文档内容
专题 3.4 二次函数与幂函数
题型一 二次函数的图象
题型二 二次函数的单调性
题型三 二次函数在区间上的最值问题
题型四 二次函数恒成立问题
题型五 幂函数的定义
题型六 判断幂函数的图象
题型七 根据幂函数的单调性比较大小
题型八 根据幂函数的单调性求参数
题型九 根据幂函数的单调性解不等式
题型一 二次函数的图象
例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数
的图像与x轴的交点个数是___________.
【答案】1
【分析】根据题意有 ，再借助二次函数的判别式判断交点个数
【详解】a，b，c成等比数列,则 ，
，
则二次函数的图像与x轴有1个交点，
故答案为：1.
例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数
的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．
（1） 异号；（2）当 和 时，函数值相等；（3） ；（4）当 时，
的取值只能为0.
【答案】3
【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知： 是二次函数与 的两个交点，所以可得对称轴方程为
，故对称轴为 ，故 异号且 ，（1）（3）正确；
因为对称轴为 ，故当 和 时，函数值相等，
当 时， 的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.
故答案为：3.
练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数 的图像如图所示，
则一元二次不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像求得 ，进而求得一元二次不等式 的解集.
【详解】由图像可得当 时， ，所以二次函数 ，
由于二次函数 图像过点 ，
所以 ，解得 ，
所以一元二次不等式 ，
即 的解集为 .
故选：C
练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数 恒满足
对称，则实数m的取值为______
【答案】
【详解】根据 确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得
答案.函数 恒满足 对称，
则 图象关于直线 对称，则 ，
故答案为：
练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数 的图像
恒在 轴上方的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在 轴上方的充要条件，再根据必要条件定义
即可求.
【详解】二次函数 的图像恒在 轴上方的充要条件为
，
又 ，所以必要条件为 、 .
故选：BD
练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知 ，且 是方
程 的两根，则 大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】 ，由题意得， ，而 ，
借助图象可知，
的大小关系可能是 ，
故选：D.
练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，则 （ ）A． B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】由图可得方程 的两根为2和4，利用根与系数的关系结合 列
式求得 的值，则答案可求.
【详解】由直线 ， ，知 ，又由二次函数
的对称性和图象知顶点为 ，
所以 ，解得 ，由 得 ， ，则 ．
故选：C.
题型二 二次函数的单调性
例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数 在 上单调
递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可；在 时，利用二
次函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】当 时，函数 在 上单调递增，合乎题意；
当 时，则二次函数 图象的对称轴方程为 ，
若函数 在 上单调递增，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设 是定义在 上偶函数，则
在区间 上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与 ， 有关，不
能确定
【答案】B
【分析】根据偶函数的特点解出 ，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
【详解】 是定义在 上偶函数，∴定义域关于原点对称，即 ，∴
，
则 ，由 ，
即 ，解得 ，∴ ，
函数图像抛物线开口向下，对称轴为 ，
则函数在区间 上是减函数．
故选：B．
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 单调递减，
则实数 的取值范围为 __．
【答案】
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知 ，然后求出 的取值范围
即可.
【详解】易知二次函数 的单调递减区间为 ，
又因为函数 在区间 单调递减，
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知 在 上为减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.
【详解】由 在 上递减，要使 在R上递减，
所以 ，可得 .
故选：B
练习8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数
在区间 上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得 或 ，解出即可得出实数k的取值范围.
【详解】函数 的对称轴为 .
若函数 在区间 上单调递减，则应有 ，所以 ；
若函数 在区间 上单调递增，则应有 ，所以 .
综上所述，实数k的取值范围是 或 .
故选：C.
练习9．（2022秋·江苏连云港·高三统考期中）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 是 上的偶函数 B． 是 上的偶函数
C． 在区间 上单调递减 D．当 时， 的最大值是4
【答案】BCD
【分析】由条件求出函数 的解析式，根据偶函数的定义判断A，根据二次函数的性质
判断函数 的单调性，判断C，求函数 在 上的值域，判断D，根据偶函
数的定义判断函数 的奇偶性.
【详解】因为 ，将 变换为 可得 ，因为 ， ， ，所以函数 不是 上的偶函
数，A错误；
因为 ，由二次函数性质可得函数 在区间 上单调递减，C正确；
由 ，可得 ，所以 ，所以当 时， ，
所以函数 在 上的最大值是4，D正确，
设 ，则 ，所以 ，所以函数
是 上的偶函数，B正确；
故选：BCD.
练习10．（2023春·广西南宁·高三校考开学考试）函数 的单调减区间为
______；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令 ，则 可以看作是由 与 复
合而成的函数.
令 ，得 或 .
易知 在 上是减函数，在 上是增函数，而 在 上是
增函数，
所以 的单调递减区间为 .
故答案为： .
题型三 二次函数在区间上的最值问题
例5．（2022·高三单元测试）已知函数 R)．当 时，设
的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设 在 上递增，在 上递减，讨论m与区间 的位置关系
求 的最大值，进而判断最大值 的最小值.
【详解】由 ，故 在 上递增，在 上递减，
当 ，则 上递减，故最大值 ，当 ，则最大值 ，
当 ，则 上递增，故最大值 ，
综上， 的最小值为 .
故选：C
例6．（2023·全国·高一专题练习）函数 在区间 上的最大值
为 ．求 的解析式；
【答案】
【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性
求函数的最大值，即可求解.
【详解】
当 ，即 时， 在区间 上为增函数，
当 ，即 时， ；
当 时， 在区间 上为减函数，
综上所述， .
练习11．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数 的最大值为0，
关于 的不等式 的解集为 ，则 ______， 的值为______.
【答案】
【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出 ；根据不
等式 的解集为 ，可得 的解集为 ，然
后利用韦达定理表示出 ，再利用 即可出结果.
【详解】因为函数 的最大值为0，所以当 时，函数有最大值，即 ，
化简得出 .
不等式 的解集为 ，
即 的解集为 ，
设方程 的两根为 ，
则 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
故答案为： ； .
练习12．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）（多选）已知函数
则（ ）
A． 为偶函数 B． 在区间 上单调递减
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】BCD
【分析】作出 在区间 上的图象逐项判断.
【详解】解：作出 在区间 上的大致图象如图所示：
的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；由图象可知， 在区间 上单调递减，故B正确；
当 或 时， ，当 时， ，故 正确.
故选：BCD
练习13．（2021秋·广东云浮·高三统考期末）（多选）若函数 满足
， ，则（ ）
A． B．
C． 图像的对称轴是直线 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据已知求出 ，再利用二次函数的性质判断得解.
【详解】由题得 ，即 ，解得 ，
所以 .
对于A项，因为 ，故A正确；
对于B项，因为 ，故B正确；
对于C项，因为 的对称轴为 ，故C项错误；
对于D项，因为 ，所以 的最小值为 ，故D项正确.
故选：ABD.
练习14．（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考期末）已知函数 的值域为 ，
则函数 定义域可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用函数 的奇偶性，以及单调性，分别判断每个选项，可得答案.
【详解】由于 为偶函数，其图象如图示：故当 时， ，则 ；
当 时， 此时递增，则 ；
当 时， 此时递减， ，
当 时， ，
故函数 的值域为 ，则函数 定义域可能为 ， ，
故选：
练习15．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数 在 上有最大值，
最大值为 ，当 取最小值时， （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】 在 上有最大值 ，
且当 时， 的最大值为 ，
即 且 ，
当且仅当 时，即 时， 有最小值2，
故选：A．
题型四 二次函数恒成立问题
例7．（2019秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若命题“ ，
”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离参数，将问题转化为 ， 恒成立，结合基本不等
式求解最值即可得解.
【详解】若命题“ ， ”是真命题，
则 ， ，即 恒成立，，当且仅当 时等号成立，
∴ ，即实数 的取值范围是 .
故选：C．
【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为
求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
例8．（2022秋·广东广州·高三广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“ ，
”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，命题“ ， ”是真命题，分 和 两种情
况讨论，结合参变量分离法可求得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“ ， ”是真命题.
当 时，则有 ，不合乎题意；
当 时，由 ，可得 ，则有 ，
，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进
行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
练习16．（2023·全国·高三专题练习）p： ， 为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题设命题为真，结合不等式恒成立求参数a的范围，再由充分、必要性的定
义确定充分不必要条件.
【详解】由题设命题为真，即 在 上恒成立，
所以 ，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD必要不充分条件.
故选：A
练习17．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）“ ，
”是真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意确定 ，根据全称命题的真假，可得 ，即可求得答案.
【详解】由题意知 ， ，
故“ ， ”是真命题，则 ，则 ，
故选：A
练习18．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）命题p： ， 的否定为
___________；使命题p成立的一个x的值为___________．
【答案】 ，
【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证 时，命题p成立，即得
第二空答案.
【详解】解：因为命题p： ， ，
所以命题p： ， ；
当 时， 成立，
所以命题p成立的一个x的值为1.
故答案为： ， ，1.
练习19．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若命题“
”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答
案.
【详解】命题“ ”为假命题， ”是真命题，方程 有实数根，则 ，解得 ，
故选：A.
练习20．（2023·全国·高三专题练习）若“ ， ”是假命题，
则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“ ， ”的否定是： ，
，
依题意，命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，则 ，
当 时，不等式 恒成立，则 ，解得 ，
综上得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
题型五 幂函数的定义
例9．（2021秋·高三课时练习）下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知： 是幂函数， ， 和 的系数不为
1，故不是幂函数，
故选：D
例10．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）若幂函数 在区
间 上单调递增，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数 为幂函数，且在区间 上单调递增，
所以 且 ，由 ，得 或 ，
当 时， ，满足题意；
当 时，足 ，不符合题意.
综上 .
故选：A.
练习21．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知函数 为幂函数，
则实数 的可能性取值为（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
【答案】AD
【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数 ，检验后得到答案.
【详解】由题意得 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，均满足要求.
故选：AD
练习22．（2023春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知点 在幂函数 的
图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【详解】 函数 是幂函数，
，即 点 在幂函数 的图象上，
2，即 ，故 .
故选：D.
练习23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数 的图象过
点 ，且 ，则 的取值范围是______.
【答案】【分析】设幂函数 ，将点 代入求出 的值，再利用幂函数的单调性求解
即可.
【详解】设幂函数 ， ，
因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ， 的定义域为 ，且在 上单调递减，
因为 ，所以 ，解得 ，
故答案为：
练习24．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数 的图像过
点 ，则 的值为___________．
【答案】
【分析】设幂函数为 ，代入点 计算，从而得函数解析式 ，再代入
计算即可.
【详解】设幂函数为 ，由题意， ，
解得 ，所以幂函数解析式为 ，
所以 .
故答案为：
练习25．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆中学校考期中）函数 是幂
函数，且在 上单调递增，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知， ，解得 ， .
故选：B
题型六 判断幂函数的图象例11．（2023·山东临沂·高三校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致
对应的是（ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
【答案】A
【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【详解】函数 为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数 ，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是 ，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例12．（2023秋·湖北·高三校联考期末）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
【答案】AD
【分析】根据幂函数 随着 变化的图像与性质，即可判断正误.
【详解】幂函数的解析式为 .
当 时， ，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，A选项错误；
当 时， ，定义域为 ，此函数为偶函数，
当 时， ，定义域为 ，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当 时，无论 取何值，都有 ，
图像必过点 ，C选项正确；
当 时， 图像经过一三象限，D选项错误.
故选：AD.
练习26．（2019·全国·高三专题练习）对于函数y＝x2，y＝x 有下列说法：①两个函数都
是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两
个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
【答案】①②⑤⑥
【分析】根据幂函数的图像和性质可以得到①②⑤⑥都是正确的，因为 的函数图像
关于 对称后得到的图形的方程是 ，所以该图形不是函数 的图像，而且
也不是偶函数，故可得正确结论的序号．
【详解】幂函数的一般的形式是 ，故 和 都是幂函数，且它们在 是
增函数，所以①②正确．
的图像关于 对称后的图形不是函数的图像，故③错．
的定义域为 ，故该函数是非奇非偶函数，故④错．
当 时， ，当 时 ，所以两个函数的图像都经过 ，故⑤正确．
从图像的形状上看， 的图像是抛物线的一部分，故而⑥正确，所以填①②⑤⑥．
【点睛】研究幂函数 的性质，一般是先研究其在 上的性质，然后利用函数的
奇偶性讨论其在 上的性质．注意当 时， 在 是减函数，当 时，
在 是增函数．
练习27．（2023秋·上海徐汇·高三统考期末）当 时，函数 的图象恒过定点
A，则点A的坐标为________．
【答案】
【分析】根据幂函数恒过定点 即可求解.
【详解】由于对任意的 ， 恒经过点 ，所以函数 的图象恒过定点
,故答案为：
练习28．（2021秋·青海·高二统考学业考试）如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图
象，其中①对应的幂函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由幂函数的图像性质可得①对应的幂函数可能是 .
【详解】由幂函数的图像性质可得，选项中的四个幂函数的图象
①②③④分别对应的解析式依次为： ， ， ， .
则其中①对应的幂函数可能是 .
故选：B
练习29．（2022春·浙江·高二统考学业考试）（多选）图象经过第三象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.
【详解】由幂函数的图象可知，
A中， 过第一、二象限；
B中， 过第一、三象限；
C中， 且定义域为R，过第一、二象限；
D中， 过第一、三象限.
故选：BD
练习30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图像经过点 ，则解析式为B．所有幂函数的图象均过点
C．幂函数一定具有奇偶性
D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
【答案】AD
【解析】根据幂函数的解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果.
【详解】若幂函数的图象经过点 ，则解析式为 ，所以A正确；
函数 的图象不经过点 ，所以B不正确；
为奇函数， 是偶函数， 是非奇非偶函数，
所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C不正确；
因为对于幂函数 ，当 时， 一定成立，
所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D正确；
故选：AD.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：
（1）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；
（2）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而清楚函数的奇偶性
以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.
题型七 根据幂函数的单调性比较大小
例13．（2021春·陕西延安·高二校考期末）已知 ，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质结合对数函数、幂函数的性质求解.
【详解】若 ，则 ，A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，B错误；
若 ，则 ，C错误；
因为幂函数 在 单调递增，所以 时一定有 ，D正确，
故选:D.
例14．（2023·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】利用中间值 比较a,b的大小，再让b，c与中间值 比较，判断b,c的大小，
即可得解.
【详解】 ，又因为通过计算知 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B
练习31．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）若 ，则下列不等关
系中，不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用作差法可判断AD;举反练习可判断B;根据函数 的单调性判断C
【详解】对于选项 ：因为 ，则 ，
所以 ，故选项 正确；
对于选项 ：取 ，满足 ，但 ，故选项 错误；
对于选项 ：因为 函数为单调增函数，
所以 时， ，故选项 正确；
对于选项 ：因为 ，所以 ，故选项 正确．
故选： ．
练习32．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）若 ，则下列不等式① ，
② ，③ ，④ 中，正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由 判断出①正确；结合 的单调性得到②错误；作差法得出③
正确；由 的单调性得到④错误.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，①正确；
因为 在R上单调递增，且 ，所以 ，②错误；因为 ，所以 ，且 ，故 ，③正确；
当 时， 在 上单调递减，所以 ，④错误.
故选：B
练习33．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）（多选）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】函数的单调性及不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，由 在 上单调递增可得 时 ，即A正确；
对于B项，因为 ，所以 ，即B正确；
对于C项，由于 的正负不确定，故 时有 ，即C错误；
对于D项，若 时，此时D错误.
故选：AB
练习34．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考期末）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由指数运算得出 ，再由幂函数的单调性得出大小关系.
【详解】因为 ，所以 ，又函数
在 上单调递增，所以 .
故选：B
练习35．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知函数 ，
则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数 在 上单调递增，再利用指数
函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．
【详解】解：函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，所以函数 在
上单调递增，因为函数 在 上单调递减，所以 ；
又函数 在 上单调递增，所以 ；
构造 ，易知 在 单调递增，且 ， ，
，所以 ，
故 ，
又因为 在 上递增，所以 .
故选：D.
题型八 根据幂函数的单调性求参数
例15．（2022秋·广东河源·高三校考阶段练习）幂函数 在区间
上单调递增，则实数m的值为______.
【答案】1
【详解】利用幂函数的定义求出实数m，然后利用单调性进行取舍
【分析】因函数 是幂函数，则 ，解得 或 ，
又函数 在 上单调递增，则 ，
所以实数m的值为1.
故答案为：1
例16．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考期末）函数 是幂函数，对任
意 ，且 ，满足 ，若 ，且 ， ，
则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】确定函数在 上单调递增，根据幂函数得到 或 ，验证单调性得
到 ，代入数据计算得到答案.
【详解】对任意的 ，且 ，满足 ，函数是单调增函数，
是幂函数，可得 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ，不满足单调性，排除，
故 ， ．， ，故 恒成立．
故选：A
练习36．（2023春·湖北孝感·高三统考开学考试）已知 ，若幂函
数 为奇函数，且在 上是严格减函数，则 取值的集合是______．
【答案】
【分析】由幂函数 为奇函数，且在 上递减，得到 是奇数，且 ，由
此能求出 的值．
【详解】∵ ，
幂函数 为奇函数，且在 上递减，
∴ 是奇数，且 ，∴ ．
故答案为：
练习37．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）幂函数
在区间 上为严格减函数，则 __________．
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求 的值即可.
【详解】因为函数是幂函数，所以 ，解得： 或 ，
当 时， ，满足函数在区间 上严格减函数，
当 时， ，不满足函数在区间 上严格减函数，
所以 .
故答案为：2.
练习38．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数 是幂函数，且
在 上是增函数，则实数 的值为______．
【答案】1
【分析】先由幂函数的定义可得 ，求出 的值，再由 在 上是增函
数，可得答案.
【详解】因为函数 是幂函数，则 ，解得 或 ，
又因为 在 上是增函数，所以 ，所以 .故答案为：1
练习39．（2023秋·四川内江·高三统考期末）已知 在区间
上是单调增函数，则a的取值范围为______.
【答案】
【分析】已知 在区间 上是单调增函数，根据单调递增的条件，列不等式组求
a的取值范围.
【详解】由 在区间 上是单调增函数，有 ，解得 ，则
a的取值范围为 .
故答案为：
练习40．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）“ ”是“函数 在 上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得： ，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】由函数的性质可得： ，
因为由 一定能推出 ，但由 不一定能推出 ，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件，
故选： .
题型九 根据幂函数的单调性解不等式
例17．已知幂函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）根据幂函数的定义得到 或 ，根据奇偶性即可得到 的值，再计算 即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得 或 或 ，进而
即得.
【详解】（1）由 ，得 或 ，
当 时， 是奇函数，满足题意，
当 时， 是偶函数，不满足题意，
所以 ， ；
（2）因为 的定义域为 ，单调减区间为 ， ，
由 ，可得 或 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
例18．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式
的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 在函数 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以关于 的表达式 的解集为 .
故答案为： .练习41．（2015·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）对于函数 定义域内的任意
且 ，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：__．
【答案】（2）（3）（4）
【分析】举反练习否定（1）；利用幂的运算性质判断（2）；利用幂函数单调性判断
（3）；利用求差法比较二者的大小判断（4）.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，故错误；
（2） ，故正确；
（3）函数 为增函数，则 ，故正确；
（4）由 可得
，
又 则
则 ，故正确
故（2）（3）（4）正确．
故答案为:（2）（3）（4）
练习42．（2020秋·北京丰台·高三统考期中）已知幂函数的图象经过点 ，那么
的解析式为____________；不等式 的解集为____________.【答案】
【分析】计算得到幂函数为 ，解不等式得到答案.
【详解】设幂函数为 ，过点 ，所以 解得 ，
所以 ，
，即 ，即 解得 ，
故答案为： ；
练习43．（2022秋·湖南郴州·高三安仁县第一中学校考阶段练习）若 ，
则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】函数 为偶函数，且当 时，单调递增，
则 可得 ，
解得 或
即 的取值范围是
故答案为:
练习44．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数 经过点
，则不等式 的解集为___________．
【答案】
【分析】首先代入已知点求出 ，则 ，利用函数单调性即可得到不
等式，解出即可.
【详解】设幂函数 ，
由题意得 ，解得 ，故 ， ，
则 ，即为 ，根据 在 上为单调增函数，则有 ，
解得 ，故解集为 ，
故答案为： ．
练习45．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象关于 轴对
称，且在 上单调递减，则满足 的 的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到 ，代入不等式得到 ，根
据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数 在 上单调递减，故 ，解得
.
，故 ， ， .
当 时 ， 不关于 轴对称，舍去；
当 时 ， 关于 轴对称，满足；
当 时 ， 不关于 轴对称，舍去；
故 ， ，函数 在 和 上单调递减，
故 或 或 ，解得 或 .
故答案为：
