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专题 21 用频率估计概率(重难题型)
1．一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中黄色16个，白色8个和红色
若干，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则摸到黄球的概
率约为（ ）
A． B． C． D．
2．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了
如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3
C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜
D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多
次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（
）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400
次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相
同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则
口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．66．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相
同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中
白色球的个数可能是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
7．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出
一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的
个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．13人中必定有两个人是农历同月份出生的是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．通过大量重复实验，可以用频率来估计随机事件的概率
9．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则
符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
10．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品
的件数大约是（ ）
抽取件数
50 100 150 200 500 800 1000
（件）
合格频数 48 98 144 193 489 784 981
A．12 B．24 C．1188 D．1176
11．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红
球的频率逐渐稳定于0．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
12．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和 个黑球．随机地从袋中摸
出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在
0．2附近，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
13．如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（
）
A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记
的数字不小于7
14．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并
绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
15．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口
袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100
次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
16．育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下
数据：
抽查小
100 500 1000 2000 3000 4000
麦粒数
发芽粒
95 486 968 1940 2907
数
则 的值最有可能是（ ）
A．3680 B．3720 C．3880 D．3960
17．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示
的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有 个红球和 个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是
“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
18．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一
定是红球
C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖D．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军
19．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验
后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
20．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋
子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中
随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：
七
一组 二组 三组 四组 五组 六组 八组 九组 十组
组
摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
摸到白球的次
41 39 40 43 38 39 46 41 42 38
数
请你估计袋子中白球的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的4个白球，n个黑球，随机地从袋子
中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，记为一次试验. 大量重复试验后，发
现摸出白球的频率稳定于0.4，则n的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
22．为了解历下区九年级男生的身高情况，随机抽取了100名九年级男生，他们的身高
统计如下,根据以上结果，抽查一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概
率是（）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
23．一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有6
个，黄、白色小球的数量相同，为估计袋中黄色小球的数量，每次将袋中小球搅匀后摸出
一个小球记下颜色放回，再搅匀多次试验发现摸到红色的频率是 ，则估计黄色小球的个
数是（ ）A．21 B．40 C．42 D．48
24．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合
这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
25．从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条
线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次
的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交
车用时的
30≤t≤35 35≤t≤40 40≤t≤45 45≤t≤50 合计
频数/公交
车用时
甲 59 151 166 124 500
乙 50 50 122 278 500
丙 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能
性最大．（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
26．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
27．盒子中有若干个白球，为了估计白球的个数，在盒子中又放入5个黑球摇匀，从中摸
出一球记下颜色后放回，重复摸球200次，其中摸到黑球的次数为50次，盒中原有白球约
______个．
28．有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n） “出现点数为1”的次数（频数m） 频率
300 52 0.173
400 65 0.163
500 80 0.160
600 99 0.165
700 114 0.163
800 136 0.170
900 151 0.168
1000 166 0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为__________（精确到0.001）
29．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向
上”的次 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
数
“正面向
上”的频 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
率
则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）
30．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相
同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ，由此可估计袋中约有红球_____________个．
31．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完
全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过
大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
32．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t
（单位： ）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、
销售量与最高气温的关系得到下表：
最高气温t
天数 每天销售量（瓶）
（单位： ）
15 240
30 30045 500
（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率；
（2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；
（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市
今年六月份经营这种乳制品的总利润．
33．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习
小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直
接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个
球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
34．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在
学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位
同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜
10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制
了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小
时的概率．
35．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置
了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球
除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个
景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免
费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
36．一个不透明的袋子中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小
明采用如下的方法估算其中白球的数量．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回袋子中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜……小明重复上述过程，共摸了200次，
其中有120次摸到白球，请回答：
（1）估计袋子中的白球有多少个？
（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，如果彩球池里共有6000
个球，那么需准备多少个红球？
37．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率
是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有 二正、一正一反、二反 三种情
况，所以 （一正一反) ”小颖反驳道：“这里的 一正一反 实际上含有 一正一反，
一反一正 这两种情况，所以 （一正一反） ”
（1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得
到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
38．摩尔斯电码（又译为摩斯密码）是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来
表达不同的英文字母、数字和标点符号．它的表现形式可以是编码，可以是敲击声音，也
可以是灯光，其中，灯光是以光亮时间来表示长短信号，若短光对应的是字母S，长光对
应的是字母O，请回答下列问题：
（1）若随机发射一组这样的长光或短光，信号对应为字母“S”的概率是___________．
（2）S．O．S是国际摩尔斯电码救难信号，它的光线发射方法为：短光——长光—短光，
若随机发射三次这样的长光或短光，请你求出救难信号发送成功的概率．
39．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然
数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若
指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）
（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结
果；
（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：
转盘总次数 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频数 7 10 16 30 46 59 81 110 150
“和为7”出现的频率 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试
估计出现“和为7”的概率；
（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．40．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸
球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是
活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
摸到白球的频率
0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），
求两次摸到的球颜色相同的概率．
41．一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习
小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得数据如下：摸球的次数
摸到白球的
频数
摸到白球的
频率
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到
），由此估出红球有______个．
（2）现从该袋中摸出 个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好
摸到 个白球， 个红球的概率．
42．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸
球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是
活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白种颜色的球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色相同
的概率是多少？
