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湖南省长沙市雅礼集团八校联考 2024-2025 学年高一下学期 4 月期中
数学试题
命题人：蒋志华 审题人：莫 俐
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
2. 已知向量 .若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：C
3. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，用斜二测画法
画出的水平放置的梯形 的直观图为四边形 ，则四边形 的面积为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.
【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形 的直观图 如图所示，
可知四边形 是梯形， ， ， ，且 ，
过点 作 于点 ，由 ，故 ，
所以 .
故选：C.
4. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则A＝（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，整理得 ，由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ．
故选：B．
5. 已知平面向量 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 共面，且满足 ，则
（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，然后由 解方程组求出 ，再利用模长的定义求出即可.
【详解】设 ，
因为 ，
又 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
6. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 ，上下底面的中心分别为 和O，若 ，侧面与底面所成锐二面角的正切值为 ，则正四棱台 的体
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱
台的体积公式即可求.
【详解】取 、 的中点 、 ，连接 ， ， ，
则由题意可知 为侧面与底面所成锐二面角，则 ，
，得 ，
在直角梯形 中， ，则 ，
则正四棱台的体积为 .
故选：B
7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明
清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面 点看楼顶点 的仰角为 ，沿直线 前进51米达到 点，此时看点 点的仰角为 ，若 ，则该八角观
音塔的高 约为（ ）（ ）
A. 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，得到可得 ，在直角 中，根据 列出方程，求得 的值，
即可求解.
【详解】由题意，设 ，由 ，可得 ，
因为 且 ，
在直角 中，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
8. 如图，在长方体 中， ， ， ，E､F分别为棱 ､ 的中点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出过点 ，点 的平面 ，使得 平面 ，此时 的轨迹即为平面 与长方体表面的交线，
据此可求解出轨迹的长度.
【详解】连接 ，过 作 交 于 点，过 点作 交 于 点，连接 ，
如下图所示：
因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，又因为 ，且 ，所以 平面 ，
所以 的轨迹为 ，
因为 ，所以可知 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 轨迹长度为： ，
的
故选：A.
【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求
较高，难度较难.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 是三个不同的平面， 是三条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，且 ，则
.
D 若 ， ，且 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断 A；对于B,由面面平行的性
质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若 ，则m不在平面 ，但题目所给条件
没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.
【详解】对于A，若 ，则 与 相交或 ，所以A不正确;对于B，若 ，由面面平行的性质定理可得 ，所以B正确;
对于C，若 ，且 ，则 或 ，所以B不正确;
对于D，若 ，且 ，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确.
故选:BD.
10. 已知复数 （ 为虚数单位），则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】AB选项，由共轭复数和虚部概念进行判断；C选项，分别求出两复数的模长，比较大小；D选项，
利用复数除法法则计算出 ，得到对应的点坐标，进行判断.
【详解】A选项， ，故 ，A正确；
B选项， 的虚部为-2，B错误；
C选项， ，故 ，C正确；
D选项， ，
故 在复平面内对应的点坐标为 ，位于第二象限，D错误.
故选：AC11. 若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量坐标运算求出 判断A；利用数乘向量结果求出 ，再求出单位向量判断B；利用
向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.
【详解】对于A， ，则 ，解得 ，
则 ， ，显然不存在 ，使 ，即 ， 不共线，A错误；
对于B， ，则 ，解得 ，即 ， ，
，则与 同向的单位向量为 ，B正确；
对于C，当 时， ，又 与 的夹角为锐角，
则 ，解得 ，且 ，即 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，即 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程 ， 有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为 ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于 的方程，注意检验 ，
从而得解.
【详解】因为方程 ， 有两个虚数根，
所以 ，则 ，
又由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 的两个虚数根分别为 ，
它们在复平面上对应的点分别为 ，
所以它们之间的距离为 ，解得 ，满足 ，
所以 .
故答案为： .
13. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，
则 的值是______．【答案】6
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算.
【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
则 ，解得： ，
所以 .
故答案为：6
14. 在底面为正方形的四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
平面 ，则 __________，四面体 的外接球的表面积为______.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据线面平行的性质定理可得 ，即可求解E为 的中点，即可得 ，利用补形法，
即可根据长方体的外接球的半径求解.
【详解】连接 交 于点 ，连接 ，因为 ， 共面，且 平面 ，
平面 ,平面 平面 ，所以 .
由于O为 的中点，所以E为 的中点，所以 .四面体 可以补形为一个长方体，所以四面体 的外接球的半径 ，
故四面体 的外接球的表面积为 .
故答案为： ，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 、 、 在同一平面内，且 ， .
（1）若 ，且 与 共线，求 的坐标；
（2）若向量 与向量 共线，求 的值，此时 与 同向还是反向？
【答案】（1） 或
（2） ，同向.
【解析】
【分析】（1）由题设 ，根据题意得到方程 ，解出即可；
（2）写出 ， ，根据共线得到 ，解出
值，代回验证即可.
【小问1详解】
与 共线，则可设 ，
， ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，故 或 .
【小问2详解】
， ，
则由题意得 ，解得 ，
此时 ，
故此时 与 同向.
16. 已知复数 ( )的实部与虚部的差为 ．
（1）若 ，且 ，求复数 在复平面内对应的点的坐标；
（2）当 取得最小值时，求复数 的实部．
【答案】（1） ．（2）
【解析】
【分析】
（1）由复数的实部、虚部的运算，可得 ，再结合题意可得 ，再确定 在复平面内对
应的点的坐标即可；
（2）先求出函数取最小值时 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.
【详解】解：（1）由题意可得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，则 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ．
（2）因为 ，所以当 时， 取得最小值，
此时， ，
则 ，
所以 的实部为 ．
【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算，重点考查了复数的实部、虚部的运算，属基础题.
17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，
且满足 ，将 AED， DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
△ △
（1）求证： ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证 平面 ，再证 ；
（2）由等体积法求 .
【小问1详解】
证明：A，C重合于P，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ，
∵ 平面PEF，∴ ；
【小问2详解】
由已知得 ， ， ，
则在 中， 边上的高 .
则 ，
∴ .
18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB
的中点，点M在 上，且 ．
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）求证： 平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面PAC， 平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面 平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知 面PAC，可得 为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结
论．
【小问1详解】
证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以 ，因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC，
因为 ，因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC，
因为 ， 平面MOE， 平面MOE，所以平面 平面PAC.
【小问2详解】
的
证明：因为点C在以AB为直径 圆O上，所以 ，
即BC AC，因为PA 平面ABC， 平面ABC，所以PA BC，
因为 ， 平面PAC， 平面PAC，所以BC 平面PAC.
【小问3详解】
由（2）知BC 面PAC，所以 为直线PB与平面PAC所成的角，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，所以 .
直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为 .
19. 已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 .（1）求A；
（2）设 的外接圆圆心为O，且 ， （ 为定值）.如图，ABP是以AB为半
径， 为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与 相切，设
.
①当 ， 时，求 ；
②在点D、E的运动过程中， 的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）① ； 值为定值，此定值为 .
的
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知式可得 ，由辅助角公式可
得 ，即可求出A；
（2）①由题意可得 ，由 ，得 ，代入即可求解；
②根据正弦定理、三角形的恒等变换和平面向量的数量积公式，即可求解.
【小问1详解】
根据正弦定理可得： ，
即 ，整理得： ，即 ，
因为 为三角形的内角，所以 ，即 .
【小问2详解】
①由 知， 为AC中点，因为 外接圆圆心为 ，所以 ，
由（1）知， ，由 ，得 ，
当 时，点 与 重合， 切点，且 ， .
为
②在 中， ，
，
故 ，
所以在点D、E的运动过程中， 的值为定值，此定值为 .
