文档内容
专题 3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................2
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】..............................................................................................................3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................3
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】.............................................................................4
【题型5 已知切线（斜率）求参数】......................................................................................................................4
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................5
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】.....................................................................................5
【题型8 与切线有关的最值问题】..........................................................................................................................6
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运
算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义
也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 = ，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
lim f(−2+Δx)−f(−2−Δx)
【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若 ，则
Δx→0 =−2 f′(−2)=
Δx
（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
lim f(x −2Δx)−f(x )
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设 f(x) 是可导函数，且 Δx→0 0 0 =2 ，则 f′ (x )=
0
Δx
（ ）
1
A． B．-1 C．0 D．-2
2
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一
个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速
度匀速上升，设该容器内水的体积V(cm3)与时间t(s)的函数关系是V(t)，则函数y=V(t)的图象大致是
（ ）
A． B．C． D．
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数f (x)在点x 处附近有定义，且
0
为常数，则（ ）
f (x +Δx)−f (x )=aΔx+b(Δx) 2,a,b
0 0
A． B． C． D．
f′(x)=a f′(x)=b f′ (x )=a f′ (x )=b
0 0
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
1
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log 的导函数为（ ）
2 x
ln2 1 ln2 1
A．f′ (x)= B．f′ (x)= C．f′ (x)=− D．f′ (x)=−
x xln2 x xln2
【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．
(3x ) ′=3xln3
B．
(x2lnx) ′ =2xlnx+x
C．(cosx) ′ = xsinx−cosx D． (2ln(x2+1)) ′ = 2xln2 ⋅2ln(x2+1)
x x2 x2+1
π π
【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f′ ( )cos2x+sinx，则f (x)在x= 处的导数
4 4
为（ ）
√2 √2 √2 √2
A． B． C． D．−
6 4 2 2
【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数 (x+1) 2+sinx，其导函数记为
f (x)=
x2+1
f′(x)，则f (389)+f′(389)+f (−389)−f′(−389)=（ ）
A．2 B．−2 C．3 D．−3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线f (x)=2xcosx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）A．ln2 B．−ln2 C．1 D．−1
1
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+ 相切，则k的取值范围是
x
（ ）
( 1] [1 )
A． −∞, B．[4,+∞) C．[−4,+∞) D． ,+∞
4 4
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数 在 处的切线如图所示，则
y=f (x) P(1,f (1))
f (1)+f′(1)=（ ）
1 3 1
A．0 B． C． D．-
2 2 2
1
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数f (x)=x3− f′(1)x+f′(2)图象上的任意一点，
2
点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A． [ 0, 3π ) B． [ 0, π ) ∪ [3π ,π ) C． (π , 3π ) D．
4 2 4 2 4
[ 0, π ) ∪ (3π ,π )
2 4
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y=x3+1在点(a,2)处的切线方程为（ ）
A．y=3x+3 B．y=3x−1
C．y=−3x−1 D．y=−3x−3
【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数f (x)=ln(−x)图像相切的直线方程是
（ ）
2 1
A．y=−x B．y=− x C．y=− x D．y=−ex
e e1
【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f (x)= −1，则曲线y=f (x)在点(−1,f (−1))处
ex
的切线方程为（ ）
A．ex+ y+1=0 B．ex−y+1=0
C．ex+ y−1=0 D．ex−y−1=0
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=x3−x2+2x+1，则曲线y=f (x)过坐标原点的切
线方程为（ ）
A．y=x B．y=2x C．y=3x D．y=4x
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
a
【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ 相切，则实数a＝（ ）
x
1 4 3
A．0 B． C． D．
2 5 2
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线y=xlnx+ae−x在点x=1处的切线方程为2x−y+b=0，
则b=（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方桯
f (x)=ax2+blnx (1,f (1))
为y=3x−1.则a−b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b，
则（ ）
A．a=e，b=−2 B．a=e，b=2
C．a=e−1，b=−2 D．a=e−1，b=2
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=−x3+3x，则过点(−3,−9)可作曲线y=f (x)的切线
的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)ex有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞) B．(−3,1)
C．(−∞,−3) D．(−∞,−3)∪(1,+∞)x+1
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)= 相切的直线只有2条，则m的取值
ex
范围是（ ）
A．(−∞,+∞) B．(−∞,−3)∪(1,+∞)
C．(−1,3) D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
【变式6-3】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数 为 上的奇函数，
f(x)=x3+(a−1)x2−x+b R
( 1 )
过点P − ,1 作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】
【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f (x)=ex与曲线
g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数f (x)=x−alnx在区间(1,6)的图象上存在两条相
互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．(1,6) B．(1,3) C．(3,4) D．(4,6)
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=lnx与g(x)的图象关于直线y=x对称，直线l与
g(x),ℎ(x)=ex+1−1的图象均相切，则l的倾斜角为（ ）
π π π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【变式7-3】（2023·海南·海南华侨中学校考一模）若对函数f (x)=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l ，
1
函数g(x)=mex+(m−2)x的图象上总存在一点处的切线l ，使得l ⊥l ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
( e ) ( e)
A． − ,0 B． 0,
2 2
C．(−1,0) D．(0,1)
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线y=x2上一动点，则点P到直线y=2x−3的最小距离为
.
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=alnx,g(x)=bex，若直线y=kx(k>0)与函数
1
f (x),g(x)的图象都相切，则4a+ 的最小值为 .
bx
【变式8-2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，若曲线y=f (x)的
n
m
一条切线为直线l：4x−y+3=0，则 的最小值为 ．
n
1 π
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数f (x)= sin( 2x+ ) 的图像在
2 3
处的切线与在 处的切线相互垂直，那么 的最小值是 .
(x ,f (x )) (x f (x )) |x −x |
1 1 2 2 1 2
ex
(
e
)
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y= 在点 1, 处的切线方程为（ ）
x+1 2
e e e e e 3e
A．y= x B．y= x C．y= x+ D．y= x+
4 2 4 4 2 4
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb0 f′ (x)
1 2 1 2
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
y=(x+a)ex
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
f(x)=|ex−1|,x <0,x >0 f(x)
1 2
|AM|
A(x ,f(x ))和点B(x ,f(x ))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是
1 1 2 2 |BN|
．
