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专题3.20 圆内接正多边形（知识讲解）
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的
有关知识画正多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
知识点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
特别说明：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角
相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方
形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆
的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
特别说明：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n
边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，
面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
特别说明：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的
外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心
的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正
n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。
再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边
形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径
AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、
E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
特别说明：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、已知正多边形求角度
【变式1】如图，四边形 内接于圆， ，对角线 平分 ．
（1）求证： 是等边三角形；（2）过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，求 的
面积．
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2） 过点A
作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S =S +S ，
四边形ABCD △ABC △ACD
分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得
△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积= .
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM= AD=1，AM= ，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S = CD-AM= ×3× = ，
△ACD
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC= ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC= ，
∴BN= ，
∴S = × × = ，
△ABC
∴四边形ABCD的面积= + = ，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积= .
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角
形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中
考常考题型．
【变式2】如图，四边形 是圆的内接四边形，延长 、 相交于点 ，已
知 ．
（1）求证： ；
（2）若 是四边形 外接圆的直径，求证： ．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得
AB＝AC； （2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
解：（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及
圆的有关性质．
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并
延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．【答案】（1）详见解析；（2）110°．
【分析】
（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故
AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再
根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；
（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝
55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
由（1）得：∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．
【点拨】此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对
的圆周角相等；（2）内接四边形的性质.类型二、求四边形外接圆的直径
2．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．
(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND
【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共
圆；
（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．
（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，圆的直径是AC，
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴BM=ND.
【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活
运用所学知识进行推理是解题关键.．
【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，
AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长.【答案】 .
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用
勾股定理计算即可．
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∴BC=AB=2，
∴AC= ，
∴⊙O半径的长为： .
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆
周角所对的弦是直径．
【变式2】如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，
BC=8cm，CD平分∠ACB．
(1)求AC与BD的长；
(2)求四边形ADBC的面积．【答案】(1)5 cm；(2)49cm2．
【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）根据三角形的面积公式计算．
解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= =6（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴BD=AD= AB= （cm）；
(2) 四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积= ×6×8+ × ×
=49（cm2）．
【点拨】本题考查的知识点是圆周角定理以及勾股定理．解题关键是注意掌握数形结
合思想的应用．
类型三、求正多边形的中心角
3．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD
上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】
（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由
圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得 ；
解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴ ．
【变式1】如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形
ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根
据圆内接正三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理
与性质可得 ，最后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根
据（1）同样的方法可得 ；先根据圆内接正五边形的性质可得中心
角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；
（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
解：（1）如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟
练掌握正多边形中心角的求法是解题关键．
【变式2】如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， ．（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值．
【答案】（1）45°；（2）8
【分析】
(1)连接 ， ，由正方形 内接于 ，可求中心角 ．
．
(2)连接 ， ，由正方形 内接于 ，可求 ．由点 为
的中点，可求 ,可得 ，利用周角除以一个中心角即
可求解
解：（1）连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∴ ；（2）连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌
握圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形
的中心角求边数是解题关键．
类型四、由正多边形中心角求边数
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．
(1)求∠AED的度数；
(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？
(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1) 120°；（2） ；（3）12
【解析】
试题分析：（1）连接AC,由AB=AD可得到∠ACB=∠ACD=60°,在四边形ACBE中由对
角互补可求得∠AEB,(2)因为 ∠AOD=2∠ABD=120°,半斤为2,根据弧长公式即可求解.
（3）连接OA,求出∠AOE的度数即可求出正n边形的边数.连接BD,
∵四边形ABCD是 O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠C=120°,
∴∠BAD=60°,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵四边形ABDE是 O的内接四边形,
∴∠AED+∠ABD=180°,
∴∠AED=120°,
(2) ∵∠AOD=2∠ABD=120°,
∴弧AD的长= ,
(3)连接OA,
∵∠ABD=60°,
∴∠AOD=2∠ABD=120°,
∵∠DOE=90°,
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴n= .【变式1】（阅读理解）如图1， 为等边 的中心角，将 绕点O
逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 分别交于点
．设等边 的面积为S，通过证明可得 ，则
．
（类比探究）如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋
转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．
若正方形 的面积为S，请用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究
过程）．
（拓展应用）如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆
时针旋转一个角度 ， 的两边与正六边形的边 分别交于点
．若四边形 面积为 ，请直接写出正六边形 的面积．【答案】【类比探究】四边形 的面积= ．【拓展应用】6
【分析】
类比探究：通过证明可得 ，则
．
拓展应用：通过证明可得 ，则
．
解：解：类比探究：如图2，∵ 为正方形 的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的
边 分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴ ．拓展应用：如图3，∵ 为正六边形 EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的
边 分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为6 ．
【点拨】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图
形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
类型五、正多边形和圆5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为 中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求 的长．
3
【答案】（1）证明见解析；（2） π．
2
【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=CD，从而有 ，进一步
得到 ，从而得到结论；
（2）连接OM，OB，OC．由 ,得到∠BOM=∠COM，由正方形ABCD内
接于⊙O，得到∠BOC=90，进而得到∠BOM=135°，由弧长公式即可得到结论．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴ ，∵M 为 中点，
∴ ，∴ , ∴BM＝CM；
（2）连接OM，OB，OC．∵ ，∴∠BOM=∠COM，∵正方形ABCD内接
135×π×2 3
于⊙O，∴∠BOC=360°÷4=90°，∴∠BOM=135°，∴l = = π.
BM 180 2
考点：圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；圆内接四边形的性质；正方形的性质．【变式1】如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
【答案】2cm
【分析】
利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，
BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，
∴ = = ，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点拨】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，
BD=CD是解题关键．
类型六、尺规作图-正多边形
6．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形
ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，
，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可
得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形
的判定与正六边形的性质．
【变式1】已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、
CD、CB即可．
解：如图，四边形ABCD为所作．
【点拨】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作
图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何
图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式2】如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且AE=CF ，连
接 ，请只用无刻度的直尺画出线段 的中点 ，并说明这样画的理由.【分析】连接AC交EF与点O，连接AF，CE．根据AE=CF，AE∥CF可知四边形
AECF是平行四边形，据此可得出结论．
解：如图：连接AC交EF与点O，点O即为所求．
理由：连接AF，CE，AC．
∵ABCD为平行四边形，
∴AE∥FC．
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，
∴点O是线段EF的中点．
【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
