文档内容
3.1 导数的定义 、导数的运算
思维导图
知识点总结
1．导数的概念
(1)平均变化率：我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f(x)从x 到x ＋Δx
0 0
的平均变化率．
(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个 的值，
即有极限，则称y＝f(x)在x＝x 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x
0 0
处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x )或y′| ，即
0 x＝x0
2．导数的几何意义
曲线f(x)的割线P P，其中P (x ，f(x ))，P(x，f(x))，则割线P P的斜率是k
0 0 0 0 0
＝，记Δx＝x－x ，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点 P 时，即当Δx→0时，
0 0
k无限趋近于函数 y＝f(x)在x＝x 处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x 处的导
0 0
数f′(x )就是切线P T的斜率k ，即k ＝
0 0 0 0
3．导函数的概念
当x＝x 时，f′(x )是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝ □ f ′( x ) 就是x
0 0
的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝
f(x)＝sin x f′(x)＝
f(x)＝cos x f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ex f′(x)＝
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；
(2)[f(x)g(x)]′＝ ；
(3)′＝ ( g ( x ) ≠ 0 )．
6．复合函数的导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以
表示成x的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作
．
(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导
数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 ，即y对x的导数等于
y对u的导数与u对x的导数的乘积．
7．常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是
周期函数．
(2)熟记以下结论：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).典型例题分析
考向一 导数的运算
例1 f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x )＝2022，则x 等于( )
0 0
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
知识点总结
常见形式及具体求导的六种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考向二 导数与函数的图象
例2 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为(
)知识点总结
导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x ，f(x ))求斜率k，即求
0 0
该点处的导数值k＝f′(x ).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数
0
图象在相应点附近的变化情况.
考向三 求切线方程
例3 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A
处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．知识点总结
与切线有关的问题的处理策略
(1)已知切点A(x ，y )求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x ).
0 0 0
(2)已知斜率k，求切点A(x ，f(x ))，即解方程f′(x )＝k.
1 1 1
(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x ，y )，求曲线过点P的切线方程，则需分点
0 0
P(x ，y )是切点和不是切点两种情况求解．
0 0
①当点P(x ，y )是切点时，切线方程为y－y ＝f′(x )(x－x ).
0 0 0 0 0
②当点P(x ，y )不是切点时，可分以下几步：
0 0
第一步：设出切点坐标P′(x ，f(x ))；
1 1
第二步：写出曲线在点P′(x ，f(x ))处的切线方程y－f(x )＝f′(x )(x－x )；
1 1 1 1 1
第三步：将点P的坐标(x ，y )代入切线方程求出x ；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程 y－f(x )＝f′(x )(x－x )，可得过点P(x ，y )的切
1 1 1 1 0 0
线方程.
考向四 由导数的几何意义求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜
率都小于1，则实数a的取值范围是 ．
知识点总结
1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路
一般是利用切点P(x ，y )求出切线方程再转化研究．
0 0
2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路
由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x 和x 中的一个，转化为方
1 2程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要
关注自变量的取值范围．
基础题型训练
一、单选题
1．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中 ）
现用上述公式求 的值，下列选项中与该值最接近的
是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则函
数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则实
数
A． B． C． D．
5．已知某质点做变速直线运动，位移S（m）与时间t（s）的关系为 ，则t＝1时．该质点瞬时速度的大小为（ ）
A．1m/s B． m/s C． m/s D．2m/s
6．已知函数 ， 是函数 的导数，且函数 的图象关
于直线 对称，若 在 上恒成立，则实数n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 均存在零点 B．当 时， 有两条与 轴平行的切
线
C．存在 ， 有唯一零点 D．当 时， 存在唯一极小值点 ，
且
8．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 表
示，则（ ）
A．物体在 时的瞬时速度为0m/s B．物体在 时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在 时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
三、填空题
9．已知函数 在点 处的切线过点 ，则 的最小
值为__________.10．曲线 在点 处的切线方程为______．
11．函数 在 上可导，且 ．写出满足上述条件的一个函数：______．
12．设 ，则 ______．
四、解答题
13．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
14．设函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，当 时，证明 .
15．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) （ ，且 ）；
(3) ；
(4)
16．已知曲线y＝x3－2x，求过点(1，－1)的该曲线的切线方程．提升题型训练
一、单选题
1． （ ）
A． B． C．0 D．
2．设函数 ，则 等于
A．0 B． C． D．
3．若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4．设函数 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方
程为
A． B． C． D．
5．设 ，若 ，则
A． B． C． D．
6．已知函数 的图象与直线
恰有四个公共点 ，其中
，则 （）A． B．0 C．1 D．
二、多选题
7．已知实数 ， ， ， 满足 ，其中 是自然对数的底数，则
的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知 ， 在 处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
9．某物体的运动路程s(单位： )与时间t(单位： )的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物
体在t 时的瞬时速度为27 ，则t=________.
0 0
10．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开
墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为_______.
11．已知直线 是曲线 与 的公切线，则直线 与 轴的交点坐标
为______．
12．已知 ，直线 与曲线 相切，则 ______.
四、解答题
13．求出下列函数的导数．
（1）（2）
（3）
（4）
（5）
14．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
15．已知函数 （ 自然对数的底数）在点 处的切线方程为
.
(1)求 、 的值；
(2)试判断函数 在区间 内零点的个数？说明你的理由.
16．已知抛物线C: , 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物
线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为 ，求点M的坐标 ；
（2）设P 为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点
P．若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
