文档内容
3.1 导数的定义 、导数的运算
思维导图
知识点总结
1．导数的概念
(1)平均变化率：我们把比值，即＝ □ 叫 做函数 y＝f(x)从x 到x ＋Δx的平均
0 0
变化率．
(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个 □ 确定 的值，
即有极限，则称y＝f(x)在x＝x 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x
0 0
处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x )或y′| ，即
0 x＝x0
2．导数的几何意义
曲线f(x)的割线P P，其中P (x ，f(x ))，P(x，f(x))，则割线P P的斜率是k
0 0 0 0 0
＝，记Δx＝x－x ，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点 P 时，即当Δx→0时，
0 0
k无限趋近于函数 y＝f(x)在x＝x 处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x 处的导
0 0
数f′(x )就是切线P T的斜率k ，即k ＝
0 0 0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．导函数的概念
当x＝x 时，f′(x )是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝ □ f ′( x ) 就是x
0 0
的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，
即f′(x)＝y′＝
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝ □ α · x α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝ □ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝ □ － sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ □ a x ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ □ e x
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝□
a
f(x)＝ln x f′(x)＝□
5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ □ f ′( x )± g ′( x ) ；
(2)[f(x)g(x)]′＝ □ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；
(3)′＝ □ ( g ( x ) ≠ 0 ) ．
6．复合函数的导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以
表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 □ y
＝ f ( g ( x )) ．
(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导
数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 □ y ′ ＝ y ′ · u ′ ，即y对x的导数等于y
x u x
对u的导数与u对x的导数的乘积．
7．常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是
周期函数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)熟记以下结论：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
典型例题分析
考向一 导数的运算
例1 f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x )＝2022，则x 等于( )
0 0
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
答案 B
解析 f′(x)＝2021＋ln x＋x·＝2022＋ln x，故由f′(x )＝2022，得2022＋ln
0
x ＝2022，则ln x ＝0，解得x ＝1.
0 0 0
知识点总结
常见形式及具体求导的六种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考向二 导数与函数的图象
例2 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为(
)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案 A
解析 由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，速度先由快到慢，再由慢到
快，由导数的几何意义可知，f′(x)先减后增，且恒大于等于0，故符合题意的只
有A.故选A.
知识点总结
导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x ，f(x ))求斜率k，即求
0 0
该点处的导数值k＝f′(x ).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数
0
图象在相应点附近的变化情况.
考向三 求切线方程
例3 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A
处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．
答案 (e，1)
解析 设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，所以有－1－n＝(－e－m).再由n＝ln m，解得m＝
e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识点总结
与切线有关的问题的处理策略
(1)已知切点A(x ，y )求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x ).
0 0 0
(2)已知斜率k，求切点A(x ，f(x ))，即解方程f′(x )＝k.
1 1 1
(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x ，y )，求曲线过点P的切线方程，则需分点
0 0
P(x ，y )是切点和不是切点两种情况求解．
0 0
①当点P(x ，y )是切点时，切线方程为y－y ＝f′(x )(x－x ).
0 0 0 0 0
②当点P(x ，y )不是切点时，可分以下几步：
0 0
第一步：设出切点坐标P′(x ，f(x ))；
1 1
第二步：写出曲线在点P′(x ，f(x ))处的切线方程y－f(x )＝f′(x )(x－x )；
1 1 1 1 1
第三步：将点P的坐标(x ，y )代入切线方程求出x ；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程 y－f(x )＝f′(x )(x－x )，可得过点P(x ，y )的切
1 1 1 1 0 0
线方程.
考向四 由导数的几何意义求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜
率都小于1，则实数a的取值范围是 ．
答案 (－，)
解析 因为f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由题意得
－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，则Δ＝4a2－12＜0，解得－
＜a＜.
知识点总结
1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路
一般是利用切点P(x ，y )求出切线方程再转化研究．
0 0
2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路
由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x 和x 中的一个，转化为方
1 2
程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要
关注自变量的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导 ，得到曲线在点 处的斜率，写出切线方程.
【详解】因为 ，
所以曲线在点 处斜率为4，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ，
故选：B
2．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中 ）
现用上述公式求 的值，下列选项中与该值最接近的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到
，求解即可.
【详解】因为 （其中
），且 ，
所以对 两边分别求导可得：
.
令x=1可得： .
又 ，则
.
故选：B
3．已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则函
数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用 先求出 的值，设 ，根据已知条件求出 ，再利用奇
函数，求出 在 上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处
的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．
【详解】解：由题意得， ，解得 ，
当 ， 时， ，
设 ，则 ， ，
是定义在 上的奇函数，
，此时 ，
，
，
把 代入 得， ，则切点为 ，
所求的切线方程为： ，化简得 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函
数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已
知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．
4．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则实
数
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导得 = ，由 列式得a的方程求解即可
【详解】由题 = ,解得a=4
故选D
【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．已知某质点做变速直线运动，位移S（m）与时间t（s）的关系为 ，
则t＝1时．该质点瞬时速度的大小为（ ）
A．1m/s B． m/s C． m/s D．2m/s
【答案】C
【分析】利用导数的运算法则求解.
【详解】解：由题意得 ，
所以t＝1时，该质点的瞬时速度为 m/s．
故选：C．
6．已知函数 ， 是函数 的导数，且函数 的图象关
于直线 对称，若 在 上恒成立，则实数n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得 ，因为 的图象关于直线 对称，求得
的值，再根据 在 上恒成立，分离参数，构造新的函数，根据新函数的最值即
可得出答案.
【详解】解：依题意可得 ，
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，故 ，
因为在 ， 上 恒成立，即 ，
所以 在 ， 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则函数 在 ， 上单调递减，
所以函数 在 ， 上的最大值为 ，
所以 ，故实数 的取值范围为 ．
故选：C．
二、多选题
7．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 均存在零点 B．当 时， 有两条与 轴平行的切
线
C．存在 ， 有唯一零点 D．当 时， 存在唯一极小值点 ，
且
【答案】BCD
【分析】对于A，C，由已知得， ，令 ，利用导数的相关
性质，即可对A，C选项进行判断；
对于B， ，即可得到 ，由函数
的图像可知方程有两个根，进而可以判断B选项；
对于D，当 时， ，由图像可知此方程的根的情况，
进而可以判断D选项.
【详解】对于A，令 ，则 ，
令 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ，
当 时， ， 递减，当
时， ， 递增，所以当
时， 取到极小值，即当 时， 取到极小值，
又 ，即 ，又因为在 上， 递减，
故 ，当 时， 取到极大值，即当
时， 取到极大值，又 ，即 ，故
，当 时， ，所以当 即
，时， 在 上无零点，故A错误；
而当 ，即 时， 与 的图像只有一个交点，即存在
在 上有唯一零点，故C正确，
对于B， ，即 ，由函数 的图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】像可知方程有两个根： ， ， ，即斜率为0
的切线共有两条，其切点均不在x轴上，故切线均与x轴平行，故B正确；
对于D，当 时， ，由图像可知此方程有唯一实根 ，
因为 ，所以 ， ， ，
，可知 ，故D正确．
故选：BCD
8．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 表
示，则（ ）
A．物体在 时的瞬时速度为0m/s B．物体在 时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在 时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
【答案】BCD
【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】对于A：
，
即物体在 时的瞬时速度为3m/s，A错误．
对于B： ，
即物体在 时的瞬时速度为1m/s，B正确．
对于C：设物体在 时刻的瞬时速度为9m/s，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，物体在 时的瞬时速度为9m/s，C正确．
对于D： ，D正确．
故选：BCD
三、填空题
9．已知函数 在点 处的切线过点 ，则 的最小
值为__________.
【答案】12
【分析】根据导数的几何意义求得函数 在点 处的切线方程，可推
出 ，将 化为 ，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数 可得 ，
则 ，
故函数 在点 处的切线方程为 ，即 ，
则由题意可得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 取等号，
即 的最小值为12，
故答案为：12
10．曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求出导函数，进而得到斜率，根据点斜式写出切线方程.
【详解】 ， ，则当 时， ，所以切线方程为：
，整理得：
故答案为：
11．函数 在 上可导，且 ．写出满足上述条件的一个函数：______．
【答案】 ，（答案不唯一）
【分析】根据题意，由导数的计算公式分析，可得答案．
【详解】解：根据题意，函数 在 上可导，且 ．
可以考查指数函数，如 ，其导数 ，
满足 ．
故答案为： ，（答案不唯一）．
12．设 ，则 ______．
【答案】2
【分析】求出导函数，代入e值即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：2
四、解答题
13．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得曲线在 处的切线方程，进而求得该三角形的面积；
（2）先分离参数，再构造新函数，利用导数求得新函数最小值，进而求得实数a的取值范
围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
则 ，又 ，
则曲线在 处的切线方程为 ，
令 解得 令 解得 ，
此切线与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
则该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ；
（2）由 在 上恒成立，
可得 在 上恒成立，
令 ，则
令 ，则 在 恒成立，
则 在 单调递增，
又 ， ，
则存在 ，使得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
则 时 取得最小值
令 ， ，则 在 恒成立，
则 在 单调递增，
由 ， ，可得
则 ，即 ，则
则
则实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
14．设函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，当 时，证明 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由导数的几何意义求切点处的斜率，即可写出切线方程.
（2）由题意，令 ，利用导数研究 的单调性，只要
，结论即得证.
【详解】（1）当 时，函数 ，则 ，
∴ ，又 ，则所求的切线方程为 ，
∴整理： .
（2）证明：当 时， .
设 ，其定义域为 ，则证明 即可.
∵ ，有 ， .
又 ，函数 在 上单调递增.
∴ 有唯一的实根 ，且 .
当 时， ；当 时， ，故函数 的最小值为 .
∴ .
故 得证.
【点睛】思路点睛：
1、构造函数： .
2、问题转化： 即 在定义域内恒成立即可.
3、讨论单调性：根据 与0的大小关系确定 区间单调性.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4、求最值：由函数 单调性确定最值，并确认 是否成立即可.
15．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) （ ，且 ）；
(3) ；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简函数解析式再去求导即可解决；
（2）依据导数运算法则去求导即可解解决；
（3）依据导数运算法则和复合函数求导法则去求导即可解解决；
（4）依据导数运算法则和复合函数求导法则去求导即可解决.
(1)
，
则
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)
(4)
16．已知曲线y＝x3－2x，求过点(1，－1)的该曲线的切线方程．
【答案】x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
【分析】设切点坐标为(x ，y )，切线斜率为k＝3x－2，当x ＝1时，斜率为1，解得切线
0 0 0
方程．当x ≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为 ＝x＋x －1＝3x－2，解得x ＝
0 0 0
－ ，斜率为－ ．
【详解】设P(x ，y )为切点，则切线的斜率为f′(x )＝3x－2，故切线方程为y－y ＝(3x－2)
0 0 0 0
(x－x )，即y－(x－2x )＝(3x－2)(x－x )，
0 0 0
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x )＝(3x－2)(1－x )，解得x ＝1或x
0 0 0 0
＝－ ，故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－ ＝－ (x＋ )，即x－y－2＝0或5x＋4y－1
＝0.
【点睛】利用导数求在某点(x ，y )切线方程利用 即可.
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1． （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由导数公式求解即可.
【详解】 .
故选：C.
2．设函数 ，则 等于
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：求导得： ，
所以
故选B
3．若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】设切点坐标为 ，利用导数求出曲线 在点 处的切线方程，将点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的坐标代入切线方程，求出 的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数
的解析式联立，由 可求得实数 的值.
【详解】对于函数 ， ，则曲线 在点 的切线斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由于直线 过点 ，可得 ，解得 或 .
当 时，切线为 轴，对于函数 ，则 ，解得 ；
当 时，切线方程为 ，联立 ，整理得 ，
，由题意可得 ，解得 .
综上所述， 或 .
故选：A.
【点睛】本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
4．设函数 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方
程为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由函数奇偶性，求出 ，得到 ，进而得到 ，对
其求导，计算曲线 在点 处的切线斜率，从而可求出切线方程.
【详解】因为函数 为奇函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故 ；
所以 ，
因此 ,
所以 ，
因此曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选C
【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考
题型.
5．设 ，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ,解得 ,
故选B.
6．已知函数 的图象与直线
恰有四个公共点 ，其中
，则 （）
A． B．0 C．1 D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】先将函数解析式化简为 ，结合题意可求得切点 及其范围 ，
根据导数几何意义，即可求得 的值.
【详解】函数
即
直线 与函数 图象恰有四个公共点，结合图象知直线
与函数 相切于 ， ，
因为 ，
故 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数
值，属于难题.
二、多选题
7．已知实数 ， ， ， 满足 ，其中 是自然对数的底数，则
的值可能是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【分析】由 ，变形构造函数 ，由 ，变形构造函数
，然后由 表示 图像上一点 与 图像
上一点 的距离导数的平方，求得切点，转化为点到直线 的距离求解.
【详解】由 ，得 ，令 ，
∴ ，
由 ，得 ，令 ，
则 表示 图像上一点 与 图像上一点 的距离
的平方，
设 图像上与直线 平行的切线的切点为 ，
由 ，
得 ，
∴切点为 ，
∴切点 到直线 的距离的平方为 ，
∴ 与 的距离的平方的取值范围为 .
故选：BCD.
8．已知 ， 在 处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
【详解】因为
由题可知 ，所以 ，
所以 ， ，即B正确.
令 ，因为 ，所以 是增函数，
且 ，又 ，所以 ，
即 ，即C正确.
故选：BC.
三、填空题
9．某物体的运动路程s(单位： )与时间t(单位： )的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物
体在t 时的瞬时速度为27 ，则t=________.
0 0
【答案】3
【分析】利用导数由瞬时速度的定义直接求解即可
【详解】解：由 ，得 ，
由题意得 ，解得 .
因为 ，故 .
故答案为：3
10．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开
墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为_______.
【答案】0.875## (m/s)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】建立梯子上端下滑距离的函数，利用导数求得速度.
【详解】设下滑时间为 ，则下滑距离函数 .
当下端离开墙角 时，用的时间为 .
因为 ，
所以 （ ）.
故答案为：0.875(m/s)
11．已知直线 是曲线 与 的公切线，则直线 与 轴的交点坐标
为______．
【答案】
【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.
【详解】设直线 与曲线 和 分别相切于 ， 两
点，
分别求导，得 ， ，
故 ，整理可得 ．
同理得 ，整理可得 ．
因为直线 为两曲线的公切线，
所以 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 的方程为 ，令 ，则 ．
则直线 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： .
12．已知 ，直线 与曲线 相切，则 ______.
【答案】
【分析】结合函数 为偶函数，先考虑 时的情况，设出切点，利用导数得出
结论。
【详解】当 时， ， ，设直线 与曲线 相切于点
，
则 得 ，化简得 ，解得 ， .
又 是定义在 上的偶函数，所以 .
故答案为：
四、解答题
13．求出下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）
（5）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5）
【分析】（1）根据乘法的求导运算法则，以及基础函数 的导数，可得结果.
（2）根据复合函数的求导法则：由外而内，以及函数 的导数，可得结果.
（3）先计算式子得： ，根据加法求导法则与函数 的导数，可得结果.
（4）根据除法求导法则以及函数 的导数，可得结果.
（5）根据复合函数的求导法则：由内而外，以及乘法的求导法则，可得结果.
【详解】（1）由 ，
则 ，
即
（2）由 ，则
（3）由 ，则 ，
（4）由 ，则 ，
（5）由 ，则 ．
【点睛】本题考查导数的四则运算，熟记公式以及基础函数的导函数，对于复合函数求导
注意内函数和外函数，求导口诀是：由内而外，属基础题.
14．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】当斜率为 时切线方程为 ；斜率为 时切线方程为 .
【分析】设切点为 ，求出函数在 处的导数，从而得到相应的切线方程，代入
后可得关于 的方程，解出 后可得所求的斜率及相应的切线方程.
【详解】设切点为 ，则 .
因为 ，所以
故切线方程为： ，
故 ，整理得到： ，
解得 或 ，
当 时，斜率为 且切线方程为： 即 ；
当 时，斜率为 且切线方程为： 即 ；
15．已知函数 （ 自然对数的底数）在点 处的切线方程为
.
(1)求 、 的值；
(2)试判断函数 在区间 内零点的个数？说明你的理由.
【答案】(1) ，
(2)有两个零点，理由见解析
【分析】（1） 由切点符合切线方程，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，列方
程组，解出 、 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）得出函数 的解析式，将 在区间 内零点的个数，转为
在区间 内零点的个数，对 求导，判断出单调性和极
值，得出零点个数．
【详解】（1） 的定义域为 .
， ， ，
∵ 在点 处的切线方程为 ，切线的斜率为 .
，解得 ， .
（2）由（1）知 ， .
∴ （ 为自然对数的底数）.
在区间 内有两个零点.理由如下：
∵ 总成立，∴ 在区间 内零点的个数等价于 在区间
内零点的个数，
∵ ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又∵ ，由 ，得 .
当 时，得 ，得 ，即 ， 在 上单调递减.
当 时，得 ，得 ，即 ， 在 上单调递增.
∴ 在 处取得极小值，也是最小值.
.
综上所述， 在区间 和区间 内各有唯一零点，即 在区间 内有
两个零点.
∴函数 在区间 内有两个零点.
16．已知抛物线C: , 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物
线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为 ，求点M的坐标 ；
（2）设P 为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点
P．若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）当 时，在 上有三点 ，
及 ，在该点的法线通过点 ，法线方程分别为
， ， ，当 时，在 上
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有一点 ，在该点的法线通过点 ，法线方程为 ．
【详解】试题分析：（1）求导可得点 处切线的斜率 法线斜率为
= 点 的坐标为 ；（2）设 为 上一点，
由 上点 处的切线斜率 , 法线方程为 法线过点 ；
若 的法线方程为：
．再讨论 和 ，即可求得：当
时，有三点和三条法线；当 时，有一点和一条法线．
试题解析：（1）函数 的导数 ，点 处切线的斜率
过点 的法线斜率为 = ，解得 ， ．故点
的坐标为 ．
（2）设 为 上一点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 上点 处的切线斜率 ,过点 的法线方程为
， 法线过点 ;
若 ，则过点 的法线方程为： ．
若法线过点 ，则 ，即 ．
若 ，则 ，从而 ，
代入得 ， ．
若 ，与 矛盾，若 ，则无解．
综上，当 时，在 上有三点 ， 及 ，在
该点的法线通过点 ，法线方程分别为 ，
， ．
当 时，在 上有一点 ，在该点的法线通过点 ，法线方程为 ．
考点：1.导数；2.切线；3.法线；4.直线方程.
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