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专题 3.1-4 圆的基本性质测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·山东德州·九年级期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一
定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
2．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校九年级期中）在直角坐标系中，如果 是以原点 为圆心，
以 为半径的圆，那么点 的位置（ ）
A．在 内 B．在 外 C．在 上 D．不能确定
【答案】C
【分析】勾股定理求得 的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解： 的半径为 ，点A到圆心 的距离为 ，
即点A到圆心 的距离等于圆的半径，
点A在 上．故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则有点P在圆外
；点P在圆上 ；点P在圆内 ．
⇔ ⇔ ⇔
3．（2022·山东潍坊·九年级期中）如图， 的直径 与弦 交于点E，若B为 的中点，则下列说
法错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵ 的直径 与弦 交于点E， B为 的中点，
∴ ， ， 故A，C，D选项正确，
不能得出 ，故B选项不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推理，掌握垂径定理是解题的关键．一条直线如果具有①经过圆心，②
垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这五条中的任
意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．
4．（2022·河北唐山·九年级期中）如图，半圆O的直径 ，将半圆O绕点B顺时针旋转 得到半
圆 ，与 交于点P，那么 （ ）A．2.5 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意判断出 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．
【详解】解：如下图，连接 ，
由题意得： ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性
质求出 是等腰直角三角形．
5．（2022·江苏·南京外国语学校仙林分校九年级期中）如图，在 中，半径 ， ，求
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据 ， ，首先计算 ，然后再由 ，可知
，结合三角形外角的性质计算 的度数即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识，熟练掌握相
关性质并灵活运用是解题关键．
6．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室九年级期中）如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ，
， ， 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出 的度数，然后根据同弧所对的圆周
角等于圆心角的一半求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌
握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
7．（2022·山西大同·九年级期中）以O为中心点的量角器与直角三角板 （ 为等腰直角三角
形）按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边 重合．点D为斜边 上一点，作射线 交弧 于
点E，如果点E在量角器上所对应的读数为 ，那么 的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆周角定理得出 ，再由外角的性质得出 ，代入计算即可得
出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
点 所对应的读数为 ，
，
为直径， ，
点 在 上，
，
是 的外角，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出 与 的关系．
8．（2022·山东德州·九年级期中）如图，已知 是 的直径，A是半圆弧 的中点，点D在劣弧
上（不与点A，点 重合）， 与 交于点 ．设 ， ，则 与 之间的数量关
系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，先求得 ，由圆周角定理得到 ，最后外角的性质得到
结论．
【详解】解：连接 ，
∵A是半圆弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】此题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质,三角形外角的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
9．（2022·山东临沂·九年级期中） 平分锐角 ，以 为圆心以任意长为半径画 ，分别交 ，
， 于A，B，C三点，以C为圆心，以 长为半径画弧与 相交于异于B点的点D，连接 ，
．下列结论错误的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画好图形，如图，连接 ， ，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，
判断A；证明 为等边三角形，可判断B；连接 ，证明 ，可判断C；连接 ，可
得 ，可判断D ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，∵ 平分锐角 ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
∵由作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．
10．（2022·浙江嘉兴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的圆心坐标 ，半径为5，
函数 的图象被截得的弦 的长为8，则 的值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】作 轴于 ，交 于 ，作 于 ，连接 ，由于 ， ，易得 点坐
标为 ，则 为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形．由 ，根据垂径定理得
，在 中，利用勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：作 轴于 ，交 于 ，作 于 ，连接 ，如图，
的圆心坐标是 ，
， ，
把 代入 得 ，
点坐标为 ，
，为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，
，
，
在 中， ，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股
定理等知识点．求出 到 轴的距离、求得 点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·江苏泰州·九年级期中） 半径为4，点A到点O距离为3，则点A在 ______（填“上”
“内”或“外”）．
【答案】内
【分析】根据点与圆的位置关系： 在圆上， 在圆外， 在圆内判断即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴点在圆内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系： 在圆上， 在圆外， 在圆内．
12．（2022·山东聊城·九年级期中）如图，在同圆中，若 ，则 ______ ．（“ ”
“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】取 的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．【详解】解：取 的中点E，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
13．（2022·山西大同·九年级期中）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图
所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端 ，量得弧 的中心C到 的距离
， ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为________________ ．
【答案】10
【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设圆的半径为 ，
∵C为弧 的中心， ，
∴延长 必过圆的圆心，设圆心为 ，连接 ，如图，∴ ，
由勾股定理，得： ，
即： ，
解得： ；
∴圆形瓦片所在圆的半径为： ；
故答案为：10．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
14．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，点M是半圆 的中点，点A、C分别在半径OM和 上，
， ， ，则 的半径为______．
【答案】
【分析】连接 ，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出 ，根据垂径定理得到 ，
在 中可得直径，即可得到半径．
【详解】解：连接 ，
∵ 是圆的直径，
∴ ，∵ ，
∴点A在 上，
∵点M是半圆 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中
∵ ， ，
∴ ，
∴
在 中
，
的半径为 ,
故答案为 ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上．
15．（2022·湖北襄阳·九年级期中）如图， 是 的直径，四边形 内接于 ， 交 于点
E， ．若 ， ，则 的长为_______．
【答案】6
【分析】先利用 证明 ，且 是 的直径，O为 中点，则可证 为 的中位
线，设 半径为R，则 ，利用勾股定理即可解出R，进一步即可求得 的长．
【详解】解：
是 的直径O为 中点
E为 中点，即
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得：
解得：
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查圆的综合题型，熟知垂径定理，直径所对的圆周角为 ，三角形中位线的性质，
勾股定理是解题的关键．
16．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，以BC为直径作 ，A，D为圆周上的点， ．
若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为____________（结果保留根
号）
【答案】 ##
【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为 ，求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，根据对称的意义可知， 的最小值为 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
所以阴影部分周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，等腰 中， ， 过点 且与 分别相
交于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】由 可知 ，从而可得 ，进而由 可推导，即可证明 ．
【详解】证明： ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角和圆周角的关系以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧、弦、
圆心角和圆周角的关系是解题关键．
18．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图， 是 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且
， 的延长线交 于点E．若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】连接 ，由 ， 知 ，据此得 ，
根据 可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
19．（2022·贵州·凯里市第六中学九年级期中）如图， 是 的直径，弦 于E，连接 ，过
点O作 于点F， ， ．
(1)求 的半径；
(2)求 的长度．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）连接 ，设 的半径为x，则 ，由 得 ，在
中，根据勾股定理得 ，进行计算即可得；
（2）在 中，根据勾股定理可求出 ，根据 即可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
设 的半径为x，则 ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
即 ，
，
即 的半径为5；
（2）解：在 中，根据勾股定理得，
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
20．（2022·江苏淮安·九年级期中）在矩形 中， ， ．
(1)若以 为圆心，8长为半径作 ，则 、 、 与圆的位置关系是什么？
(2)若作 ，使 、 、 三点至少有一个点在 内，至少有一点在 外，则 的半径 的取值范围
是 ．
【答案】(1)点 在 内，点 在 外，点 在 上
(2)
【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较 与圆的半径之间的大小关系，即可得解；
（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．
【详解】（1）解：连接 ，， ，
，
的半径为8，
点 在 内，点 在 外，点 在 上；
（2）解： ， ， ，
又 以点 为圆心作 ，使 ， ， 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离 与圆的半径 之间的关系，判断点与圆
的位置关系，是解题的关键．
21．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校九年级期中）如图， 是 的直径，点 在 上， ．
垂足为点 ． ， 分别交 、 于点 、 ．
(1)判断 的形状．并说明理由；
(2)延长 交 于点 ，连接 ，求证： ．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析
(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
，然后再利用垂直定义可得 ，再利用直角三角形的两个锐角互余可得
，最后根据已知易得 ，从而利用等角的余角相等可得 ，进
而利用等角对等边即可解答；
（2）设 与 交于点 ，利用垂径定理可得 ，从而可得 ，再根据已知和对顶角相
等可得 ，从而可得 ，然后利用三角形内角和定理可得 ，即可
解答．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，
理由： 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：设 与 交于点 ，
，
，
，， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（2022·吉林· 九年级期中）图①、图②分别是6×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为
1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．
(1)图中 的长为______．
(2)在图①中，找一格点C，连结 ，使 ．
(3)在图②中，作 ，使 ，并保留作图痕迹．
(4)图中存在格点P，使 ，这样的格点共有______个．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
(4)5
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（4）根据等腰直角三角形的性质求解 ；
（3）根据题意作出线段 ，相交于点D，可得 ，即可求解；
（4）根据圆周角的性质作图求解即可；
【详解】（1） ，故答案为： ．
（2）如图所示，以 为直角边作出等腰直角三角形 ，
∴ ，点C即为要求作的点；
（3）如图所示，作出线段 ，相交于点D，
∵ ，
∴
∴ 即为所要求作的角；
（4）如图所示，
∴使 ，这样的格点共有5个．
【点睛】本题考查了作图，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角的性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题．
23．（2022·北京丰台二中九年级期中）点 为平面直角坐标系 中一点，点 为图形 上一点，我们
将线段 长度的最大值与最小值之间的差定义为点 视角下图形 的“包容度”．如图， 半径为2，与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 ．
(1)在点 视角下， 的“包容度”为_________，线段 的“包容度”为_________；
(2)点 为 轴上一点，若在点 视角下，线段 的“包容度”为2，写出 的取值范围；
【答案】(1)4，2
(2)m的取值范围为 或
【分析】（1）连接 ，连接 并延长交 于点 ，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点
到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论；
（2）分三种情况讨论解答：当点 在线段 （不含端点）上时，不合题意；当 点在点B的右侧时，
求出 的范围即可得到结论；当 点在点A的左侧时，利用勾股定理求得 的大小，从而得到点 的
坐标，结论可得．
【详解】（1）解：连接 ，连接 并延长，交 于点 ，如图，则 为点P到 的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下， 的“包容度”为 ；
∵ 半径为2，与x轴分别交于点 ，
∴ ，
∵点P坐标为 ，
∴ ．
∴ ．
∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3，
∴在点P视角下，线段 的“包容度”为 ；
故答案为：4，2；
（2）由（1）知： ，
当点 在线段 （不含端点）上时，
∵ ，
∴ ，不合题意；
当 点在点B的右侧时，
∵ ，
∴点P到 的最小距离为3．
当 时， ，
∴ ，不合题意；
∴ ；
当 点在点A的左侧时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，综上，m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论
的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键．
