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专题 29 相似三角形判定定理的证明(重难题型)
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
2．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
B．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
C．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
D．有一个角等于 的两个等腰三角形相似
3．已知 ，在 边上找一点 ，作 ，使 ，这样的点
有（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个
4．在 边AB上有一点 （点 不与点 、点 重合），过点 作直线截 ，
使截得的三角形与 相似，满足条件的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．如图，已知点P是 ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别 ABP∽△ACB的
是（ ） △ △
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．BC：BP=AC：AB D．AC：AB=AB：AP
6．如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误
的是( )A． B． C． D．
7．如图，已知 和 的面积相等，点 在 边上， 交 于点 ，
， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，D，E分别是 ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3， ADE的面是
2，则四边形BCED的面△积是（ ） △
A．4 B．8 C． D．
9．如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边
三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，
EG=3，则△DIJ的面积是（ ）A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S ：S =1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有
△AEF △CAB
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错
误的是（ ）
A． ADC∽△CFB B．AD=DF C． D．
△
12．在梯形 中， ， ， ，两腰延长线交于点 ，过 作
的平行线，交 、 延长线于 、 ， 等于（ ）A． B． C． D．
13．如图，梯形 中， ，对角线 、 相交于 ，下面四个结论：
① ② ③ ④ ．其中
结论始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，矩形 中，点 是 的中点， 交 于 ， ，连
交 于 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知 与 分别是等边三角形和等腰直角三角形， 与 分别是
和 的高， 与 交于点 ， ， 在同一条直线上，则下列说法不
正确的是（ ）A． B． C． D．
16．如图，在平行四边形中， 是 上的一点，直线 与 的延长线交于点 ，
并与 交于点 ，下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝
∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝
BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④
18．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点
的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．在 中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线 将 分割成两个部分，若其中的一个部分与 相似，则满足条件的直线 共有____________条
20． 中， ， ，点 在 上，且 ，若要在 上找一个
点 ，使 与 相似，则 __．
21．如图，在 中， ， ，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动
点，当 ______时， 与 相似．
22．如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?
23．如图，已知E是 的中线AD上一点，且 .求证：
.24．如图， 、 是两个全等的等腰直角三角形， ．
若将 的顶点 放在 上（如图 ）， 、 分别与 、 相交于点 、
．求证： ；
若使 的顶点 与顶点 重合（如图 ）， 、 与 相交于点 、 ．
试问 与 还相似吗？为什么？25．在 中， ，翻折 ，使点 落在斜边 上某一点 处，折痕为
（点 、 分别在边 、 上）
当 时，若 与 相似（如图 ），求 的长；
当点 是 的中点时（如图 ）， 与 相似吗？请说明理由．
26．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点
处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证： ；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．27．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM
交BD于点N，ND=1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
28．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延
长线于点F．
试问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）求证：PA2=PE•PF．29．如图， 中， ， ，矩形 的边 在线段 上，
、 分别在 、 上，设 为
（1）写出矩形PQED面积 与 的函数关系式；
（2）连PE，当 ∥ 时，求矩形 面积.
30． 如图 ，正方形 的边长为 ，点 是 边的中点，将 沿 翻折得
到 ，延长 交 边于点 ，则 ，求出此时 的值；
如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边的中点，同样将
沿 翻折得到 ，延长 交 边于点 ．
①证明： ；
②若点 恰是 边的中点，求 的值；
③若 与 相似，求 的值．
