专题 3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】
【新高考专用】
1、导数的概念及其意义与运算
导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的
高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低
档；导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，复习时要加强这方面的训练.
【知识点1 导数的运算的方法技巧】
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【知识点2 切线问题的解题策略】
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参
数：①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般
是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线
相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
lim f (x +2Δx)−f (x )
【例1】（24-25高三上·上海·期中）若函数 y=f(x) 在 x=x 处的导数等于 a ，则 Δx→0 0 0
0
Δx
的值为（ ）
1
A．0 B． a C．a D．2a
2
【变式1-1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数 f (x) 的图象如图所示，f′(x) 是 f (x) 的导函数，
则下列数值排序正确的是（ ）A．0<f′(4)<f (4)−f (3)<f′(3)
B．0<f′(3)<f′(4)<f (4)−f (3)
C．0<f (4)−f (3)<f′(4)<f′(3)
D．0<f′(4)≤f′(3)<f (4)−f (3)
【变式1-2】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 y=f (x) 在 x=1 处的切线的斜率为−3，则
f (1)−f (1+2Δx)
lim =（ ）
Δx
Δx→0
3 3
A．−6 B．− C． D．6
2 2
【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整
f (b)−f (a)
改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W =f (t)，用− 的大小评价在[a,b]这段时间内企
b−a
业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确
的命题是（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
[t ,t ]
1 2
B．在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
2
C．在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
3
D．甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
[0,t ] [t ,t ] [t ,t ] [t ,t ]
1 1 2 2 3 1 2
【题型2 求（复合）函数的导数】
【例2】（2024·湖北·一模）已知函数f (x)=ex−f′(1)x，则（ ）e e
A．f (1)=− B．f′(1)=−
2 2
C．f (2)=e2−e D．f′(2)=e2−e
【变式2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 ， ， ，
f (x)=sinx f (x)=f′(x) f (x)=f′ (x)
1 2 1
，则
2024
π 等于（ ）
⋯,f (x)=f' (x) ∑ f ( )
n+1 n i 6
i=1
√3 √3−1 1
A．0 B． C． D．
2 2 2
【变式2-2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合 ,则以下可以是 的表达式
M={f(x),f′ (x),f″ (x),⋯} f(x)
的是（ ）
A．sinx B．ex C．lnx D．x2+2x+3
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若f (2x−1)+3，f′(x−2)都是奇函数，
且 ，则
2025
（ ）
f′(1)=−2f (−1) ∑ f′(k)=
k=1
A．6 B．−9 C．3 D．−12
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y=x3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
π π 3π 5π
A． B． C． D．
6 4 4 6
f′(1)
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=x3− ⋅lnx+3，则曲线y=f (x)在(e,f (e))处的
2
切线斜率为（ ）
1 1 1 1
A．e2− B．3e2− C．e2− D．3e2−
2e 2e e e
【变式3-2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f′(x)，则下列选项
中值最大的是（ ）A．f (3) B．3f′(3) C．f (−14) D．f′(8)
1
【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点P是函数f (x)=x3− f′(1)x+f′(2)图象上的任意一点，点P处切
2
线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A． [ 0, 3π ) B． [ 0, π ) ∪ [3π ,π ) C． (π , 3π ) D．
4 2 4 2 4
[ 0, π ) ∪ (3π ,π )
2 4
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2024·广东肇庆·一模）曲线 在 处的切线方程为（ ）
y=x(x2−1) x=1
A．x=1 B．y=1
C．y=2x+1 D．y=2x−2
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f
(x)=x2f′(1)
+lnx−9，则函数在x=1处的切线
3
方程是（ ）
9 29 9 47
A．y= x−9 B．y=19x−19 C．y=19x− D．y= x+
2 2 2 2
【变式4-2】（2024·江西景德镇·一模）过点 且与曲线 相切的直线方程是（ ）
A(0,1) f(x)=x3+2x−1
A．y=5x+1 B．y=2x+1
C．y=x+1 D．y=−2x+1
【变式4-3】（2024·新疆·二模）过点(1,4)且与曲线f (x)=x3+x+2相切的直线方程为（ ）
A．4x−y=0 B．7x−4 y+9=0
C．4x−y=0或7x−4 y+9=0 D．4x−y=0或4x−7 y+24=0
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)=(x−a)(x−2)(x−3)(x−4)，若f(x)的图象在x=2处
的切线方程为y=6x+b，则a+b=（ ）A．−11 B．−12 C．−13 D．−14
【变式5-1】（2024·广西贵港·三模）已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b，则
（ ）
A．a=e，b=−2 B．a=e，b=2
C．a=e−1，b=−2 D．a=e−1，b=2
a
【变式5-2】（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ 相切，则实数a＝（ ）
x
1 4 3
A．0 B． C． D．
2 5 2
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的
f (x)=ex P(0,f (0)) g(x)=ln(ax)
一条切线，则a的值为（ ）
e e e3
A． B． C．e2 D．
3 2 3
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点(2,0)可作曲线f (x)=x3−3x−2的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)ex有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞) B．(−3,1)
C．(−∞,−3) D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线y=f (x)=x2−|x|+1的两条切线，则这两条切线方
程为（ ）
A．y=x和y=−x B．y=−3x和y=3x
C．y=x和y=−3x D．y=−x和y=3x
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=−x3+3x，则过点(−3,−9)可作曲线y=f (x)的切线
的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例7】（2024·福建·模拟预测）已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=−ln(−x)的切
线，则（ ）1
A．k= ，b=0 B．k=1，b=0
e
1
C．k= ，b=−1 D．k=1，b=−1
e
【变式7-1】（2024·陕西渭南·一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f (x)=ex与曲线
g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【变式7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数f (x)=−x3+x+1,g(x)=e−2x+1.
(1)求曲线y=f (x)过点(1,1)处的切线；
(2)若曲线y=f (x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的值.
【变式7-3】（2024·湖南郴州·三模）已知函数f (x)=x2−ax+1,g(x)=lnx+a(a∈R).
(1)若a=1,f (x)>g(x)在区间(0,t)上恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若函数f (x)和g(x)有公切线，求实数a的取值范围.
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线y=4lnx−x2上任意一点，则点P到直线
l:2x+ y−5ln2=0的距离的最小值为（ ）
√5ln2 2√5 5√5 4ln2
A． B． C． D．
5 5 2 5
【变式8-1】（23-24高三上·安徽合肥·期中）点P,Q分别是函数f (x)=3x−4,g(x)=x2−2lnx图象上的
动点，则|PQ|2的最小值为（ ）
3 3
A． (2+ln2) 2 B． (2−ln2) 2
5 5
2 2
C． (1+ln2) 2 D． (1−ln2) 2
5 5ωx ωx
1+2tan −tan2
2 2
【变式8-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x)= (ω>0)，若
ωx
1+tan2
2
[ π π]
∃x ∈ − , 使得f (x)的图象在点(x ,f (x ))处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
0 4 3 0 0
3 3
A．2 B． C．1 D．
2 4
【变式8-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线y=ax+b与曲线y=ln(ex)相切，则a+b的最小值为
（ ）
1
A． B．1 C．√2 D．√3
2
ex
(
e
)
1．（2023·全国·高考真题）曲线y= 在点 1, 处的切线方程为（ ）
x+1 2
e e e e e 3e
A．y= x B．y= x C．y= x+ D．y= x+
4 2 4 4 2 4
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ex+2sinx ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围
f (x)= y=f (x) (0,1)
1+x2
成的三角形的面积为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
3．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当x∈(n,n+1)时(n∈N)，若f (x+1)=f′(x)，则称f (x)为延展
函数.已知当x∈(0,1)时，g(x)=ex且ℎ(x)=x10，且g(x),ℎ(x)均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在y=kx+b(k,b∈R,k,b≠0)与y=g(x)有无穷个交点
（2）存在y=kx+b(k,b∈R,k,b≠0)与y= ℎ(x)有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
4．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
y=(x+a)ex
5．（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=
.
