文档内容
专题 21 用频率估计概率(重难题型)
1．一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中黄色16个，白色8个和红色
若干，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则摸到黄球的概
率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，可以计算出摸到黄球和白球
的概率和为1−0.5＝0.5，由此可估计到布袋中的三种球可能共有48个，则利用概率公式即
可得出结论．
【详解】
解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，
∴摸到黄球和白球的概率和为1−0.5＝0.5．
则布袋中的三种球可能共有： 个，
∴摸到黄球的概率约为： ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是掌握频率和概率的关系及概率的计算方
法．
2．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了
如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3
C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜
D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同
【答案】C
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约
为0.33者即为正确答案．
【详解】
解：A、先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为 ，不符合题意；
B、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3的概率为 ，不符合题意；
C、小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜的概率为 ，符合题意；
D、一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同的概率为 ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率=所求情况数与总情况数之比．
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多
次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（
）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】D
【分析】
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的
值，从而得出答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：
=0.25，
解得x=10，
∴袋子中红球的个数最有可能是10个，黄球有40-10=30（个）
故选：D．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400
次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
【答案】C
【分析】
根据题目试验可求出白球所占的频率，设盒子中的白球大约有x个，列出等式求解即可．
【详解】
∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的频率为 =0.6，
设盒子中的白球大约有x个，
则 ，
解得：x=15，
∴盒子中的白球大约有15个，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率
得到相应的等量关系．5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相
同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则
口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
【答案】C
【分析】
首先用1减去摸到红色球和黑色球的频率可以得到摸到白球的频率，再用球的总个数乘以
摸到白球的频率即可得到白色球的可能个数．
【详解】
解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．
故选：C．
【点睛】
本题考查用频率估计概率的应用，熟练掌握所有个体频率的和为1及频率和频数的关系是
解题关键．
6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相
同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中
白色球的个数可能是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】B
【分析】
利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率
为0.3，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，
∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，
∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3，
∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验
次数的增多，值越来越精确．
7．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出
一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的
个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】
设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】
解：设红球有x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x≈6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即红球有6个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验
次数的增多，值越来越精确．
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．13人中必定有两个人是农历同月份出生的是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．通过大量重复实验，可以用频率来估计随机事件的概率
【答案】C
【分析】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及频率估计概率进行判断即可．
【详解】
解：A．“13人中必定有两个人是农历同月份出生的”是必然事件，故本选项不符合题意；
B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故本选项符合题意；
D．通过大量重复实验，可以用频率来估计随机事件的概率，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、抽样调查、众数、中位数以及频率估计概率、，在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
9．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则
符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
【答案】C
【分析】
分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．
【详解】
解：A中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;
B中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;
C中的概率为 ,符合这一结果,故此选项正确;D中的概率为 ,不符合这一结果,故此选项错误.
故选C.
【点睛】
本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键．
10．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品
的件数大约是（ ）
抽取件数
50 100 150 200 500 800 1000
（件）
合格频数 48 98 144 193 489 784 981
A．12 B．24 C．1188 D．1176
【答案】B
【分析】
由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一
件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】
解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02，
出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率=所求情况数与总情况数之比．
11．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英
每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红
球的频率逐渐稳定于0．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
【答案】B
【分析】
设白球个数为 个，白球数量 袋中球的总数=1-04=0.6，求得
【详解】
解：设白球个数为 个，根据题意得，白球数量 袋中球的总数=1-04=0.6，
所以 ，
解得
故选B
【点睛】
本题主要考查了用评率估计概率.
12．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和 个黑球．随机地从袋中摸
出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在
0．2附近，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就
是其发生的概率．
【详解】
解：依题意有： =0.2，
解得：n=8．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 是解题关键．
13．如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（
）A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记
的数字不小于7
【答案】B
【分析】
首先根据折线统计图可得出该事件的概率在30%以上，分别计算各选项概率，即可得出答
案．
【详解】
解：A． 掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2的概率为 ，符合该图；
B． 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，不符合该图；
C． 从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球的概率为 ，符合该
图；
D． 从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标
记的数字不小于7概率为 ，符合该图．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是用频率估计概率，解题的关键是从折线统计图中得出事件的概率值．
14．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
【答案】C
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约
为0.33者即为正确答案．
【详解】
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为 ，故此选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项错误；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为 ，故此选项正确；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为 ；故此选项
错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
15．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计
其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100
次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
【答案】C
【分析】
小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比
为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
【详解】
解：由题可得：3 12（个）．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，
用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
16．育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下
数据：
抽查小
100 500 1000 2000 3000 4000
麦粒数
发芽粒
95 486 968 1940 2907
数
则 的值最有可能是（ ）
A．3680 B．3720 C．3880 D．3960
【答案】C
【分析】
分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从
而得出答案．
【详解】
解：95÷100=0.95，
486÷500=0.972，
968÷1000=0.968，
1940÷2000=0.97，2907÷3000=0.969，
由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们
可估计小麦发芽的概率为0.97，
所以，a=4000×0.97=3880，
所以，a最有可能为3880，
故选：C．
【点睛】
本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解．
17．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示
的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有 个红球和 个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是
“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
【答案】D
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约
为0.16者即为正确答案．
【详解】
解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是 “红色的”的概率是 ＞0.17，故此选
项不符合要求；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝ ＝0.5＞0.17，故此选项
不符合要求；
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是 ≈0.67＞0.17，
故此选项不符合要求；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝ ≈0.17，故此选
项符合要求．
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
18．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一
定是红球
C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军
【答案】B
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】
解：A．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，故不符合题意；
B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球是必然事件，符合题意；
C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖是随机事件，故不符合题意；
D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
19．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小
相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验
后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【分析】
根据题意可得摸到红球的概率为0.2，然后根据概率公式计算即可；
【详解】
由题意可得，摸到红球的概率为0.2，则有，
，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键．
20．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋
子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中
随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：
七
一组 二组 三组 四组 五组 六组 八组 九组 十组
组
摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
摸到白球的次
41 39 40 43 38 39 46 41 42 38
数
请你估计袋子中白球的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，据此根据概率公式可得答案．
【详解】
解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，
∴在袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，
设白球有x个，
则 =0.4，
解得：x=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率及概率公式，熟练掌握频率估计概率的前提是在大量重复
实验的前提下是解题的关键．
21．一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的4个白球，n个黑球，随机地从袋子
中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，记为一次试验. 大量重复试验后，发
现摸出白球的频率稳定于0.4，则n的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就
是其发生的概率．
【详解】
解：依题意有： =0.4，
解得：n=6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 是解题的关键．
22．为了解历下区九年级男生的身高情况，随机抽取了100名九年级男生，他们的身高
统计如下,根据以上结果，抽查一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概
率是（）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【答案】D
【分析】
先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
样本中身高不低于180cm的频率= =0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验
次数的增多，值越来越精确．
23．一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有6
个，黄、白色小球的数量相同，为估计袋中黄色小球的数量，每次将袋中小球搅匀后摸出
一个小球记下颜色放回，再搅匀多次试验发现摸到红色的频率是 ，则估计黄色小球的个
数是（ ）
A．21 B．40 C．42 D．48
【答案】A【分析】
根据多次试验发现摸到红球的频率是 ，则可以得出摸到红球的概率为 ，再利用红色小
球有6个，黄、白色小球的数目相同进而表示出黄球概率，得出答案即可．
【详解】
设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是 ，则得出摸到红球的概率为 ，
∴ ＝ ，
解得：x＝21，
经检验x=21是所列方程的根，则黄色小球的个数是21个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，根据题目中给出频率可知道概率，从而可求出黄色小球的
数目是解题关键．
24．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合
这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】
解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 ＝0.5，故本选项错误；
B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为： ＝ ＝0.5，
故本选项错误；
C、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是 ＝
≈0.33，故本选项正确；
D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ＝0.25，
故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
25．从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条
线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次
的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交
车用时的
30≤t≤35 35≤t≤40 40≤t≤45 45≤t≤50 合计
频数/公交
车用时
甲 59 151 166 124 500
乙 50 50 122 278 500
丙 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能
性最大．（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定【答案】C
【分析】
通过比较频率分析可能性大小.
【详解】
∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为 ＝0.752，
乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为 ＝0.444，
丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为 ＝0.954，
∵0.954＞0.752＞0.444，
∴应选择线路丙；
故选C．
【点睛】
考核知识点：利用频率估计概率.
26．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
【答案】0.84
【分析】
观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．
【详解】
解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题．
27．盒子中有若干个白球，为了估计白球的个数，在盒子中又放入5个黑球摇匀，从中摸
出一球记下颜色后放回，重复摸球200次，其中摸到黑球的次数为50次，盒中原有白球约______个．
【答案】15
【分析】
可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个
数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【详解】
解：设盒中原有白球约有x个，根据题意得： ，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
答：盒中原有白球约有15个．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
28．有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n） “出现点数为1”的次数（频数m） 频率
300 52 0.173
400 65 0.163
500 80 0.160
600 99 0.165
700 114 0.163
800 136 0.170
900 151 0.168
1000 166 0.166根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为__________（精确到0.001）
【答案】0.166
【分析】
利用概率=出现的结果数÷数据总数，代入数据进行求解即可得到答案．
【详解】
解：由题目表格知
数据总数=300+400+500+600+700+800+900+1000=5200
出现点数为“1”次数=52+65+80+99+114+136+151+166=863
∴“出现点数为1”的概率=出现点数为“1”次数÷数据总数=863÷5200≈0.166
故答案为：0.166．
【点睛】
本题主要考查了频数与频率之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
29．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向
上”的次 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
数
“正面向
上”的频 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
率
则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）
【答案】0.35
【分析】
随着实验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，据
此进行判断即可．
【详解】
随着实验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，据
此进行判断抛掷该纪念币正面朝上的概率约为0.35．
故答案为：0.35．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义．
30．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相
同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ，由此可估计袋中约有红球_____________个．
【答案】3
【分析】
先根据摸到红球的频率稳定于 ，可估计摸到红球的概率约为 ，再设袋中红球个数为
，根据概率公式列出关于 的方程，解之得出答案．
【详解】
解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于
∴可估计摸到红球的概率约为
设袋中红球个数为 ，
依据概率公式得：
解得
所以可估计袋中约有3个红球
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计
算公式是解题的关键．
31．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完
全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过
大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【分析】
（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程
可得答案；（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再
利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有 个，依题意得
解得， ．
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红） （红 ，白）
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红） （红 ，白）
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，白）
白 （白，红 ） （白，红 ） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红 ，白）、（红 ，白）、（红 ，白）、（白，红 ）、（白，红 ）、（白，红 ）
共6种．∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率 ．
【点睛】
本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，
掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌
握列表与画树状图的方法是解题的关键．
32．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t
（单位： ）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、
销售量与最高气温的关系得到下表：
最高气温t
天数 每天销售量（瓶）
（单位： ）
15 240
30 300
45 500
（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率；
（2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；
（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市
今年六月份经营这种乳制品的总利润．
【答案】（1）这种乳制品一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.5；（2）六月份
一天需求量的平均数为390瓶；（3）估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润是
23400元
【分析】
（1）求得最高气温低于25℃的频率后利用频率估计概率即可求得答案；
（2）用平均数公式计算即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】
解：（1）这种乳制品一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于 ，由表格数据知，最高气温低于 的频率为 ，
所以这种乳制品一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.5；
（2）六月份一天需求量的平均数 （瓶）
答：六月份一天需求量的平均数为390瓶；
（3） （元）
答：估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润是23400元
【点睛】
本题考查了用频率估计概率以及统计的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生
的频率可以估计概率，难度不大．
33．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习
小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直
接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个
球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个
白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）
【分析】
（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；
（2）画树状图求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得 ，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球） ．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画
树状图是解题的关键．
34．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在
学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位
同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制
了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小
时的概率．
【答案】（1）50；（2）补全的条形统计图见解析；（3）32，57.6；（4）估计这名学生
寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率为0.56．
【分析】
（1）根据样本容量=某项的人数÷该项所占百分比计算；
（2）先根据人数=所占百分比×样本容量计算，进而可补全统计图；
（3）根据扇形统计图的意义逐一计算即可；
（4）根据频率估计概率的思想计算
【详解】
（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如下图所示；（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°× ＝57.6°，
故答案为：32，57.6；
（4） ＝0.56，
若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概
率为0.56．
【点睛】
本题考查了条形统计图，扇形统计图，频率估计概率，熟练掌握统计图的意义，活用频率
估计概率是解题的关键．
35．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置
了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球
除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个
景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免
费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1） ；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】
（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；（2）设纸箱中白球的数量为 个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，
再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 ；
（2）设纸箱中白球的数量为 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为 ，
则 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
36．一个不透明的袋子中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小
明采用如下的方法估算其中白球的数量．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它
放回袋子中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜……小明重复上述过程，共摸了200次，
其中有120次摸到白球，请回答：
（1）估计袋子中的白球有多少个？
（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，如果彩球池里共有6000
个球，那么需准备多少个红球？
【答案】（1）18个；（2）2400个
【分析】
（1）设白球有 个，用白球的个数:（白球的个数+红球的个数）=120:200，列方程求解；
（2）用彩球的总数乘以 ，即可得到红球的个数.
【详解】
解：（1）设白球有 个，根据题意，得 ，
解得 ，
经检验符合题意，
答：估计袋子中的白球有18个；
（2） （个）．
答：需准备2400个红球．
【点睛】
本题主要考查了用样本估计总体，其本质是利用概率相等来解决问题，如口袋中有12个红
球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，随机摸出一个，摸出白球的概率与重
复200次摸到120次白球的概率相同，从而列方程求解.
37．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率
是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有 二正、一正一反、二反 三种情
况，所以 （一正一反) ”小颖反驳道：“这里的 一正一反 实际上含有 一正一反，
一反一正 这两种情况，所以 （一正一反） ”
（1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得
到“一正一反”的概率是多少吗？
（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？【答案】（1）小颖；（2）0.50；0.47； ；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验
得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概
率．
【分析】
（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．
（2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．
（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
【详解】
解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说
法是正确的；
故答案为：小颖；
（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50，
小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47，
据此，我得到“一正一反”的概率是 ；
（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发
生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求
情况数与总情况数之比．
38．摩尔斯电码（又译为摩斯密码）是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来
表达不同的英文字母、数字和标点符号．它的表现形式可以是编码，可以是敲击声音，也
可以是灯光，其中，灯光是以光亮时间来表示长短信号，若短光对应的是字母S，长光对
应的是字母O，请回答下列问题：
（1）若随机发射一组这样的长光或短光，信号对应为字母“S”的概率是___________．
（2）S．O．S是国际摩尔斯电码救难信号，它的光线发射方法为：短光——长光—短光，
若随机发射三次这样的长光或短光，请你求出救难信号发送成功的概率．
【答案】（1） ；（2） ．【分析】
（1）随机发射一组这样的长光或短光，短光出现的机会占 ；
（2）画树状图找出所有可能出现的情况，从中找出符合条件SOS的可能情况，利用概率公
式计算即可．
【详解】
解：（1）∵随机发射一组这样的长光或短光，短光对应的是字母S，长光对应的是字母
O，
短光信号对应为字母“S”的是两种情况中的一种，
信号对应为字母“S”的概率P= ；
（2）随机发射三次这样的长光或短光，有8种搭配的情形，其中SOS只有1种，
随机发射三次这样的长光或短光，短光—长光—短光，救难信号发送成功的概率P= ．
【点睛】
本题考查实验概率，掌握一组信号由两种信号组成，用频率表示概率，画树状图，找出所
有可能情况，从中找出满足条件的情形，利用概率公式计算是解题关键．
39．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然
数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若
指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结
果；
（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：
转盘总次数 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频数 7 10 16 30 46 59 81 110 150
“和为7”出现的频率 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试
估计出现“和为7”的概率；
（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）0.33；（3）x=1，y=6．
【分析】
（1）由于是两步操作，适合用列表法或树状图法；
（2）用“和为7”的频率估计概率；
（3）根据“和为7”的概率估算出表中和为7的数字的个数，再推出x、y的值．
【详解】
解：（1）列表为：
（2）由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故出现“和为7”的概率为0.33．
（3）“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况，“和为7”的情况有9×0.33≈3种，由于
2、5；3、4；之和为7，所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组“和为7”即可．又由于0＜x＜y，所以
①x+5=7，x=2，y=3，6，7，8，9 …
②x+4=7，x=3，y=6，7，8，9…
③x+y=7，x=1，y=6；
④2+y=7，y=5，x=4，1；
⑤3+y=7，y=4，x=1．
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立，故x=1，y=6．
【点睛】
本题考查了列表法、利用频率估计概率等知识，掌握列表法、频率与概率的关系及用频率
估计出事件的个数是解题的关键．
40．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸
球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是
活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
摸到白球的频率
0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），
求两次摸到的球颜色相同的概率．
【答案】（1）0.5；（2）2个；（3） ．
【分析】
（1）由表的第三行从左往右看，摸到白球的频率越来越接近0.5，所以答案是0.5；
（2）由（1）得到的频率可以估算出概率，再用概率乘以球的总个数可以得到白球的个数；
（3）用列表法把所有结果列举出来，再用两个球颜色相同的结果数目除以总的结果数目即
可得到答案．
【详解】
解：（1）由题可得：当n很大时，摸到白球的频率接近0.5．故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；
（3）列表得：
第二次
第一次 白1 白2 黑1 黑2
白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2）
白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2）
黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2）
黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2）
由列表可得：共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能，
∴P（颜色相同）= = ．
【点睛】
本题考查概率的综合应用，熟练掌握用频率估计概率的方法、用列表法计算概率的方法及
概率的应用是解题关键．
41．一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习
小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得数据如下：
摸球的次数
摸到白球的
频数
摸到白球的
频率
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到
），由此估出红球有______个．（2）现从该袋中摸出 个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好
摸到 个白球， 个红球的概率．
【答案】（1）0.33，2；（2） ．
【分析】
（1）通过表格中的数据，可以发现摸到白球的频率越稳定在0.33左右即可解答；再利用
频率估计概率，最后利用概率的计算公式即可计算红球的个数；
（2）先根据题意画出树状图，然后由树状图确定所有等可能的结果和摸到一个白球一个红
球的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由x个，由题意得：
，解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为： ；
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率、运用树状图法求概率以及概率公式的应用，估算出摸
到白球的概率成为解答本题的关键．42．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸
球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是
活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白种颜色的球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色相同
的概率是多少？
【答案】（1）0.6；（2）3；（3）图见解析， ．
【分析】
（1）根据图表所给的频率估计概率即可；
（2）根据（1）得到摸到白球的概率，然后利用概率公式计算白球的个数即可；
（3）先利用树状图确定所有可能的结果数和两只球颜色不同所占结果数，最后根据概率公
式求解即可．
【详解】
解：（1）根据图表所给的频率可估计摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）由（1）可得摸到白球的概率为0.6，则口袋中白种颜色的球的个数为5×0.6=3；
（3）画树状图为：
则共有20种摸法，摸到两只颜色相同的有8种，
则摸到两只球颜色相同的概率为 ．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率、运用概率公式计算以及运用列表法与树状图法求概率，灵
活运用相关知识成为解答本题的关键．
