心对称图形； (2)是轴对称图形． 2．（2020·渠县崇德实验学校初二期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】C 【解析】解：A、B都只是轴对称图形； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、只是中心对称图形． 故选：C． 3．（2020·浙江省初二期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】 第一个是中心对称图形，不是轴对称图形；第二个是中心对称图形，又是轴对称图形；第三 个是中心对称图形，是轴对称图形；第四个不是中心对称图形是轴对称图形．综上可得，共 有2个符合题意． 故选C. 4．（2020·江苏省初二期末）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选B．5．（2018·内蒙古自治区初二期中）下列命题： ①平行四边形的对边相等； ②对角线相等的四边形是矩形； ③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】平行四边形的对边相等，所以①正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确． 故选C． 6．（2018·河南省初一期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．不是中心对称图形，故此选项错误； B．不是中心对称图形，故此选项错误； C．中心对称图形，故此选项正确； D．不是中心对称图形，故此选项错误． 故选C． 7．（2020·湖南省初三月考）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A． 8．（2020·湖北省初三月考）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【解析】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 9．（2020·北京初二期末）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起， 北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．下图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标 识，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、不是中心对称图形，此项不符题意 B、不是中心对称图形，此项不符题意 C、是中心对称图形，此项符合题意 D、不是中心对称图形，此项不符题意 故选：C． 10．（2020·湖北省初三二模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） ①菱形②等边三角形③圆④梯形⑤正方形 A．②④⑤ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．②③⑤ 【答案】C 【详解】①菱形是中心对称图形；②等边三角形不是中心对称图形；③圆是中心对称图形；④梯形不是中 心对称图形；⑤正方形是中心对称图形；因此是中心对称图形的有①③⑤， 故选：C． 考点7：求关于原点对称的点的坐标 典例：（2018·曲阜师范大学附属实验学校初一期末）如下图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经 过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： （1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． （2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来． （3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M（2a+5，1-3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（-3-a，-b+3），求关于x的不等式 的解集． 【答案】（1）A(4，3)，P(-4，-3)；B(3，1)，Q(-3，-1)；C(1，2)，R(-1，-2)；（2） ABC与 PQR关于 原点对称；（3） ，具体过程见解析． 【解析】解：（1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，得出：点A的坐标为(4，3)，点P的坐标为(-4，- 3)；点B的坐标为(3，1)，点Q的坐标为(-3，-1)；点C的坐标为(1，2)，点R的坐标为(-1，-2)． （2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以 ABC与 PQR关于原点对称． （3）∵由（2）可知 ABC与 PQR关于原点对称， ∴点M、N也是关于原点对称的， ∴点M、N的横纵坐标互为相反数，可得： ， 解得：a=-2，b=1，将a、b的值代入关于x的不等式： ， 解得： ． 方法或规律点拨 本题考察了直角坐标系中点的坐标表示形式、判断两点是否关于原点对称、解一元一次不等式，解题的关 键在于判断两点之间的对称方式：若两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标值互为相反数；若两点关 于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标值互为相反数；若两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数． 巩固练习 1．（2020·山西省侯马五中初二月考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心为坐标原点O，其   中点 A 的坐标为 3,1 ，点A、B、C、D按逆时针顺序排列，则点 D 的坐标为（）         1, 3 1, 3  3,1 3,1 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：依题意，正方形ABCD如下图所示  点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是 3,1 ， A D x D 故选：D 2．（2020·富顺第三中学校初三三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）关于点O中心对称的点 的坐标是（ ） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【答案】C 【解析】解：∵点A（﹣2，3）与点B关于原点O中心对称， ∴点B的坐标为：（2，﹣3）． 故选：C． 3．（2020·湖北省初三其他）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B、C的坐标 分别为(2,1)、 6,1 ，BAC 90，AB AC ，直线AB交y轴于点 P ，若ABC与ABC关于点 P成中心对称，则点A的坐标为（ ） A．(4,5) B．(5,4) C． (3,4) D．(4,3) 【答案】A 【解析】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线AB解析式为y=kx+b，4kb3  k 1 则 ，解得 ， 2kb1 b1 ∴直线AB解析式为y=x﹣1， 令x=0，则y=﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点A与点A'关于点P成中心对称， ∴点P为AA'的中点， m4 3n 设A'（m，n），则 =0， =﹣1， 2 2 ∴m=﹣4，n=﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选A． 4．（2020·河南省初三一模）如图，位于第二象限的图案是由图案ABC绕点A逆时针旋转得到的，若点 A(3,3)，C(4,2)，则点M 的坐标是（ ） A．(2,3) B．(1,4) C．(2,4) D．(3,5) 【答案】C 【解析】由题意知：点M、C关于点A中心对称， 设点M的坐标为(x， y )， 4x 2 y ∴ 3， 3， 2 2 解得：x2，y 4， ∴点M的坐标为(2，4)， 故选：C． 5．（2020·浙江省初二期末）在直角坐标系中，点A（-7， 5）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（7， 5） B．（-7， 5） C．（ 5，7） D．（7， 5） 【答案】D【解析】点A（-7， 5）关于原点对称的点的坐标是（7， ）， 故选：D． P1,1 Q1,0 6．（2020·内蒙古自治区初三期末）平面直角坐标系内点 关于点 的对称点坐标是（ ） A．(-2, -1) B．(-3, -1) C．(-1, -2) D．(-1, -3) 【答案】B 【解析】解:如图， 点P(1,1)关于点Q(−1,0)的对称点坐标为(−3,−1). 故选B. 1  B ,1 7．（2020·河南省初二期中）如图：将 的对角线的交点与直角坐标系的原点重合，点   ABCD 2   和C2,1 分别对应的D点，A点的坐标是（ ）  1   ,1 A． 和  2  (2,1)  1  B． 和  ,1  (2,1)  2  1  C． 和 ,1 (2,1) 2   1 D． 和 1,  (1,2)  2 【答案】A 1 【解析】解： 、 与 、 分别关于原点对称，点 与点 的坐标分别是( ， ， ， B C D A B C 2 1) C(2,1) 1 可得 点的坐标为( ， ；点 的坐标为 ．  D 2 1) A (2,1) 8．（2020·江苏省初二期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标 系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(-3，-1)． （1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△AB C； 1 1 （2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△AB C ，并写出点C 的坐标． 2 2 2 2 C 3，1 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析； 2 【解析】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°， 所作图形如下： ； （2）所作图形如下： 结合图形可得点C 坐标为（3，1）． 29．（2020·山东省初二期中）如图，在正方形网格中， ABC的三个顶点都在格点上，点A,B,C的坐标 分别为 2,4,2,0,4,1 （1）画出 ABC关于原点O对称的△A 1 B 1 C 1 （2）平移  ABC，使点A移动到点 A 2 0,2 ，画出平移后的△A 2 B 2 C 2 ，并写出点B 2 ,C 2 的坐标； （3）△ABC 与△A B C 成中心对称，写出其对称中心的坐标． 1 1 1 2 2 2 B 0,2,C 2,1 P1,1 【答案】（1）见解析；（2）见解析， ；（3） ． 2 2 【解析】解： 1 如图：△ABC 即为所求； 1 1 1 2 如图：△A B C 即为所求， ； 2 2 2 如图：连接 与 相交于点 ，点P即为对称中心， ． 10．（2020·江苏省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣ 1）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3） （1）点A关于坐标原点O对称的点的坐标为 ． （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△ABC，AA的长为 ． 1 1 1【答案】（1）（3，1）；（2）作图见解析； ． 【解析】（1）∵A（﹣3，﹣1）， ∴点A关于坐标原点O对称的点的坐标为（3，1）． 故答案为：（3，1）； （2）如图，△ABC即为所求， 1 1 AA的长为： ＝ ． 1 故答案为： ． 11．（2020·陕西省初二期末）如图， 中任意一点 经平移后对应点为 ， 将 作同样的平移得到 ，其中点A与点D，点B与点E，点C与点F分别对应，请解答下列 问题： （1）画出 ，并写出点D、E、F的坐标．． （2）若 与 关于原点O成中心对称，直接写出点D的对应点 的坐标． 【答案】（1）D(0，4)，E(2，2)，F(3，5)，画图见解析；（2）(0，-4) 【解析】解：（1）如图，△DEF即为所求， 点D的坐标是 ，即(0，4)； 点E的坐标是 ，即(2，2)；点F的坐标为 ，即(3，5)； （2）点D(0，4)关于原点中心对称的 的坐标为(0，-4)． 12．（2020·广东省初二期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ． （1）请画出 关于原点对称的 ，并写出 ， ， 的坐标； （2）请画出 绕点 逆时针旋转 后的 ． 【答案】（1）如图见解析； 为所求三角形， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的 坐标为 ；（2）如图， 为所求的三角形．见解析． 【解析】解：（1）如下左图： 为所求三角形， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ； （2）如下右图： 为所求的三角形．13．（2020·四川省中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 是常数）与y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 是常 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 数）满足a+a＝0，b＝b，c+c＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数， 1 2 1 2 1 2 小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a＝2，b＝﹣3，c＝1，根据a+a＝0，b＝b，c+c＝ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 0，求出a，b，c 就能确定这个函数的旋转函数． 2 2 2 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数． （2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值． （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原 点的对称点分别是A、B、C ，试求证：经过点A、B、C 的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋 1 1 1 1 1 1 转函数”． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）见解析 【解析】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a＝1，b＝﹣4，c＝3， 1 1 1 ∵a+a＝0，b＝b，c+c＝0， 1 2 1 2 1 2 ∴a＝﹣1，b＝﹣4，c＝﹣3， 2 2 2 ∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3； （2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”， ∴ ， 解得： ， ∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1． （3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）． 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x＝1，x＝﹣3， 1 2∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）． ∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B，C ， 1 1 1 ∴A（﹣1，0），B（3，0），C （0，6）． 1 1 1 设过点A，B，C 的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 1 1 1 将C （0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a， 1 解得：a＝﹣2， 过点A，B，C 的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6． 1 1 1 ∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6， ∴a＝2，b＝4，c＝﹣6，a＝﹣2，b＝4，c＝6， 1 1 1 2 2 2 ∴a+a＝2+（﹣2）＝0，b＝b＝4，c+c＝6+（﹣6）＝0， 1 2 1 2 1 2 ∴经过点A，B，C 的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 1 1 1 14．（2019·江苏省初二月考）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标 系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）． （1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△ AB C； 1 1 （2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△AB C ，并写出点 的坐标 2 2 2 ________________． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，C （-4，1）． 2 【解析】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°， 所作图形如下：． （2）所作图形如下： 结合图形可得点C 坐标为（-4，1）． 2 15．（2019·江苏省初二期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3， 4）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△ABC ； 1 1 1 （2）四边形CBC B 为 四边形； 1 1 （3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的 点P坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）平行；（3）作图见解析，P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0， 3）． 【解析】解：（1）△ABC 如图所示． 1 1 1 （2）连接CB ，BC 1 1． BC=B'C'，BC∥B'C'，∴四边形CBC B 为平行四边形． ∵ 1 1 故答案为：平行． （3）如图所示，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．