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专题 29 相似三角形判定定理的证明(重难题型)
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
【答案】C
【分析】
通过菱形的判定正方形的判定可判断A，B，根据相似三角形的判定可判断C，D．
【详解】
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A错误；
B.对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B错误；
C.两角分别相等的两个三角形相似，则C正确；
D.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解
决问题．
2．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
B．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
C．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
D．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意可求得各等腰三角形的三个角的度数，然后根据有两组角对应相等的两个三
角形相似，即可求得答案．
【详解】
A. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故相似，本选项正确；B. 有一个角等于100°的等腰三角形的三角分别为：100°,40°,40°，故相似，本选项正确；
C. 有一个角等于90°的等腰三角形的三角分别为：90°,45°,45°，故相似，本选项正确；
D. 有一个角等于30°的等腰三角形的三角分别为：30°,75°,75°或30°,30°,120°，故不一定相
似，本选项错误.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.
3．已知 ，在 边上找一点 ，作 ，使 ，这样的点
有（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】
平行于三角形的一边，其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.除线段
上A、B两点外，有无数个这样的点.
【详解】
无数个，∵平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，
AB边是由无数个点构成的，∴这样的点有无数个，故选D.
【点睛】
此题考查平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的
运用.
4．在 边AB上有一点 （点 不与点 、点 重合），过点 作直线截 ，
使截得的三角形与 相似，满足条件的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】
点P在AB边上，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到有几条这样的直线．
【详解】满足条件的直线有3条，如图所示．
第一个，点P在边AB上，过点P作PD∥AC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，
所构成的三角形与原三角形相似，得到△BPD∽△BAC；
第二个，点P在AB边上，过P作PD∥BC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，
所构成的三角形与原三角形相似，得到△APD∽△ABC；
第三个，点P在边AB上，过点P作PD⊥AB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，得
到△APD∽△ACB；
故选B．
【点睛】
本题考查了对相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
5．如图，已知点P是 ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别 ABP∽△ACB的
是（ ） △ △
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．BC：BP=AC：AB D．AC：AB=AB：AP
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知∠A为两个三角形的公共角，再添加一组∠A的夹角边对应成比例，或者另一组对
应角相等即可.
【详解】
解：添加∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC，均可满足两组对应角相等，使得△ABP∽△ACB；添加
AC：AB=AB：AP，可满足一组对应角相等及夹角对应边成比例，使得△ABP∽△ACB.添加BC：BP=AC：AB后无法证明两个三角形相似.
故选择C.
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定方法.
6．如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误
的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A选项中，因为EF∥CD，CD∥AB，所以EF∥AB，所以 ，所以本选项正确；
B选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以 ，所以本正确；
C选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以 ，因为AB=CD，所以
，所以本选项错误；
D选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以 ，因为AB=CD，所以
，所以本选项正确；
故选C.
7．如图，已知 和 的面积相等，点 在 边上， 交 于点 ，， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易得 CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的
面积关系比，从△而求DF的长．
【详解】
∵△ABC与 DEC的面积相等，
∴△CDF与△四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=4，AB=6，
∴EF：AB=4：6=2：3，
∴△CEF和 CBA的面积比=4：9，
设 CEF的△面积为4k，则四边形AFEB的面积=9k，
∵△△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S =5k，
△CDF
∵△CDF与 CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等△于底之比，
∴DF：EF=5k：4k，
∴DF=5，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．
8．如图，D，E分别是 ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3， ADE的面是
△ △2，则四边形BCED的面积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵DE∥BC，∴ ADE∽△ABC，∴ ，∵AD=2，DB=3，∴ ，∴
△
，∵ ADE的面积是2，∴ ABC的面积是12.5，∴四边形BCED的面积
△ △
是12.5﹣2=10.5，故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方．
9．如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边
三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，
EG=3，则△DIJ的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到
∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到 = = ， = = ，根据三角形的
面积公式即可得到结论．
【详解】
∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，
∴AG＝6，
∵△EFG是等边三角形，
∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，
∵AE＝EF＝3，
∴∠FAG＝∠AFE＝30°，
∴∠AFG＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AJE＝90°，JE∥FG，
∴△AJE∽△AFG，
∴ = = ，
∴EJ＝ ，
∵∠BCA＝∠DCE＝∠FEG＝60°，
∴∠BCD＝∠DEF＝60°，
∴∠ACI＝∠AEF＝120°，
∵∠IAC＝∠FAE，
∴△ACI∽△AEF，
∴ = = ，∴CI＝1，DI＝1，DJ＝ ，
∴IJ＝ ，
∴ = •DI•IJ＝ × × ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌
握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S ：S =1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有
△AEF △CAB
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是
△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比
例，可得CF=2AF，故②正确；
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S = S ，S = S ，可得
△AEF △ABF △AEF △BCF
S ：S =1：6，故③错误；
△AEF △CAB
④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2，故④正确．【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S = S ，S = S ，
△AEF △ABF △AEF △BCF
∴S ：S =1：6，故③错误；
△AEF △CAB
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，∴ ，
AF2=EF•BF=2EF2，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的
计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比
例．
11．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错
误的是（ ）
A． ADC∽△CFB B．AD=DF C． D．
△
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法和性质进行判断即可.
【详解】
∵BE⊥AC,
∴∠BCF+∠ACD=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图,过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴
∴BM=AM，
∴AN=NF，
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF=DA，故B选项正确；
设CE=a，AD=b，则CD=2a，
由 ADC∽△CFB,可得
△
即
∴
∴ ，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE:AB=1:2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴ ，故选D选项正确；
故选：C.【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.相
似三角形的面积比等于相似比的平方
12．在梯形 中， ， ， ，两腰延长线交于点 ，过 作
的平行线，交 、 延长线于 、 ， 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可求得 MCD∽△MAB，从而求出BM：BD的值，又由 BCD∽△BEM，从而根据相
似三角形的边对△应边成比例求得EM的值，进而求得EF的值．△
【详解】
∵AB∥CD，
∴△MDC∽△MBA，
∴MC：MA=CD：AB=b：a，
∴BM：BD=a：（a-b）．
在 BEM中，∵DC∥FM，∴BD：BM=CD：EM，
△
∴EM= = ，
同理，EM=FM，所以EF= ，故选B.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.
13．如图，梯形 中， ，对角线 、 相交于 ，下面四个结论：
① ② ③ ④ ．其中
结论始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行验证，从而得到最后答案．
【详解】
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD（①正确），
∴S ：S =( )2（③不正确），
△DOC △BOA
∵△ABD与 ABC等高同底，
∴S =S △，
△ABD △ABC
∴S -S =S -S
△ABD △AOB △ABC △AOB，
即S =S （④正确），
△AOD △BOC
∴共有2个正确的，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三
角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相
似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的
直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相
似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．熟练掌握相似三
角形的判定方法及性质是解题关键.
14．如图，矩形 中，点 是 的中点， 交 于 ， ，连
交 于 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出∠1即可.
【详解】
∵∠1+∠2=90°，∠EGC=90°，
∴∠EGA+∠2=90°，
∴∠EGA=∠1（为了方便此处写成∠1），
∴△EAG∽△GDC，即 = ，即 = ，
又∵∠EGC=∠D=90°，
∴△ECG∽△GCD，因此，∠ECG=∠GCD.
又∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BCE=∠ECD=45°，
∴∠1=22.5°，
∵G是AD的中点，
∴由矩形的对称性可知，∠ABG=∠1=22.5°，
∴∠BFC=∠ABG+∠BEC=∠1+∠BEC=22.5°+45°=67.5°.【点睛】
利用相似求角相等是解题的关键.
15．如图，已知 与 分别是等边三角形和等腰直角三角形， 与 分别是
和 的高， 与 交于点 ， ， 在同一条直线上，则下列说法不
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设AB=BC=AC=2a，根据等边三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理得AD=
a，根据△DEF是等腰三角形得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，
再逐个判断即可.
【详解】
A由分析知根据勾股定理得AD= ，再由等腰三角形DEF,FC是高，得
FC⊥DE，DC=CE=DF=a，AD∥FC， AGD∽△CGF,正确
△
B∵△AGD∽△CGF,AD= a, FC=a，∴ ,正确,
C不能推出，错误D∵△ADG∽△CDF, AD= a FC=a, ∴ 正确,所以答案选择C项.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和勾股定理的运用，求得
ADG∽△CDF是解决本题的关键.
△
16．如图，在平行四边形中， 是 上的一点，直线 与 的延长线交于点 ，
并与 交于点 ，下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BE，证明四边形AGCF是平行四边形，
BCG∽△BEA， CEF∽△BEA，得出 ， ，CF=AG，证出DF=BG，得出选
△ △
项A、B正确；由平行线证出 ，得出 ，得出选项C正确，D不正确；
即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCF是平行四边形， BCG∽△BEA， CEF∽△BEA，
△ △∴ ， ，CF=AG，
∴DF=BG， ，
∴选项A、B正确；
∵AD∥BE，
∴ ，
∴ ，
∴选项C正确，D不正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的
性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
17．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝
∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝
BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；
②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值；③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD，
得MPMD=MAME；
④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得
△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则
AC2=MCPC，再根据AC= BC，得2CB2=CPCM.
【详解】
①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，
所以∠CAM=90°，
又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，
所以△CAM∽△DEM，故①正确.
②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC= AB，AD= AE，
所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
又因为 = ，所以△BAE∽△CAD.
则CD= BE，故②正确.
③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，
又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，
所以 = ，即MPMD=MAME，故③正确.
④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，
因为MPMD=MAME，所以 = ，所以△PMA∽△EMD，
所以∠APM=∠DEM=90°，
因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，
所以△APC∽△MAC，
所以 = ，即AC2=MCPC，又因为AC= BC，
所以2CB2=CPCM，故④正确.
故答案选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用.
18．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点
的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D
分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【详解】
若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即 APD∽△BCP，
△
∴ ，
∴ ，
∴AP2−7AP＋6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，
∴ ，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即 APD∽△BPC．
△
∴ ，
∴ ，
∴AP＝ ．
检验：当AP＝ 时，∵BP＝ ，AD＝2，BC＝3，
∴ ，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、 、6，
故选C．
【点睛】
本此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P点不同位置进行分析，解题时要注意一题
多解的情况，要注意别漏解是解题关键.
19．在 中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线 将 分割
成两个部分，若其中的一个部分与 相似，则满足条件的直线 共有____________条
【答案】3
【分析】
由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【详解】
∵三角形ABC是直角三角形.
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
①当l∥BC时，可得三角形相似；
②当l∥AC时，亦可得三角形相似；
③当l⊥AB时，三角形也相似，
故满足题中的直线L共有3条.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，对于没有图的题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角
形与△ABC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键.
20． 中， ， ，点 在 上，且 ，若要在 上找一个
点 ，使 与 相似，则 __．
【答案】5或
【分析】
分两种情况讨论，由 是公共角，当 ，即 时， ，当
，即 时， ，可求 的值．
【详解】
是公共角，当 ，即 时，
解得：
当 ，即 时，
解得：
故答案为：5或
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．
21．如图，在 中， ， ，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动
点，当 ______时， 与 相似．
【答案】1或4
【解析】
【分析】
直接利用 ∽ 或 ∽ ，分别得出答案．
【详解】
解：当 ∽ 时，
则 ，， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ；
当 ∽ 时，
则 ，
， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ，
综上所述：当 或4时， 与 相似．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题的关键．
22．如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?【答案】△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由见解析.
【分析】
根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．
【详解】
解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．
理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB
∴△AFD∽△EFB，
∴∠B＝∠D．
∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角
形互为相似三角形．
23．如图，已知E是 的中线AD上一点，且 .求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据三角形中线性质得 ，故 ， 可进一步得
.
【详解】证明：∵AD是 的中线，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ .
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键.
24．如图， 、 是两个全等的等腰直角三角形， ．
若将 的顶点 放在 上（如图 ）， 、 分别与 、 相交于点 、
．求证： ；
若使 的顶点 与顶点 重合（如图 ）， 、 与 相交于点 、 ．
试问 与 还相似吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2） 与 相似．理由见解析
【解析】【分析】
（1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定义得到
∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根据等量代换得
∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
（2）如图2，由于∠B=∠C=∠DPE=45°，利用三角形外角性质得∠BGP=∠C+∠CPG=45°
+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判断 PBG∽△FCP．
【详解】 △
证明：如图 ，
∵ 、 是两个全等的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
解： 与 相似．理由如下：
如图 ，∵ 、 是两个全等的等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角
三角形的性质．
25．在 中， ，翻折 ，使点 落在斜边 上某一点 处，折痕为
（点 、 分别在边 、 上）
当 时，若 与 相似（如图 ），求 的长；
当点 是 的中点时（如图 ）， 与 相似吗？请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD，由已知条件得到△ABC是等腰直角三角形由于 CEF与 ABC相似，
于是得到 CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥A△B，由轴△对称的性质
等等EF⊥C△D，求出CD⊥AB，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB= AB，于是得
到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于
∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论．
【详解】
如图 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形
又∵ 与 相似，
∴ 也是等腰直角三角形
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质知： ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 是 的中点，
∴ ；
当点 是 的中点时， 与 相似，理由如下：如图 ，连接 ，与 交于点 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类
讨论及数形结合思想是解题的关键．
26．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点
处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证： ；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．【答案】(1)详见解析；（2）10.
【分析】
①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故 .
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定
理求出OP长，从而求出AB长．
【详解】
①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴ .
②∵△OCP与 PDA的面积比为1:4，
∴OCPD=OPPA△=CPDA=14−−√=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8−x.
在 PCO中，
∵∠△C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，
∴x2=(8−x)2+42.
解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形
与翻转变换的相关知识.
27．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM
交BD于点N，ND=1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3.
【解析】
分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形， 为AC中点，M为AD中点，根据中位线的性
质得到ＯＭ∥ＣＤ，即可证得：
（2）由 可得到 根据 即可求出 ，根据平行
四边形的性质，即可确定出BD的长；
详解：（1）证明：□ 中 为AC中点，
M为AD中点，
ＯＭ∥ＣＤ，
（2）由（1）知， ，．
四边形 为平行四边形，
点睛：考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定方法
是解题的关键．
28．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延
长线于点F．
试问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）求证：PA2=PE•PF．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由菱形的性质可知： 又因为 所
以 ≌
（2）首先证明 从而得到 ，故
试题解析：（1） ≌
理由：理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CDP=∠ADP，DC=AD.在△APD和△CPD中,
∴ ≌
（2）∵ ≌
∴∠DCP=∠DAP，PC=PA.
∵ ，
∴∠DCP=∠AFP.
∴∠DAP=∠AFP.
又∵∠FPA=∠APE，
∴△EPA∽△APE.
∴ ，
即
29．如图， 中， ， ，矩形 的边 在线段 上，
、 分别在 、 上，设 为
（1）写出矩形PQED面积 与 的函数关系式；
（2）连PE，当 ∥ 时，求矩形 面积.【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由条件可证明 BPD≌△CQE，可得BP＝CQ＝x，则PQ＝DE＝6−2x，过A作AF垂直
△
BC，交BC于点F，则可求得AF＝4，BF＝3，利用平行可得 ，可用x表示出
PD，则可表示出y和x的关系式；
（2）当DE∥AB时，可得DE＝BP＝PQ，即x＝6−2x，求得x＝2，代入上式可求得矩形PQED
的面积．
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，且DP＝QE，∠BPD＝∠EQC＝90°，
在 BPD和 CQE中，
△ △
，
∴△BPD≌△CQE（AAS），
∴BP＝CQ＝x，
∴PQ＝BC−BP−CQ＝6−2x，
如图，过A作AF⊥BC，交BC于点F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝3，可求得AF＝4，
又∵PD∥AF，∴ ，即 ，
∴PD＝ ，
∴y＝PD•PQ＝ •（6−2x）＝− x2＋8x；
（2）当PE∥AB时，且DE∥BP，
∴四边形BDEP为平行四边形，
∴DE＝BP＝x，
又∵DE＝PQ＝6−2x，
∴x＝6−2x，
解得x＝2，
∴y＝− ×22＋8×2＝ ，
即矩形PQED的面积为 ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和
平行四边形的性质．在（1）中利用x表示出PD的长、在（2）中得到DE＝BP是解题的关
键．
30． 如图 ，正方形 的边长为 ，点 是 边的中点，将 沿 翻折得
到 ，延长 交 边于点 ，则 ，求出此时 的值；
如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边的中点，同样将
沿 翻折得到 ，延长 交 边于点 ．
①证明： ；②若点 恰是 边的中点，求 的值；
③若 与 相似，求 的值．
【答案】 ； 见解析； ， ．
① ② ③
【解析】
【分析】
（1）首先设DG为x，则由正方形的性质即可求得BG与CG的值，利用勾股定理构造方程，
解方程即可求得DG的值；
（2）①首先连接EG，由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得
Rt△EFG≌Rt△EDG，则可证得DG=FG；
②由G是CD的中点，得到DG与CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的长；
③由平行线与翻折变换的性质，易得：∠ABE= ∠CGB，又由相似三角形的性质与三角函
数的性质，即可求得AD的值．
【详解】
解：设 为 ，
由题意得： ， ，
由勾股定理得： ，
有： ，
解得： ．； 证明：连接 ，
∴ ①
是由 翻折得到的，
∵
， ，
∴
．
∴
，
∵ ．
∴
，
∵
．
∴
；
∴
解：若 是 的中点，则 ，
②
在 中， ，
．
∴
解：由题意 ，
③
．
∴
是由 翻折得到的，
∵
，
∴
．
∴
若 与 相似，则必有 ．
∴在 中， ，
．
∴
【点睛】
此题考查了翻折变换的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理
等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．
