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湖南省长沙市雅礼集团八校联考 2024-2025 学年高一下学期 4 月期中
数学试题
命题人：蒋志华 审题人：莫 俐
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 .若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，用斜二测画法
的
画出 水平放置的梯形 的直观图为四边形 ，则四边形 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则A＝（ ）
.
A B. C. D. 或
5. 已知平面向量 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 共面，且满足 ，则
（ ）.
A B. C. D. 2
6. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 ，上下底面的中心分别为 和
O，若 ，侧面与底面所成锐二面角的正切值为 ，则正四棱台 的体
积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明
清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面 点看楼顶点 的
仰角为 ，沿直线 前进51米达到 点，此时看点 点的仰角为 ，若 ，则该八角观
音塔的高 约为（ ）（ ）
A. 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米
8. 如图，在长方体 中， ， ， ，E､F分别为棱 ､ 的中点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 是三个不同的平面， 是三条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ， ，且 ，则
10. 已知复数 （ 为虚数单位），则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限11. 若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程 ， 有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为 ，则
________．
13. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，
则 的值是______．
14. 在底面为正方形的四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
平面 ，则 __________，四面体 的外接球的表面积为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 、 、 在同一平面内，且 ， .
（1）若 ，且 与 共线，求 的坐标；
（2）若向量 与向量 共线，求 的值，此时 与 同向还是反向？
16. 已知复数 ( ) 的实部与虚部的差为 ．（1）若 ，且 ，求复数 在复平面内对应的点的坐标；
（2）当 取得最小值时，求复数 的实部．
17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，
且满足 ，将 AED， DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
△ △
（1）求证： ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积.
18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB
的中点，点M在 上，且 ．
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）求证： 平面PAC；
的
（3）求直线PB与平面PAC所成 角的正弦值．
19. 已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 .（1）求A；
（2）设 的外接圆圆心为O，且 ， （ 为定值）.如图，ABP是以AB为半
径， 为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与 相切，设
.
①当 ， 时，求 ；
②在点D、E的运动过程中， 的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
