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专题 3.4 函数的单调性、极值与最值
【新高考专用】
题型一 利用导数判断单调性、求单调区间
1
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数y= x2−lnx的单调递减区间为（ ）
2
A．(−1,1] B．[−1,1] C．[1,+∞) D．(0,1]
2．（2024·宁夏银川·一模）下列四个函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的函数个数是（ ）
ex+e−x
①y= ②y=x2sinx ③y=lg(|x|+1)④y=|tanx|
2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·湖南怀化·二模）已知 ，则 的单调增区间为 ．
f(x)=2x2−3x−lnx f(x)
a
4．（2024·四川巴中·一模）已知奇函数f (x)的导函数为f′(x)，若当x<0时f (x)=x2− ，且f′(−1)=0.则
x
f (x)的单调增区间为 .
题型二 由函数的单调性求参数
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
f (x)=(x−1)(ex+a) (−1,1)
（ ）
A．e−1 B．e−2 C．e D．e2
1
6．（2024·四川德阳·模拟预测）若函数f (x)=x+ +m|x−3|在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围
x
是（ ）
( 3] ( 8]
A． −∞, B． −∞,
4 9
[3 8] [ 8 3]
C． , D． − ,
4 9 9 47．（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=x2−2x+mlnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为
．
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=x2+(x−2)ex−2x+5在区间(3m−1,m+2)上不单调，则m的
取值范围是 .
题型三 导数中函数单调性的应用
1 10
9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知a= ，b=ln ，c=(lg11−1)ln9，则a，b，c的大小关系是
9 9
（ ）
A．c0，则不等
式 的解集为（ ）
f (x+2024)−(x+2024) 2f (−1)<0
A．(−2025,−2024) B．(−2024,0)
C．(−∞,−2024) D．(−∞,−2025)
11．（2024·广东东莞·三模）若 1 1，则 的大小关系为 ．
a,b,c
a=√2,b=ee,c=ππ
12．（2024·新疆·三模）设函数f (x)在R上存在导数f′(x)，对于任意的实数x，有f (x)−f (−x)+2x=0，
当x∈(−∞,0]时，f′(x)+1<2x.若f (2+m)−f (−m)≤2m+2，则实数m的取值范围是 .
题型四 利用导数求函数的极值
13．（2024·浙江·模拟预测）函数f (x)=(x−2)ex−e2x−2的极小值为（ ）
A．e2−2 B．−2e2−2 C．2−2e2 D．−2−e2
14．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且
f′(x)−f (x)=x2e2x,f (0)=0，则f (x)（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
15．（2024·辽宁鞍山·二模）f (x)=x2e−x的极大值为 ．
16．（2023·全国·模拟预测）函数f (x)=(sinx+cosx)⋅sin2x的极小值为 ．
题型五 根据极值（点）求参数x lnx
17．（2024·贵州铜仁·二模）已知函数f (x)= 和g(x)= +b有相同的极大值，则b=（ ）
ex x
A．0 B．2 C．−1 D．−3
18．（2024·云南昆明·一模）已知函数 在 上有两个极值点，且
f(x)=(x−3)ex+a(2lnx−x+1) (1,+∞)
f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是
A． B．
(e,+∞) (e,2e2 )
C． D．
(2e2,+∞) (e,2e2 )∪(2e2,+∞)
19．（2024·上海·三模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是 .
f(x)=ex−ax2 R a
20．（2024·陕西西安·二模）若函数 1 在 和 ，两处取得极值，且x 1，则实
f (x)= ax2−ex+1 x=x x=x 1≤
2 1 2 x 2
2
数a的取值范围是 ．
题型六 利用导数求函数的最值
21．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数y=f (x)及其导函数y=f′(x)的图象如图
所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则（ ）
A．函数y=f (x)⋅ex的最大值为1
B．函数y=f (x)⋅ex的最小值为1
f (x)
C．函数y= 的最大值为1
ex
f (x)
D．函数y= 的最小值为1
ex
x
22．（2024·陕西西安·二模）函数f(x)= 在[−3,3]上的最大值和最小值分别是（ ）
x2+16 6 2 2 3 3 1 1
A． ,− B． ,− C． ,− D． ,−
13 13 5 5 10 10 2 2
23．（2024·陕西渭南·三模）设定义在R上的函数f (x)满足f′(x)+f (x)=3x2e−x，且f (0)=0，则f (x)在R
上的最大值为 ．
x2
24．（2024·山西临汾·二模）已知函数f(x)=(mx−1)lnx+ −mx，函数g(x)=f′ (x)有两个极值点
2
( 1]
x ,x ．若x ∈ 0, ，则g(x )−g(x )的最小值是 .
1 2 1 e 1 2
题型七 已知函数最值求参数
1
25．（2024·上海松江·二模）已知函数y= x3−x2−3x+a，a∈R，在区间(t−3,t+5)上有最大值，则
3
实数t的取值范围是（ ）
A．−6f (x)，则不等式
f (x)>0的解集为（ ）
A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(0,1) D．(0,1)∪(1,+∞)
lnx
4．（2024·陕西铜川·三模）若函数f (x)=ax2+ 有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
x
A．( 1 ) B．( 1 ) C．( 1 ) D．( 1 1 )
− ,0 0, 0, − ,
e4 6e4 e4 e4 6e4
1
5．（2024·吉林·模拟预测）若关于x不等式ln(ax)≤x+b恒成立，则当 ≤a≤e时，eb+1−lna的最小值为
e
（ ）
1
A． +1 B．e−1 C．1 D．e
e
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x),g(x)处处导数存在，
f (1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f (x)，则下列情况一定成立的是：（ ）.
A．f (2)+g(0)>f (0)+g(2) B．f (2)+g(0)f (0)⋅g(2) D．f (2)⋅g(0)2a B．b<2a
C．b=2a D．b2>4a2
8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我
们所学数学知识，探究函数f (x)=xx，x∈(0,+∞)，则下列命题不正确的是（ ）
(1 )
A．f (x)有且只有一个极值点 B．f (x)在 +∞ 上单调逆增
e
1
C．存在实数 ，使得 1D． 有最小值
a∈(0,+∞) f (a)= f (x) 1
e
ee
二、多选题1 1
9．（2024·广东茂名·一模）若f (x)=− x3+ x2+2x+1是区间(m−1,m+4)上的单调函数，则实数m的
3 2
值可以是（ ）
A．−4 B．−3 C．3 D．4
10．（2024·甘肃白银·一模）已知函数f (x)的定义域为(−∞,2)∪(2,+∞)，其导函数为f′(x)，且
，当 时， ，则（ ）
f (x+1)=f (−x+3),f (4)=2e4 x∈(2,+∞) (x−2)f′(x)−f (x)=(x−2) 3ex
A．f (x)的图象关于直线x=2对称
B．f (x)在(2,+∞)上单调递增
5−√5
C． 是f (x)的一个极小值点
2
D．
f (|x|+4)>f (1)
11．（2024·宁夏·模拟预测）已知函数f (x)=|x−2|ex−a，则（ ）
A．f (x)在(1,2)上单调递增
B．当x=1和x=2时，函数f (x)分别取得极大值点､极小值点
C．f (x)无最大值，有最小值
D．当a∈(1,2)时，f (x)有三个零点
三、填空题
12．（2024·山西太原·二模）函数f (x)=xex的单调递增区间是 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=(x−a)x+lnx在(0,+∞)上无极值点，则a的取值范围为
.
alnx e
14．（2024·新疆喀什·三模）已知函数f (x)= 和g(x)=b(√x−x)（b>0）有相同的最大值．则a+
x b
的最小值为 ．
四、解答题
3
15．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数f (x)=2alnx+ x2−(a+3)x,(a∈R)
4
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a和b的值；
y=f (x) (1,f (1)) f (x)=−x+b
(2)讨论f (x)的单调性.1
16．（2024·广西柳州·一模）已知函数f (x)=ax−lnx− ．
a
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (1,f (1))
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
1
17．（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x)=xlnx+ +ax(a∈R).
x
(1)当a=1时，求f (x)的图象在点(1,2)处的切线方程；
(2)当a=0时，求f (x)的单调区间；
[ x]
(3)若函数H(x)=x f (x)− +2lnx单调递增，求实数a的取值范围.
2
18．（2024·北京海淀·一模）已知函数 a− 1 x.
f(x)=xe 2
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若函数 存在最大值，求 的取值范围.
g(x)=|f(x)+e−2a|,x∈(0,+∞) a
19．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数f (x)=(x−2)ex−mx，g(x)为f (x)的导函数．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
m=0 g(x) (1,g(1))(2)若 的两个极值点分别 ，
f (x) x ,x (x ≠x )
1 2 1 2
（i）求实数m的取值范围；
1
（ii）证明：x +x
