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专题 27 探究三角形相似的条件(重难题型)
1．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四条边相等
【答案】A
【分析】
先写出各命题的逆命题，再根据平行线的判定、对顶角、三角形全等的判定、正方形的判
定逐项判断即可得．
【详解】
A、其逆命题为：内错角相等，两直线平行，
此逆命题是真命题，此项符合题意；
B、其逆命题为：如果两个角相等，那么它们是对顶角，
相等的角不一定是对顶角，所以此逆命题是假命题，此项不符题意；
C、其逆命题为：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形一定相似，但不一定全等，所以此逆命
题是假命题，此项不符题意；
D、其逆命题为：如果一个四边形的四条边相等，那么这个四边形是正方形，
如果一个四边形的四条边相等，那么这个四边形一定是菱形，但不一定是正方形，所以此
逆命题是假命题，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了逆命题、平行线的判定、对顶角、三角形全等的判定、正方形的判定等知识点，
正确写出各命题的逆命题是解题关键．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含 角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含 角的直角三角形必相似
【答案】D
【分析】
根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项错
误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含 角的直角三角形必相似，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．
3．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个钝角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
根据三角形相似的判定进行判断．
【详解】
解：A、假设两个钝角三角形一个钝角是120度，一个钝角为150度，因为钝角三角形最多
只能有一个钝角，所以假设中的两个钝角三角形不相似，错误；
B、假设两个直角三角形一个锐角分别为30度和60度，一个锐角分别为20度和70度，那
它们也不相似，错误；
C、可设两个等腰三角形的三个角分别为80度、50度、50度，70度、55度、55度，那么
两个三角形也不相似，错误；
D、不管三角形的边长是多少，等腰直角三角形的三个内角都是90度、45度、45度，所以
两个等腰直角三角形一定相似，正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
4．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（ ）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可．
【详解】
解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角的度数分别为30°，75°，75°
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形
故选：A．
【点睛】
本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解
答．
5．如图， 是 的 边上的一点，在直线 上找一点 ，使得 与
相似，则满足这样条件的 点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】
根据有两个对应角相等的三角形相似作图即可． 和 中，有公共角 ，因
此只要作 或 ，即可得出两三角形相似．
【详解】
解：情况（1）：如图，当 时，根据题意得：当 时， ；
当 时，由 ，可得 ．
所以当 时，满足这条件的 点有2个．
情况（2）：当 时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的 点只有1个．
综上所述：使得 与 相似，则满足这样条件的 点有1个或2个．
故选：D．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
A．只有一对对应角相等，条件不够；B．用比例是确定三角形，竖向确定三角形△ACD与
△ABC，横向确定三角形△ABC与△CBD，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似；C.把等积变比例式，且夹角相等，能推出这两个三角形相似；D．用比例确定三角形，竖向
确定三角形△ADC与△BCD，横向确定三角形△ADC与△ACB，但夹角不一定相等，不能判
定的两个三角形相似．
【详解】
解：A． ，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
B．竖向确定三角形 ACD与 ABC，夹角 与∠B不一定相等，横向确定三角形 ABC
△ △ △
与 CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意，
△
C．由 变形得， ，由∠BAC=∠CAD，则 ，
可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意；
D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角 与∠DCB不一定相等，横向确定三角形
△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题
意；
故选择： ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，灵活掌握三角形相似的判定方法，会用已知条件与三角形相
似判定定理相结合判断三角形相似是解题关键．
7．如图，在四边形ABCD中， ，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立
的是（ ）
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】
解：
A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为 ，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当 时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【第讲】
本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使
三角形相似解题关键．
8．如图，在 中， 是 边的中点， 于点 ，交
边于点 ，连接 ，则图中与 相似的三角形共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】
利用直角三角形斜边上的高线模型，可判断有2个三角形与 相似，利用直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半，传递一组等角，得到第3个三角形.
【详解】
∵∠EAC=∠CAF，∠AEC=∠ACF，∴△ACE∽△AFC；
∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，
∴∠EAC=∠ECF，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△ACE∽△CFE；
∵ 是 边的中点，
∴DC=DB，
∴∠ECF=∠EAC=∠B，
∵∠AEC=∠BCA，
∴△ACE∽△BAC；
共有3个，
故选B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的相似，熟练运用三角形相似的判定定理是解题的关键.
9．如图，点D在 的边 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定 ABC∽△ADB；
B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定 ABC△∽△ADB；
C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判△定 ABC∽△ADB；
D、无法判断三角形相似． △
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，下列条件中能判断
的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵ ，
∴∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断，
∵ ，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，与所求对应关系不一致，故④不能判断；
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常
考题型．
11．如图，在 中，点D、E分别在边 、 上，则在下列五个条件中：①
；② ；③ ；④ ，能满足
的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】
①在 和 中， ，
，则条件①能满足；② ，
，则条件②不能满足；
③在 和 中， ，
，则条件③能满足；
④由 得： ，
对应的夹角 与 不一定相等，
此时 和 不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
12．下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两
个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
13．如图，要使 ，需补充的条件不能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应
成比例．
【详解】
∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
故选：D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角
形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比
相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么
这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形
与原三角形相似．
14．已知 的三边长是 ， ，2，则与 相似的三角形的三边长可能是（
）
A．1， ， B．1， ，C．1， ， D．1， ，
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC三边长是 ， ，2，
∴△ABC三边长的比为 ：2： =1： ： ，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1： ： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．如图，在四边形 中，如果 ，那么下列条件中不能判定
和 相似的是（ ）
A． B． 是 的平分线
C． D．
【答案】D
【分析】
已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽
然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.
【详解】
在 ADC和 BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如△果 ADC∽△△BAC，需满足的条件有：
①∠△DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
② ；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
16．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B． 且∠B=∠D
C． D． 且∠A=∠D
【答案】B
【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解： 、 ， ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出
，故此选项不合题意；
、 ，且 ，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、 ，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出
，故此选项不合题意；、 且 ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相
似，可以得出 ，故此选项不合题意；
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：
平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边
法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等
且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
17．如图，在正方形 中， 为 中点， ． 联结 ．那
么下列结果错误的是( )
A． 与 相似
B． 与 相似
C． 与 相似
D． 与 相似
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的
判定可以选出结果错误的选项．
【详解】解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：
，
∴ ，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D， ，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是
解题关键．
18．如图所示，已知点 、 、 、 在一条直线上， ，下列（ ）作为条
件添上，不能使得
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】
∵ ，∴ ，
A、∵ ， ，
∴ ∽ ，本选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽ ，本选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ ∽ ，本选项不符合题意；
D、因为 ，但不能得出 ，所以不能得出 ∽ ，符合
题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
19．如图， 中， 、 两点分别在 、 上，且 平分 ，若
， 与 相交于点 ．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用“两角法”判定三组三角形相似．
【详解】
解：如图，设∠BAD=∠1，∠CAD=∠2，则①在△ABE与△ACB中，∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAB，
∴△ABE～△ACB；
②∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．
∵∠1=∠2，∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△ACD；
③∵ABE～△ACB，
∴∠BEA=∠ABD，
又∵∠1=∠2，
∴△AEF∽△ABD，
综合①②③知，共有3对相似三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握利用“两角法”判定三角形相似是解题关键．
20．如图，在等腰梯形ABCD中， ， ，对角线AC，BD相交于点O，有
如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；② ；③ ；
④ .其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论.
【详解】
等腰梯形是轴对称图形，故①正确；
可证明△ABC≌△DCB
∴
,
∴△AOB≌△DOC，故③正确；
AD∥BC
∴△AOD∽△BOC,故④正确.
故选B.
【点睛】
本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等
知识点.
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE
的是（ ）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断 ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；
B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断 ABC△∽△ADE，故B选项不符合题意；
△C、 ，即 ，且夹角∠A=∠A，则可判断 ABC∽△ADE，故C选项不符
△
合题意；
D、 ，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定 ABC∽△ADE，故D选项符合题
△
意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
22．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（
）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当 时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当 时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定 ABC与 ADE相似的是（
） △ △
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定 ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两△个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三
角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相
似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
24．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一
定与△BCD相似的是（ ）
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE【答案】D
【分析】
由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断
A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证
△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断
C，由 ，可得 ，由 BFE∽△BCD，可得 可得
△
，由∠BDC=∠AEB=90°，若 ABE∽△BCD， 连结FC，可得 CEF∽△BDC，由
△ △
∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件可判断D．
【详解】
解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵ ，
∴ ，
∵△BFE∽△BCD，∴ ，
∴ ，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若 ABE∽△BCD，
△
满足条件 ，
即 ，
∴满足 即 ，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的
选项是解题关键25．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC
延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】A
【分析】
根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP；
∵∠FEP=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共有6对，
故选A．【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判
定定理是解题的关键．
26．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，
AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
【答案】3
【分析】
先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明
△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
【详解】
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出
两三角形的对应边、对应角．27．如图，在 与 中， ， ， ， 交 于点
D，给出下列结论．① ；② ；③ ；④
．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】
根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确； 不
正确，采用反证法，假设 ，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由
题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即
可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三
角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【详解】
解：在△AEF和△ABC中
∵ ，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设 ，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判
定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC
是解题关键．
28．如图， ， ，在 、 、 、
、 、 中写出一对相似三角形______________．
【答案】
【分析】
设AP ，求得AB= ，由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：设AP ，
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AP=PB=BC=CD ，
∴AB= ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关
键．
29．如图， 中， ，点D是边 上的一个动点（点D与点 不重合），
若再增加一个条件，就能使 与 相似，则这个条件可以是____（写出一个即
可）．
【答案】答案不唯一，如：
【分析】
根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
【详解】
∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是 ；
故答案为：DB：BA=AB：BC或 ．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直
线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最
多有_____条．
【答案】4
【分析】
过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一
个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】
解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与作图，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
31．如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，
请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】
过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作．
【详解】
解：如图，点P即为所求作．
由作图知，∠EPD＝90°，
∵∠ADC＝∠DBC＝90°，
∴∠EDP+∠BDC＝∠C+∠BDC＝90°，
∴∠EDP＝∠C，
∴Rt△DEP∽Rt△CDB．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．32．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知
．
（1）求证： ；
（2）若ABCD为平行四边形， ， ，求FD的长度．
【答案】（1）见详解；（2）2
【分析】
（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；
（2）先证明AD∥BE，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵ ，∠AFD=∠EFC，
∴ ；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，AB＝CD＝6，
∴AF：EF＝DF：CF，
又∵EF＝2AF，
∴DF：CF＝1：2，即DF＝ DC＝2．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
33．如图1，在矩形 中， 为 边上一点，把 沿 翻折，使点 恰好
落在 边上的点 处．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若 ， 分别是 ， 上的动点，求
的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 的最小值为 ．
【分析】
（1）选证得 ，即可证明结论；
（2）利用折叠的性质，在Rt△ABF中，求得BF的长，设CE=x，在Rt△CEF中，利用勾股定
理构建关于x的方程，即可求解；
（3）根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时
PD+PQ的最小值为FQ，证明四边形QFCD是矩形，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 由 翻折得到，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， .
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，即 .
（3）如图，根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于
P，此时PD+PQ的最小值为FQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90 ，又FQ⊥AD，
∴四边形QFCD是矩形，
∴FQ=CD=AB=3 ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题
的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
34．如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P
是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝
α．
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
【答案】（1）见解析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°
【分析】
(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可．
【详解】
(1)证明：∵a∥b，
∴△MPD∽△NPE．
(2)∵a∥b，
∴∠MDP＝∠NEP，
∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)∵a∥b，
∴∠1＝∠PNE＝70°，
①若PN＝PE时，
∴∠PNE＝∠PEN＝70°．
∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠a＝40°；
②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°；③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°，
∴α＝∠PEN═55°；
综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知
相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．
35．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得
∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到 ，求得
AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴ ，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的
关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．
36．如图，在 中， 是斜边 上的高，点 为 上一点，连接 交
于点 ，作 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）写出图中除（1）中的相似三角形外的其它相似三角形．
【答案】（1）见解析；（2） ， ， ，
【分析】
（1）证明：由 得，可得 ，由 ，可得 利用等角的补角相等得∠ANM=∠CPB，可证 ．
（2）由∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC，可得 ，由 ，
可得 由∠CDA=∠BDC=90°得 ，有由传递性得 ，
由 ，得 ，由公用角 可得
即可．
【详解】
（1）证明：
∵ 得，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ， ，
∴
∴∠ANM=180°-∠MNB=180°-∠DPB=∠CPB，
∴ ．
（2）∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∵∠CDA=∠BDC=90°
∴ ，
由 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∴还有四对三角形相似分别为： ， ， ，
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理，结合图找到相似的根源是解题
关键．
