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专题 3.11 垂径定理专题训练（基础篇）（专项练习）
一、知识回顾：
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、垂径定理的推论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
二、垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定
理解决问题
常见作辅助线方法有：
（1）连接半径
（2）过圆心作弦的垂线
常见的图形变形
H为半径中点
一、单选题1．如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ，则 的半径为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
2．如图，半圆的直径 ， 为圆心， 为 的中点， ， 交 于
点 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ，则 的长为（
）
A．4 B．5 C．8 D．16
4．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， 的半径为6，则弦 的
长为（ ）A．6 B． C．3 D．6
5．已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．4
6．如图， 是 的直径，将一块直角三角板的 角的顶点与圆心O重合，角的两边
分别与 交于E、F两点，若点F是弧 的中点， 的半径是4，则弦 的长为（
）
A． B． C．6 D．
7．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，
其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
A．50m B．40m C．30m D．25m
8．如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ，则 的长
是（ ）A． B． C． D．
9．如图，在 中，直径 ，垂足为M．若 ，则 的半径为（
）
A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．4
10．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，
则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．14cm D．16cm
二、填空题
11．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标
为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．12．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
_____．
13．如图， 是 的直径，弦 于点 ，且 ，则 的半径为
__________．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用
的经验公式是：弧田面积 （弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的
阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理（当半径 ⊥弦 时， 平分 ）可以求解．现已知弦 米，半
径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．16．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度
CD为____m．
17．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标
为(2，0)，则点B的坐标为______．
18．如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，则 的度数为
______．
19．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=
_________ cm．20．如图所示，半径为 的 内两条相互垂直的弦 ， 交于点 ， ，
，则 =______.
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为
_____．
22．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋
在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决
下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的
长”．根据题意可得CD的长为______．
23．已知 的半径为 ，弦 ， 是 上任意一点，则线段 的最小值为_____．24．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=______．
25．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点H．若 ， ，则 的
半径长为____________．
26．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为
________．
27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=_____．28．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示
（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm．
29．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半
径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____．
30．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），
连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_____________．
31．如图，⊙O的半径为5，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=8，
∠P=30°，则弦AB的长为___．32．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于
点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______．
33．如图， 的直径 ，弦 ，垂足为 ， ，则 的长为
______．
34．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦
CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8，EM=8，则⊙O的半径为
_________．
35．如图， ，在射线AC上顺次截取 ， ，以 为直径作
交射线 于 、 两点，则线段 的长是__________cm．三、解答题
36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足
为E，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
37．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB
＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．38．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AE= ，ON=1，求⊙O的半径．
参考答案
1．C
【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可
求解．
解：连接OA，∵ 为 的直径，弦 ，
∴AE= AB=3，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
∴ ，解得：x=5，
∴ 的半径为5．
故选C．
【点拨】本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
2．A
【分析】连接 ，利用垂径定理和勾股定理求解即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．【点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进
行求解．
3．C
【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，
由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用
是解题的关键．
4．D
【分析】连接 ，根据垂径定理可得 ，由 ，可得 ，进而
证明 ，可得 ，进而可得 为等边三角形，进而求得 ，即
可求得 ．
解：连接 ，如图，是 的直径，弦
又
为等边三角形，
故选D
【点拨】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，
添加辅助线证明 是解题的关键．
5．A
【分析】如图，过点 作 于 ，根据已知条件求得 勾股定理求得 ，由
垂径定理可得 ，进而可得 的长．解：如图，过点 作 于 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
【点拨】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是
解题的关键．
6．A
【分析】设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，
可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．
解：如图，设DE交OB于点M，∵点F是弧 的中点，
∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，
∴DE=2DM，
∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，
∵ 的半径是4，
∴OM= OD=2，
在 中，由勾股定理得：
，
∴DE=2DM= ．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，
等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．D
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交 于D，连接OA，先由垂径定理
得AC＝BC＝ AB＝75m，再由勾股定理求出OC＝100m，然后求出CD的长即可．
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交 于D，连接OA，
则OA＝OD＝ ×250＝125（m），AC＝BC＝ AB＝ ×150＝75（m），
∴OC＝ ＝ ＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的
关键．
8．A
【分析】由垂径定理可得 的长度，再由勾股定理可得 的长度，然后由
即可得出 的长度．
解： 弦 于点 ， cm，
cm，
在 中， cm，
（cm），
cm，
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 的长度
是解题的关键．
9．B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据
勾股定理得出方程，求出即可．
解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1²，解得R=2.6．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适
中．
10．D
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，
再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD= AB= ×48=24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中， （cm），
∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角
形是解答此题的关键．
11． ．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用 点坐标得出原点位置即可得出
答案．
解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），
据此建立平面直角坐标系如下图所示，
连接 ， ，作 ， 的中垂线，交点是点
则，该圆弧所在圆的圆心坐标是： ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．
12．
【分析】过点 作 交于点 ,连接 ，由折叠的性质可知： ，根据
勾股定理可求出 的长，再由垂径定理可得; 即可得出答案．
解：
如图所示，过点 作 于 ，连接 ，
， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
由垂径定理得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．13．
【分析】根据垂径定理得出CE=DE，再由勾股定理得出OD2=DE2+（AE-OA）2，代入求解
即可．
解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE= CD，
∵AE=CD=6，
∴CE=DE=3，
∵OD=OB=OA，OE=AE-OA，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2=DE2+（AE-OA）2，
即：OD2=32+（6-OD）2，
解得：OD= ，
∴⊙O的半径为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的
关键．
14．4-
解：试题解析：如图，连接OC.
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∵在 中,故答案为:
15．10
【分析】根据垂径定理得到 ，由勾股定理得到 ，求得
，根据弧田面积 （弦×矢+矢2）即可得到结论．
解：∵弦 米，半径 弦 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴弧田面积 （弦×矢+矢2） ，
故答案为10
【点拨】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
16．4．
【分析】由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理
计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝ ＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为4．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了
切线的性质定理以及勾股定理．
17．(6,0)
解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，∴点B的坐标为(6,0)
18．
【分析】先根据垂径定理可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得： ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题
关键．
19．
解：连接AC、BC，则∠CAH=30°， AC= ，根据勾股定理AH= ，故AB=
20． .
【解析】
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，先求出OM，ON，进而证
得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP的长．
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
故答案为：
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．
21．
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，设⊙O的半径为xcm，在Rt△OEC中，
OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x值即可．
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝ ，
∴⊙O的半径为 ，
故答案为 ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
22．26
解：试题分析：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= AB=5，
OE=OC﹣CE=OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，
解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．
【考点】垂径定理的应用．
23．4
【分析】由点到直线的距离，垂线段最短，连接 作ON⊥AB，直接利用垂径定理得出
AN的长，再结合勾股定理得出答案．
解：连接 作ON⊥AB，
根据垂径定理，AN= AB= ×6=3，
根据勾股定理，ON= ，即线段OM的最小值为：4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，垂径定理，勾股定理的应用，掌握以
上知识是解题关键．
24．4
解：试题解析：如图，连接BD；
∵直径AD⊥BC，
∴BE=CE= BC=6；
由勾股定理得：
AE= ；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°；
由射影定理得：
AB2=AE•AD
∴AD= =
∴OC= AD= .
考点：垂径定理.
25．13
【分析】连接 ，先根据垂径定理可得 ，再在 中，利用勾股定理即可得．
解：如图，连接 ，是 的直径，弦 ， ，
，
设 的半径长为 ，则 ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 的半径长为13，
故答案为：13．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
26． cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长
即可．
解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝ OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ cm，由垂径定理得：AB＝2 cm．
故答案为： cm．
【点拨】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
27．2
【分析】根据垂径定理得到CE = CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB与
OE的差即可．
解：连接OC
∵弦CD⊥AB，CD=8，
∴CE= CD=4，
在Rt△OCE中，
∵OC=5，CE=4，
由勾股定理得，
∴OE= ，
∴BE=OB−OE=5−3=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理.利用垂径定理求出CE的长，再利用勾股定理求
出OE的长是解题的关键．
28． ．
解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD= AB= （9﹣1）=4．
设OA=r，则OD=r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r= （cm）．
29．
【分析】根据题意在 中求出 ，利用垂径定理得出结果．
解：由题意，在 中， ， ，
由垂径定理知 ， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
30．5.
解：试题解析：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为
OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中
位线．根据三角形中位线定理，EF= AB= ×10=5．
考点：1.垂径定理；2.三角形中位线定理．
31．6
【解析】试题解析：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，则AC=BC，
∵OP=8，∠APO=30°，
∴OC=4，
在Rt△OAC中，OA=5，OC=4，
∴AC=3，
∴AB=2AC=6．
32．
【解析】
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线
上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.
解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE= AB=4，CF= CD=3，
∴OE= = =3,
OF= = =4,
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC= = = .
故答案为： .
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及垂径定理、勾股定理．根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形是解答此题的关键．
33．24
【分析】连接 ，先根据 求出 的长，再在 中，利用勾股定理可
得 的长，然后利用垂径定理即可得．
解：如图，连接 ，
的直径 ，
，
， ，
，
，
，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
34．5
【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，则CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得
OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC即可．
解：连接OC，如图所示：∵M是⊙O弦CD的中点，CD=8，
∴EM⊥CD，CM=DM= CD=4，
设⊙O的半径为x ，
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2=CM2+OM2，
即：x2=42+(8-x)2，
解得：x=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股
定理得出方程是解题的关键．
35．6
【分析】过 点作 于 ，连 ，根据垂径定理得 ，在 中，
， ，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到
，再利用勾股定理计算出 ，由 得到答案．
解：过 点作 于 ，连 ，如图
则 ，
在 中， ， ，
则 ，
在 中， ， ，则 ，
则 ．
故答案为6．
【点拨】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关
性质是解题的关键．
36．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等
圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然
后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴ ，∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC= AB，
∵OD= AB，
∴BC=OD．
37．（1）5 （2）
【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理
求出r的值；
(2)连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线
得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝ AB＝4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接BE，如图：
由(1)得：AE＝2r＝10，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在Rt△ECB中，EC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为(1)5；(2) .
【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
38．（1）证明见解析；（2）3；
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出
∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出
△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结
AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；
解：（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，
，
∴△ANE△≌≌ADE，
∴AD=AN；
（2）∵AE=2 ，AE⊥CD，
又∵ON=1，
∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，
r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2 ，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2 ）2+（x-1）2=（2x-1）2，
解得x=2，
∴r=2x-1=3.
【点拨】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
