文档内容
专题 3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】
【新高考专用】
1、导数的概念及其意义与运算
导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的
高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低
档；导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，复习时要加强这方面的训练.
【知识点1 导数的运算的方法技巧】
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【知识点2 切线问题的解题策略】
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参
数：①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般
是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线
相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
lim f (x +2Δx)−f (x )
【例1】（24-25高三上·上海·期中）若函数 y=f(x) 在 x=x 处的导数等于 a ，则 Δx→0 0 0
0
Δx
的值为（ ）
1
A．0 B． a C．a D．2a
2
【变式1-1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数 f (x) 的图象如图所示，f′(x) 是 f (x) 的导函数，
则下列数值排序正确的是（ ）A．00)是曲线f (x)=ex与曲线
g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【变式7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数f (x)=−x3+x+1,g(x)=e−2x+1.
(1)求曲线y=f (x)过点(1,1)处的切线；
(2)若曲线y=f (x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的值.
【变式7-3】（2024·湖南郴州·三模）已知函数f (x)=x2−ax+1,g(x)=lnx+a(a∈R).
(1)若a=1,f (x)>g(x)在区间(0,t)上恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若函数f (x)和g(x)有公切线，求实数a的取值范围.
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线y=4lnx−x2上任意一点，则点P到直线
l:2x+ y−5ln2=0的距离的最小值为（ ）
√5ln2 2√5 5√5 4ln2
A． B． C． D．
5 5 2 5
【变式8-1】（23-24高三上·安徽合肥·期中）点P,Q分别是函数f (x)=3x−4,g(x)=x2−2lnx图象上的
动点，则|PQ|2的最小值为（ ）
3 3
A． (2+ln2) 2 B． (2−ln2) 2
5 5
2 2
C． (1+ln2) 2 D． (1−ln2) 2
5 5ωx ωx
1+2tan −tan2
2 2
【变式8-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x)= (ω>0)，若
ωx
1+tan2
2
[ π π]
∃x ∈ − , 使得f (x)的图象在点(x ,f (x ))处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
0 4 3 0 0
3 3
A．2 B． C．1 D．
2 4
【变式8-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线y=ax+b与曲线y=ln(ex)相切，则a+b的最小值为
（ ）
1
A． B．1 C．√2 D．√3
2
ex
(
e
)
1．（2023·全国·高考真题）曲线y= 在点 1, 处的切线方程为（ ）
x+1 2
e e e e e 3e
A．y= x B．y= x C．y= x+ D．y= x+
4 2 4 4 2 4
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ex+2sinx ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围
f (x)= y=f (x) (0,1)
1+x2
成的三角形的面积为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
3．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当x∈(n,n+1)时(n∈N)，若f (x+1)=f′(x)，则称f (x)为延展
函数.已知当x∈(0,1)时，g(x)=ex且ℎ(x)=x10，且g(x),ℎ(x)均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在y=kx+b(k,b∈R,k,b≠0)与y=g(x)有无穷个交点
（2）存在y=kx+b(k,b∈R,k,b≠0)与y= ℎ(x)有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
4．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
y=(x+a)ex
5．（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=
.
