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专题23 三角板转动求角和角平分线结合
1．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF
＝56°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）15；（2）40；（3）112°
【分析】（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根
据平角的定义求解∠BOE即可；
（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据
平角的定义求解∠BOE即可．
【详解】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，
故答案为：15；
（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，
∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，
故答案为：40；
（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．
【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义，角的平分线定义，直角的定义，熟练掌握补角的定
义，角的平分线定义，角的和与差是解题的关键．
2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点
O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将
绕着点O顺时针旋转 ．
(1)如图2，若 ，则 _____________， _____________；
(2)若射线OC是 的角平分线，且 ．
①若 旋转到图3的位置， 的度数为多少？（用含 的代数式表示）
② 在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时 的值．
【答案】(1)64°，180°；
(2)①2 ；②60°或36°
【分析】（1）根据∠BOP=180°-∠AOB-∠AOQ，可分别计算出结果；
（2）①先求∠BOP与∠PON，再利用∠BON=∠BOP+∠PON得出结论；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP左侧时；当OB旋转到OP右侧时解答即可．
(1)
解：MN⊥PQ，
∴∠MOQ=90°，∠AOB=90°，
∵∠AOQ= ，∴∠BOP=180°-∠AOB-∠AOQ=180°-90°-26°=64°，∠AOM=∠MOQ-∠AOQ=90°- ，
∵∠BOQ=∠AOB+∠AOQ=90°+ ，
∴∠AOM+BOQ=90°- +90°+ =180°；
(2)
①∵∠MOP=90°，∠POC= ，
∴∠MOC=90°- ，
∵OC是 的角平分线，
∴∠BOM=2∠MOC=2(90°- )=180°-2 ，
∴∠BOP=90°-∠BOM=2 -90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2 -90°+90°=2 ；
②当OB旋转到OP左侧时，如图：
∵OC是 的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC，
∵∠AOC＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠MOC，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，
∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，
∴ =90°-∠MOC=60°；当OB旋转到OP右侧时，如图：
设∠AOM=x，
∵∠AOC＝2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是 的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴ =90°-∠MOC=36°；
综上 的值为：60°或36°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，分情况讨论是解题关键．
3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直
角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．
（1）∠EOC＝ ；（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求
∠BOD的度数；
（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝
∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°
【分析】（1）根据 和∠BOC的度数可以得到 的度数；
（2）根据OC是 的角平分线， ，可以求得 的度数，由 ，可
得 的度数，从而可得 的度数；
（3）画出符合题意的两种图形，设 ，由 ， ，∠DOC＝
∠AOE可得 的度数，由 ，即可得到 的度数．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： 是 的角平分线，
，
，
；
（3）①若OD在OC下方时，∠DOC＝ ∠AOE，
设∠DOC＝ ，则∠AOE＝3 ，
，
，
，
；
②若OD在OC上方时，∠DOC＝ ∠AOE，设∠DOC＝ ，则∠AOE＝3 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角的计算和旋转的知识以及角平分线的性质和应用，解题的关键是明确题意，
灵活变化，找出所求问题需要的量．
4．已知，如图，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 ．
（1）如图，若 ，求 的度数；
（2）若 ，则 的度数为 ；
（3）由（1）和（2），我们发现 和 之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形 绕点 旋转到如图所示的位置，试问 和 之间的数量关系是否
发生变化？请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）不变.理由见解析.
【分析】（1）根据 ， ，即可求出 ，根据角平分线
的性质得到 ，即可求出 的度数．
（2）根据（1）中的步骤进行求解即可．（3）根据（1），（2）的结果直接进行计算即可．
（4）根据 ，得到 ,根据角平分线的性质得到
，根据
，
即可求解．
【详解】解：（1） ，
．
又 ，
．
平分 ，
．
，
．
（2） ，
．
又 ，
．
平分 ，
．
，
．
故答案为： ．
（3） ．
（4）不变，理由如下：
，
，
，
平分 ，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线的性质及邻补角等知识，熟练掌握直角三角形与角平分线的性质进行计算是解题的关键．
5．如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直
角顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE=α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α=______度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且
∠AOD= ∠AOC，∠α=__度；
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求
出其度数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）30 ；（2） 110；（3）（∠COD+∠α）的度数不变，见解析.
【分析】（1）先根据邻补 角定义和角平分线的定义求出∠BOF的度数，再根据余角的定义即可求
出∠α的度数；
（2）根据∠AOD= ∠AOC易得∠AOD=20°，根据余角的定义可求出∠AOE=70°，再根据补角的
定义即可求出∠α的度数；
（3）根据周角等于360°可得∠COD+∠α=360°-∠DOE-∠BOC，∠DOE与∠BOC的大小不变，可
知（∠COD+∠α）的度数不变且为150°．
【详解】解：（1）∵DO的延长线OF平分∠BOC，∠AOC=60°，
∴∠BOF= ∠BOC= （180°-∠AOC）= （180°-60°）=60°，
又∵∠DOE=90°，
∴∠α=90°-∠BOF=90°-60°=30°．
故答案为30
（2）当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD= ∠AOC时，∠AOD= ，
又∵∠DOE=90°，∴∠AOE=90°-∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠α=180°-∠AOE=180°-70°=110°．
故答案为110
（3）（∠COD+∠α）的度数不变．
理由如下：
∵（∠COD+∠α）+∠DOE+∠BOC=360°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=120°，
∴∠COD+∠α=360°-90°-120°=150°．
∴（∠COD+∠α）的度数不变且为150°．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义以及角平分线的定义，互为余角的两个角的和为90°，
互为补角的两个角的和为180°．
6．如图1，将一块含 角的三角板ABO的一边BO放在直线MN上，AB边在直线MN的上方，
其中 ，另一块含 角的三角板POQ的一边OQ在直线MN上，另一边OP在直线MN的
下方．
现将图1中的三角板POQ绕点O按顺时针方向旋转，当直线MN恰好为 的平分线时，
如图2所示，则 的度数______度；
继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA落在 的内部，
且AO恰好为 的平分线时，求 的度数；
在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O以每秒 的速度匀速旋转，当三角板POQ的OP边或OQ边所在直线平分 ，则求此时三角
板POQ绕点O旋转的时间t的值 请直接写出答案 ．
【答案】（1）75；（2） ；（3）当OP边所在直线平分 时旋转时间为5秒或
17秒，当OQ边所在直线平分 时旋转时间为11秒或23秒．
【分析】(1)根据三角板PQO的特性结合题意可得出∠POM=45°，在平角MON中可求出∠AOP的
度数；
(2)根据角平分线的定义即可得到结论；
(3)此题分两种情况，一种OP边所在直线平分∠AOB，另一种OQ边所在直线平分∠AOB，找出
两种情况下三角板PQO绕点O旋转的度数，即可求出时间t．
【详解】解： 直线MN平分 ， ，
，
又 且 为平角，
，
故 的度数为 ；
故答案为75；
恰好为 的平分线，
，
，
；
根据题意可知，分两种情况，
当OP边所在直线平分 时，三角板PQO绕点O旋转的度数为 或
，
，
时间 秒 或 秒 ；
当OQ边所在直线平分 时，三角板PQO绕点O旋转的度数为 或，
，
时间 秒 或 秒 ．
综合 得当OP边所在直线平分 时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平分
时旋转时间为11秒或23秒．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键．
7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方
向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互
相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD 互补，理由详见解析；（4）∠AOD
角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出
∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．
【详解】解：解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，
若∠AOC=135°，则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD 互补．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC 与∠BOD互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，
CD⊥OB时，∠AOD=45°，
CD⊥AB时，∠AOD=75°，
OC⊥AB时，∠AOD=60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；
故答案为（1）145°，45°；（2）40°．
【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解题的关键是理解重叠的部分实质是两个
角的重叠．
8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边
OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．
(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分
∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在
第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．
（直接写出结果）；
(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角
形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合
条件的旋转角度α．
【答案】(1)∠CON=150°
(2)1.5或19.5；12或30
(3)∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由见解析
(4) 或 或 或
【分析】（1）由OM平分∠BOC得到 ，进而得到 ．
（2）分别分两种情况讨论，画图，求出旋转角度，然后除以旋转速度即可求解．
（3）画图，通过 ， ，可以得到数量关系．
（4）根据其中一个三角形是等腰三角形分4种情况讨论．
(1)
解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
(2)
解：①直线MN恰好与直线OC垂直：
如图，当 旋转到直线OC上方时：∵ ，
∴
∵
∴
∴旋转角度为
∴旋转时间为 （秒）
如图，当 在直线OC下方时：
∵ ，
∴∵
∴
∴旋转角度为
∴时间为 （秒）
故在第19.5或1.5秒时，直线MN恰好与直线OC垂直
②直线ON恰好平分锐角∠AOC
当 旋转到 在直线OA上方时：
∵直线ON恰好平分锐角∠AOC
∴
∵
∴旋转角度为
∴旋转时间为 （秒）
当 旋转到 在直线OA下方时：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC
∴
∵
∴旋转角度为
∴旋转时间为 （秒）
在第12或30秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC
(3)
解：如图， 在 的内部
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
(4)
解：其中一个三角形是等腰三角形
① 在直线 上方：
当 时，
∴
当 时，
∴
∴
② 在直线 下方：当 时，
∴
当 时，
∴
∴
综上所述：其中一个三角形有两个角相等，旋转角度α为 或 或 或
【点睛】本题考查了角度的旋转问题，通过题干条件画出图形找到旋转角度是解题关键．
9．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角
顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分
∠BOC时，求∠BON的度数；
(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分
线；
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)60°(2)见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由 求出 的度数， 取出 的值，
根据 计算求解即可；
（2）对顶角相等可知 ，由 求 的值，进而结论
得证；
（3）由题意知 ， ，则 ，
整理可得 的关系．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
又∵OM平分∠BOC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴∠BON的值为60°．
(2)
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴射线OP是∠AOC的平分线．
(3)
解： ．
理由如下：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．
10．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝
45°．
(1)如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平
分∠ACB时，则∠ACE= ；
(2)在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2
所给的情形说明理由；
(3)如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．写出
∠ACD与∠BCF之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)45°
(2)∠ACE＝∠BCF
(3)∠BCF -∠ACD =45°
【分析】(1) 根据CF平分∠ACB，得到∠BCF=∠ACF=45°，结合∠EDF＝90°，计算即可．
(2) 根据∠ACB＝∠EDF＝90°，得∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，根据互余的性质证明
即可．
(3)根据∠ACF+∠ACD =45°，∠ACF=90°-∠BCF，代入等式消去∠ACF，整理可得证．
(1)
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝∠EDF＝90°，
∴∠BCF=∠ACF=45°，
∴∠ACE=∠EDF-∠ACF=90°-45°=45°，
故答案为：45°．
(2)
∠ACE=∠BCF．理由如下：
∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，
∴∠ACE=∠BCF．
(3)
∠BCF -∠ACD =45°．理由如下：
∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠ACF+∠ACD =45°，∠ACF=90°-∠BCF，
∴∠BCF -∠ACD =45°．
【点睛】本题考查了互余的性质，两个角的和，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分
成相等的两个角，熟练掌握两个角互余的性质是解题的关键．
11．将两块直角三角板的顶点A叠在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，将三角板ADE绕点A
旋转，在旋转过程中，保持∠BAC始终在∠DAE的内部．
(1)如图①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度数．
(2)如图①，∠BAE与∠CAD有什么数量关系，请说明理由．
(3)如图②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，问在旋转过程中，∠MAN的大小是否发生改变？
若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围．
【答案】(1)35°；
(2)∠BAE+∠CAD=120°；
(3)不变，∠MAN=60°，证明见详解．
【分析】（1）根据角的和差计算即可；
（2）利用角的和计算即可；
（3）利用角平分线得出∠BAM= ，∠CAN= ，∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM转
化为 即可．(1)
解：∵∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，∠BAD＝25°，
∴∠CAE=∠DAE-∠BAD-∠BAC=90°-25°-30°=35°；
(2)
解：∠BAE+∠CAD=120°
∵∠BAE+∠BAD=90°，∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+∠BAD，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+30°+∠BAD=30°+90°=120°；
(3)
解：不变，∠MAN=60°
∵AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，
∴∠BAM= ，∠CAN= ，
∴∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM，
=30°+ + ，
= ，
，
，
．
【点睛】本题考查三角板中角度计算，余角性质，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中
角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．
12．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC， ，将一直角三角板（
）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上
方．
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分 ．
①t的值是_________；
②此时ON是否平分 ？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋
转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分 ？请说明理由；
(3)在（2）的基础上，经过多长时间， ？请画图并说明理由．
【答案】(1)①5；②是，理由见解析
(2)5，理由见解析
(3) 秒或 秒，理由见解析
【分析】（1）①由∠AOC的度数，求出∠COM的度数，根据互余可得出∠CON的度数，进而求
出时间t；
②根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可
得出ON平分∠AOC；
（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出
答案；
（3）需要分两种情况，当射线OC在直线AB上方时，在直线下方时两种情况，再根据旋转建立
方程即可．
【小题1】解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，
∴∠AON=∠CON，
解得：t=15°÷3°=5；
故答案为：①5；
②是，理由如下：
由上可知，∠CON=∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC；
【小题2】经过5秒时，OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，射线OC也绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
当OC平分∠MON时，∠CON=∠COM=45°，
∴∠AOC-∠AON=45°，
可得：30°+6t-3t=45°，
解得：t=5；
【小题3】根据题意，有两种情况，当射线OC在直线AB上方时，如图4①，当射线OC在直线直
线AB下方时，如图4②，
则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，
解得t= 或 ，
∴经过 秒或 秒时，∠BOC=10°．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求
出角的度数是解题的关键．
13．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，
∠COD＝60°．
(1)求图1中∠BOD的度数．(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 （即∠AOE
＝ ），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度 的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)75
(2)①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．
【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；
（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；
②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．
(1)
解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°，
故答案为：75；
(2)
解：①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE=α，∠COD=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α，
∴∠AOB= ∠AOD=60°- α=45°，
∴α=30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC=180°-α，
∴∠AOB=90°- α=45°，
∴α=90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC=60°，
∴∠BOC=30°，
∴α=180°-45°-30°=105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α，
∵∠BOC=2∠AOD，∴135°-α=2（120°-α），
∴α=105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α，
∵∠BOC=2∠AOD，
∴135°-α=2（α-120°），
∴α=125°，
综上所述，当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．
【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
14．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC， ,将一直角三角板（∠M＝
30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O
以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后ON与OC重合？
（2）如图2，经过 秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经
过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．
（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．
【答案】（1）10秒；（2）20；（3）20秒，详情见解析；（4） 秒，详情见解析
【分析】（1）直接用 的度数除以运动速度即可得出时间；
（2）利用平行的性质得到 的度数，利用角的等量代换求出 度数即可求解；
（3）运用含 的式子分别表示出 和 ，再根据邻补角的性质建立方程求解即可；（4）利用角的等量代换建立方程求解即可．
【详解】（1）∵
∴ 秒后 与 重合；
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴经过 秒后，
（3）当 与 重合时，如图3所示：
∵ ，
∵三角板在以每秒 转动的同时，射线OC也绕O点以每秒 的速度旋转，设 ,则
∵
∴
解得：
∴经过 秒后 与 重合
（4）当OC平分∠MOB时，如图4所示：
∵ ，∴ ,则
∵
∴
∴
解得：
∴经过 秒后OC平分∠MOB
【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间
的关系求出角的度数是解题的关键．
15．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放
在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求
∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．
（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM=90°，可得
∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．
（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC=65°，
从而得到∠NOB的度数．
【详解】（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，
∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝ ∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，
∴4∠NOC+∠NOC＝25°，
∴∠NOC＝5°，
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
【点睛】本题考余角和补角及旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
16．如图1，已知 ，有一个三角板BDE与 共用一个顶点B，其中 ．
（1）若BD平分 ，求 的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转 度（ ），当 时，求 的度
数．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由角平分线性质解题 ，再由解题即可；
（2）画出示意图，当 时， 与三角板 有重叠角 ，根据角的和差解题即
可．
【详解】（1） 平分 ，
；
（2）当 时，
．
【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键．
17．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝ （用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．
【答案】（1）20°；（2） ；（3）∠ACF＝75°，∠ACE＝120°
【分析】（1）、（2）结合平角的定义和角平分线的定义解答；
（3）∠ACF＝ ∠BCE．结合图2得到：∠BCD＝180°-∠BCE．由角平分线的定义推知∠BCF＝
90°- ∠BCE，再由∠ACF＝∠ACB-∠BCF得到：∠ACF＝ ∠BCE．
【详解】解：（1）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，
∴∠ACD＝180°-90°-40°＝50°，∠BCD＝180°-40°＝140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝ ∠BCD＝70°，
∴∠ACF＝∠DCF-∠ACD＝70°-50°＝20°；
故答案为：20°；
（2）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝ °，
∴∠ACD＝180°-90°- °＝90°- ，∠BCD＝180°- ，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝ ∠BCD＝90°- ，∴∠ACF＝90°- ﹣90°＋ ＝ ；
故答案为： ；
（3）∠ACF＝ ∠BCE．理由如下：
如图2，
∵点C在DE上，
∴∠BCD＝180°-∠BCE＝180°-150°＝30°．
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝ ∠BCD＝ ×30°＝15°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB-∠BCF＝90°-15°＝75°．
∴∠ACE＝360°-∠ACB﹣∠BCE＝360°-90°-150°＝120°．
【点睛】考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．
18．如图，以直线 上一点 为端点作射线 ，使 ，将一个直角三角形的直角顶
点放在点 处(注： )
如图①，若直角三角板 的一边 放在射线 上，则 ．
如图②，将直角三角板 绕点 逆时针方向转动到某个位置，若 恰好平分 ，求
的度数；如图③，将直角三角板 绕点 转动，如果 始终在 的内部，试猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）10°；（2）10°；（3）∠COE－∠BOD＝10°，理由见解析．
【分析】（1）根据 ，即可求出 的度数；
（2）根据角平分线的性质即可求出 的度数；
（3）根据余角的性质即可求出∠COE－∠BOD＝10°．
【详解】（1）∵ ,
∴
∴∠COE＝10°
（2）∵ 恰好平分
∴
∴∠COD＝∠DOE－∠COE＝∠DOE－∠BOC＝10°
（3）猜想：∠COE－∠BOD＝10°
理由：∵∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－∠COD
∠COD＝∠BOC－∠BOD＝80°－∠BOD
∴∠COE＝90°－（80°－∠BOD）
＝10°＋∠BOD
即∠COE－∠BOD＝10°
【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．
