专题21期末满分突破压轴题精选1（解析版）-重难点突破2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 21 期末满分突破——八年级上压轴题精选 1 一．选择题（共10小题） 1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角 形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2的方式放置在最大正方形内．若知道 图中阴影部分的面积，则一定能求出 A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 【解答】解：设直角三角形的斜边长为 ，较长直角边为 ，较短直角边为 ， 由勾股定理得， ， 阴影部分的面积 ， 较小两个正方形重叠部分的宽 ，长 ， 则较小两个正方形重叠部分底面积 ， 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选： ． 2．已知，如图， 为线段 上一动点（不与 ， 重合），在 同侧分别作等边三角形 和等边 三角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ， ，以下四个结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④ 平分 ．其中正确的结论是 A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④ 【解答】解： 和 均是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 又 ， 是等边三角形，故②正确； 过 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ，， ， 平分 ，故④正确； 当 时， 平分 ， 则 ，此时 ， 则 ，故③不正确； 故选： ． 3．如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与正比例函数 交于点 ， 已知点 的横坐标为2，下列结论：①关于 的方程 的解为 ；②对于直线 ，当 时， ；③对于直线 ，当 时， ；④方程组 的解为 ，其中正 确的是 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解： 点 的横坐标为2， 当 时， ， ，把 代入 得， ， ， 当 时， ，当 时， ， ， ， ①关于 的方程 的解为 ，正确； ②对于直线 ，当 时， ，正确； ③对于直线 ，当 时， ，故③错误； ④ ， 方程组 的解为 ，正确； 故选： ． 4．如图①，在正方形 中，点 沿边 从点 开始向点 以 的速度移动，同时点 沿边 ， 从点 开始向点 以 的速度移动，当点 移动到点 时， 、 同时停止移动．设点 出发 秒时， 的面积为 ， 与 的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有 ①当点 移动到点 时，点 移动到点 ②正方形边长为 ③当 时， 面积达到最大值 ④线段 所在的直线对应的函数关系式为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：① 点 沿边 从点 开始向点 以 的速度移动， 同时点 沿边 ， 从点 开始向点 以 的速度移动， 当点 移动到点 时， 、 同时停止移动． 当点 移动到点 时，点 移动到点 ． 所以①正确； ②根据函数图象可知： 当 时， 面积达到最大值为9， 设正方形的边长为 ， ，则 ， ， ，解得 ， 即当 时， ， 解得 舍去） 所以正方形的边长为 ， 所以②正确； ③当 时， 面积达到最大值， 所以③错误；④ 当 时， ，当 ，时， ， 代入 中， 解得 ， ， 所以线段 所在的直线对应的函数关系式为 ． 所以④正确． 所以正确的结论有3个． 故选： ． 5．如图，已知 中， ， 是 的平分线， 是 的外角平分线， 交 于点 ，下列结论： ① ；② ；③ ；④ ． 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：连接 ， ， 是 的平分线， ，故①正确；， ， 平分 ， ， ， ， ，故②正确； ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 在 中， ，故④正确； ， ， 错误（已知没有条件 ，故③错误； 即正确的个数是3个， 故选： ． 6．如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 为 的中点，点 为边 上的动点，当点 在 上移动时，使四边形 周长最小的点 的坐标为A． B． ， C． ， D． 【解答】解： 在 中， ， ， ， ， ，点 为 的中点， ， ， ， ， 作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ， 则此时，四边形 周长最小， ， 直线 的解析式为 ， 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 解 得， ， ， ，故选： ． 7．如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点， ， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当 的值最小时，则 点的坐标为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意 ， ， ， ， 取点 ，连接 ， ， ． ， ， ， ， ，， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 的最小值为线段 的长， 当 ， ， 共线时， 的值最小， 直线 的解析式为： ， ， 当 的值最小时，则 点的坐标为 ， 故选： ． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ， ， ， ， 且 ， ，那么四边形 周长的最小值为A． B． C． D． 【解答】解：如图，作 ，使得 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直 线 于 ，取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小． 由题意， ， ， ， ， ， ， 四边形 的周长的最小值 ， 故选： ． 9．如图，在长方形 中， ， ，点 是 边上一点，且 ，点 是边 上一 动点，连接 ， ，则下列结论：① ；②当 时， 平分 ；③ 周长的最小 值为15；④当 时， 平分 ．其中正确的个数有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解： ， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 平分 ，故②正确； 如图1，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ， 则此时， 周长最小，且 周长的最小值 ； ， ， ， 周长的最小值为 ，故③错误； 如图2，过 作 于 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ，故④正确； 故选： ．10．如图，已知正方形 的边长为4， 是边 延长线上一点， 为 边上一点， ，连接 并延长交线段 于点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④当 时， ． 其中正确的个数有 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：① 四边形 是正方形， ， ， 在 和 中， ，， ，故①正确； ② ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 当且仅当 时， ，故②错误； ③ ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④当 时， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， 作 于点 ，如图， ， ， ，故④错误． 所以其中正确有①③，2个． 故选： ． 二．填空题（共11小题） 11．如图，圆柱形玻璃杯高为 、底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 1 5 ． 【解答】解：沿过 的圆柱的高剪开，得出矩形 ， 过 作 于 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，则 就是蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离， ， ， ，， ， 在 △ 中，由勾股定理得： ， 故答案为：15． 12．如图，正方形 的边长为4， 为 中点， 为 边上一点，且 ，连 ， 交 于 ，则 ． 【解答】解：如图，延长 ， 交于点 ，连接 ，设 与 交于点 ， 为 中点， ，在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，， 故答案为： ． 13．如图，已知点 为 内一点， 平分 ， ， ．若 ， ， 则 的长为 ． 【解答】解：如图，延长 交 于 ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ．故答案为： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， 在 轴上，点 ， ， ， 在直线 上， ，点 ， ，且 ， ， 均与 平行， ， ， 均与 平行，则有下列结论：①直线 的函数解析式为 ；②点 的纵坐标是 ；③点 的纵坐标为 ．其中正确的是 ①②③ （填序号）． 【解答】解：设 的解析式为 ， ， 直线 为 ， ， ，即 ， ， ，解得 ， 的解析式为 ，故①正确； 点 ， ， ， 在直线 上，，解得 ， 直线 为： ， 解 得 ， 纵坐标为 ， 的坐标为 ， ， 同理求得 的解析式为 ， 解 得 ， 纵坐标为 ，故②正确； 纵坐标为 ， 纵坐标为 ， 以此类推，点 的纵坐标为 ．故③正确， 故答案为①②③． 15．如图，放置的 ，△ ，△ ， 都是边长为2的等边三角形，边 在 轴上，点 、 、 都在直线 上，则点 的坐标为 ， ． 【解答】解： 边长为2的等边三角形，， 直线 ， ， ， 轴， ， ， 同理可求： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ， 故答案为 ， ． 16．如图，直线 上有点 ， ， ， ，且 ， ， ， ，分 别过点 ， ， ， 作直线 的垂线，交 轴于点 ， ， ， ，依次连接 ， ， ， ，得到△ ，△ ，△ ， ，△ ，则△ 的面积为 ．【解答】解： 直线 的解析式 ， ． ， ， ， ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ． ， ． 故答案为： ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 是直线 上一点，且 ， 则点 的坐标为 ．【解答】解：将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， ， ， ， 取 的中点 ， 直线 与直线 的交点即为点 ． 设直线 的解析式为 ， 把 和 的坐标代入得： ， 解得： ， ， 则直线 的解析式是 ，由 ，解得： ， 点 坐标为 ， 故答案为： ． 18．如图， 是腰长为2的等腰直角 斜边上一点，且 ， 为 上任意一点， 于 点 ， 于点 ，则 的值是 ． 【解答】解：如图，连接 ，过点 作 于 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： ． 19．如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ，连接 ， ，且 ，连接 ，则 的长为 ． 【解答】解：如图，以 为边向下作正方形 ，连接 ． ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 20．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的 ， 两处同时出发，都以不变的速度 相向而行，图1是甲离开 处后行走的路程 （单位： 与行走时间 （单位： 的函数图象，图2是 甲、乙两人之间的距离 （单位： 与甲行走时间 （单位： 的函数图象，则 ． 【解答】解：从图1，可见甲的速度为 ， 从图2可以看出，当 时，二人相遇，即： ，解得：乙的速度 ， 乙的速度快，从图2看出乙用了 分钟走完全程，甲用了 分钟走完全程， ， 故答案为 ． 21．如图，已知 ， 、 的交点为 ，现作如下操作： 第一次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ，第二次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ， 第三次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ， ， 第 次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ． 若 度，那 等于 度． 【解答】解：如图①，过 作 ， ， ， ， ， ， ； 如图②， 和 的平分线交点为 ， ． 和 的平分线交点为 ， ； 如图②， 和 的平分线，交点为 ， ； 以此类推， ．当 度时， 等于 度． 故答案为： ． 三．解答题（共15小题） 22．如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 、 分别平分 和 ，分别交射线 于点 ， ． （1） 的度数是 ， 的度数是 ； （2）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的 关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点 运动到使 时， 的度数是多少？ 【解答】解：（1） ， ， ， ； 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， 故答案为： ， ；（2）不变， ， ， ， ， 平分 ， ， ； （3） ， ， 当 时， 则有 ， ， 由（1） ， ， ， ， 故答案为： ． 23．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒． （1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，可制作横式、竖式两种纸盒各多 少个？ （2）若有正方形纸板30张，长方形纸板 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，其中竖式纸盒做了 个，请用含 的代数式表示 ． （3）在（2）的条件下，当 不超过65张时，最多能做多少个竖式纸盒？ 【解答】解：（1）设可以制作横式纸盒 个，竖式纸盒 个， 依题意，得： ，解得： ． 答：可以制作横式纸盒60个，竖式纸盒30个． （2） 竖式纸盒做了 个，且正方形纸板共用了30张， 横式纸盒做了 个， ， ． （3） ， 随 的增大而增大， 当 时， 取得最大值，最大值 ． 答：当 不超过65张时，最多能做8个竖式纸盒． 24．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，并与直线 相交于点 ，若 ． （1）求点 的坐标； （2）求出四边形 的面积； （3）若 为 轴上一点，且 为等腰三角形，求点 的坐标． 【解答】解：（1）把 代入 得 ，解得 ， ，， ， 点坐标为 ， 把 代入 得 ，解得 ， ， 解方程组 得 ， 点坐标为 ， ； （2）当 时， ， 点坐标为 ， 四边形 的面积 ； （3） ， ， ， 当 时， 点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ， ； 当 时， 点的坐标为 ， 当 时， 点的坐标为 ， 综上所述，点 的坐标为 ， 、 ， 、 、 ．25．（1）如图1，则 、 、 、 之间的数量关系为 ． （2）如图2， 、 分别平分 、 ．若 ， ，求 的度数； （3）如图3， 、 分别平分 、 ， 反向延长线交 于点 ，请猜想 、 、 之间的数量关系．并说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为 ； （2） 、 分别平分 、 ， ， ， 由（1）可得： ， ， ， 即 ， ， ， ； （3） ． 理由： 、 分别平分 、 ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 26．如图， 中， ， ， ，若动点 从点 开始，按 的 路径运动，且速度为每秒 ，设出发的时间为 秒． （1）出发2秒后，求 的周长． （2）当 为几秒时， 平分 ？ （3）问 为何值时， 为等腰三角形？ Q （4）另有一点 ，从点 开始，按 的路径运动，且速度为每秒 ，若 、 两点同时 出发，当P、 Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线 PQ 把ABC 的周长分成 相等的两部分？ 【解答】解：（1）如图1，由C 90，AB10cm，BC 6cm， AC 8cm， 动点P从点C开始，按C ABC的路径运动，且速度为每秒1cm， 出发2秒后，则CP2cm，AP6cm，  C 90， 由勾股定理得PB PC2 BC2 2 10cm， ABP的周长为： APPB AB(162 10)cm ． （2）如图2所示，过点P作PD AB于点D，  PB平分ABC， PDPC ．PDPC  在RtBPD与RtBPC中，PBPB ， RtBPDRtBPC(HL) ， BDBC 6cm， AD1064cm． 设PC xcm，则 PA(8x)cm 在RtAPD中，PD2  AD2 PA2， x2 42 (8x)2 即 ， 解得：x3， 当t 3秒时，BP平分ABC； （3）①如图3，若P在边AC 上时，BC CP6cm， 此时用的时间为6s，BCP为等腰三角形 ②若P在AB边上时，有三种情况： i) 如图4，若使BPCB6cm，此时AP4cm，P运动的路程为4812cm， 所以用的时间为12s时，BCP为等腰三角形； ii) 如图5，若CPBC 6cm， 过C作CD AB于点D，根据面积法得：高CD4.8cm， 在RtPCD中，PD3.6cm，BP2PD7.2cm， P运动的路程为187.210.8cm， 用的时间为10.8s时，BCP为等腰三角形； ⅲ ) 如图6，若BPCP，则PCBB，  ACPBCP90，BA90， ACPA， PAPC PAPB5cm P的路程为13cm，所以时间为13s时，BCP为等腰三角形．综上所述，当t为6s或12s或10.8s或13s时，BCP为等腰三角形； （3）分两种情况： Q ①当P、 没相遇前：如图7， P点走过的路程为tcm， Q 走过的路程为2tcm， 直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分， t2t 12， t 4s； Q ②当P、 相遇后：如图8， 当P点在AB上， Q 在AC 上，则APt8， AQ2t16 ， 直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分， t82t1612， t 12s， 当t为4秒或12秒时，直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分．27．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴， y 轴作垂线段，若垂线段的长度的 和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的 P(1,3) 是“垂距点”． 3 5 B(  ) （1）在点 A(2,2) ， 2， 2 ， C(1,5) ，是“垂距点”的为 A和B ； 3 1 D( m m) （2）若 2 ，2 为“垂距点”，求m的值； （3）若过点 (2,3) 的一次函数 ykxb(k 0) 的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 ．【解答】解：（1）根据题意，对于点A而言， |2||2|4 ， A是“垂距点”， 3 5 | || |4 对于点B而言， 2 2 ， B是“垂距点”， 对于点C而言， |1||5|64 ， 所以C不是“垂距点”， 故答案为A和B． 3 1 | m|| m|4 （2）根据题意得 2 2 ①当m0时，则2m4， 解得m2， ②当m0时，则2m4， 解得m2， 故m的值为2． （3）如图，取 E(0,4) ， F(4,0) ， G(4,0) ．连接EF ，EG ，在EF 上取一点 P，作PM OE于M ， PN OF 于N．则有四边形PMON 是矩形，可得PN OM ，  OE OF ， OEF 45 PM EM ， PM PN OM EM 4， 线段 EF 或线段 EG 上的点是“垂距点”，当直线 ykxb 与线段 EF 或线段 EG 有交点时，直线 ykxb 上存在“垂距点”， ykxb A(2,3) 直线 ，经过 ， 32kb， b32k， 直线 ykx32k ， 1 k  当直线经过 E(0,4) 时， 2， 3 k  当直线经过 F(4,0) 时， 2， 3 1 k  k  观察图象可知满足条件的k的值为 2 或 2且k 0． 3 1 k  k  故答案为： 2 或 2且k 0． 28．如图，在平面直角坐标系中， A(0,4) 、 B(6,0) 为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C作 DC x轴，垂足为D，点E为 y 轴负半轴上一点，连接CE 交x轴于点F ，且CF FE． （1）直接写出E点的坐标；（2）过点B作BG//CE ，交 y 轴于点G ，交直线CD于点H ，求四边形ECBG的面积； （3）直线CD上是否存在点 Q 使得 ABQ45 ，若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） CD x轴， CDF 90EOF ， 又 CFDEFO，CF EF ， CDF EOF(AAS) ， CDOE ， A(0,4) B(6,0) 又 ， ， OA4，OB6， 点C为AB的中点， CD//y 轴， 1 CD OA2 2 ， OE 2， E(0,2) ； （2）设直线CE 的解析式为 ykxb ，  C 为AB的中点， A(0,4) ， B(6,0) ， C(3,2) ，3kb2  b2 ，  4 k   3 解得  b2 ， 4 y x2 直线CE 的解析式为 3 ，  BG//CE， 4 y xm 设直线BG 的解析式为 3 ， 4 6m0  3 ， m8， G点的坐标为 (0,8) ， AG12， S S S 四边形ECBG ABG ACE 1 1  AGOB AEOD 2 2 1 1  126 63 2 2 27． （3）直线CD上存在点 Q 使得 ABQ45 ，分两种情况： 如图1，当点 Q 在x轴的上方时， ABQ45 ，过点A作AM  AB，交 BQ 于点M ，过点M 作 MH  y 轴于点H ， 则ABM 为等腰直角三角形， AM  AB，  HAM OABOABABO90， HAM ABO，  AHM AOB90， AMH BAO(AAS) ， MH  AO4，AH BO6， OH  AH OA6410， M(4,10) ， B(0,6)  ， 直线BM 的解析式为 y5x30 ， C(3,2) CD//y  ， 轴， C 点的横坐标为3， y533015 ，Q(3,15) ． 如图2，当点 Q 在x轴下方时， ABQ45 ， 过点A作AN  AB，交 BQ 于点N，过点N作 NG y 轴于点G ， 同理可得ANGBAO， NG AO4，AGOB6， N(4,2) ， 1 6 y x 直线BN 的解析式为 5 5， 3 Q(3, ) 5 ． 3 (3, ) 综上所述，点 Q 的坐标为 (3,15) 或 5 ． 29．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形 为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．●特例感知 ) ①等腰直角三角形 是 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ； ②如图1，已知ABC 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD2AD2，试求 线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知ABC 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CACB，CD是AB边上的高．试探究线段 AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰ABC 为勾股高三角形，其中 AB AC BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行 线与AC 边交于点E．若CE a，试求线段DE 的长度． 【解答】解：●特例感知： ①等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为是． ②如图1中，根据勾股定理可得：CB2 CD2 4，CA2 CD2 1， CD2 (CD2 4)(CD2 1)3 于是 ， CD 3． ●深入探究： 如图2中，由CA2 CB2 CD2 可得：CA2 CD2 CB2 ，而CA2 CD2  AD2 ， AD2 CB2 ， 即ADCB； ●推广应用： 过点A向ED引垂线，垂足为G ，  “勾股高三角形” ABC 为等腰三角形，且AB AC BC， 只能是AC2 BC2 CD2 ，由上问可知ADBC①．又ED//BC，1B②． 而AGDCDB90③， AGDCDB(AAS) ， DGBD． 易知ADE与ABC 均为等腰三角形， 根据三线合一原理可知ED2DG2BD． 又AB AC，AD AE ， BDEC a， ED2a． 4 AB:y x4 30．直线 3 分别与x轴、 y 轴交于 A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，将BOC 沿BC折叠，使点O落在BA上的点M 处（如图 1) ． （1）求点A、B两点的坐标； （2）求线段BC的长； （3）点P为x轴上的动点，当PBA45时，求点P的坐标．4 y x4 【解答】解：（1）  3 分别与x轴、 y 轴交于A、B两点， 当x0时， y4 ，当 y0 时，x3， 点 A(3,0) ，点 B(0,4) ； （2）连接MC， A(3,0) B(0,4) 点 ，点 ， OA3，BO4， AB OA2 OB2  916 5， 将BOC 沿BC折叠， MC CO，BOC BMC 90， 1 1 1 S  AOBO ABMC COBO  ABO 2 2 2 ， 4 CO 3， 16 4 BC  BO2 CO2  16  10 9 3 ； （3）如图2，当点P在点A右侧时，过点A作AE  AB，交直线BP于E，过点E作EH x轴于H ， PBA45，AE  AB，EH  AH ， ABEAEB，BAE 90AOBAHE， AB AE，BAOABO90BAOEAH ， EAH ABO， ABOEAH(AAS) ， AOHE 3，BO AH 4， E(1,3) 点 ， 设直线BE 解析式为 ykxb ， b4  3kb ，  k 7  解得：b4 ， y7x4 直线BE 的解析式为 ， 4 x 当 y0 时， 7 ， 4 P( 点 7， 0) ； 1 y x4 如图2，当点P在点A左侧时，同理可求直线BF 的解析式为 7 ， 当 y0 时，x28，P(28,0) 点 ， 4 ( 综上所述：点P坐标为 7， 0) 或 (28,0) ． 31．将等腰RtABC在平面直角坐标系中如图所示放置，其中顶点 B的坐标是 (0,1) ，顶点C的坐标是 (2,1) ，A90，直线 l:ykxb 经过点 D(1,1) 且绕点D转动． （1）若直线l与ABC 的一边平行，请求出此时直线l的函数解析式（求出其中一种情况即可）； （2）若直线l与ABC 有公共点，求k的取值范围； 1 （3）若直线l经过点C，此时直线l上是否存在一点P，使得PAB的面积等于2 ？如果存在，求出此时 点P坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）过A作AE BC于E，如图： 等腰RtABC，AE BC， BE CE，ABE是等腰直角三角形，  B的坐标是 (0,1) ，C的坐标是 (2,1) ， BC//x轴，BC 2， BE  AE 1，A(1,2) ， 2kb  设直线AB解析式为 ykxb ，则1b ， k 1  解得b1 ， 直线AB解析式为 yx1 ， 当直线l//AB时，设直线l解析式为 yxc ，则11c， 解得c0， 直线l解析式为 y x ； （2）如图： 1mn  设直线DC解析式为 ymxn ，则12mn ，  2 m   3  1 n 解得  3， 2 1 y x 直线DC解析式为 3 3， 1st  设直线BD解析式为 ysxt ，则1t ， s2  解得t 1 ，直线BD解析式为 y2x1 ， 直线 l:ykxb 与ABC 有公共点， 2 剟k 2 由图可得3 ； （3）如图： B(0,1) A(2,1)  ， ， 1 1 1 S  OBx  11 ABO 2 A 2 2 ， 过O作 AB平行线，由（1）知直线 AB解析式为 yx1 ，故所作平行线解析式为 y x ，当P在直线 1 S  y x 上时， PAB 2， 2 1 DC:y x 而P又在直线 3 3上， yx   2 1 x1 y x  由   3 3得y1 ， 此时 P 1 (1,1) ， 1 S  根据对称性，若E在 y 轴上，且OBBE，则过 E(0,2) 作直线EF //AB，当P在直线EF 上时， PAB 2， y x2 此时直线EF 为 ，yx2   2 1 x7 y x  由   3 3得y5 ， P(7,5) 2 ， 综上所述，P坐标为 (1,1) 或 (7,5) ． 32．如图，已知直线 y x4 分别与x轴， y 轴交于A，B两点，直线 OG:ykx(k 0) 交AB于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F 是射线OG上一点，当OG AE，且OF  AE时， 求EF 的长； 4 k  （3）如图 2，若 3，过 B点作 BC//OG，交 x轴于点 C，此时在 x轴上是否存在点 M ，使 ABM CBO45，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）直线 y x4 分别与x轴， y 轴交于A，B两点， 令 y0 ，则x40， x4， 令x0，则 y4 ， A(4,0) B(0,4) ， ； A(4,0) B(0,4) （2） ， ， OAOB4， 点E是线段OB的中点，OE 2， 过F 作 FB y 轴于B， AOEOBF 90，  OG AE， OAEAOF BOGAOF 90， OAEBOF，  OF  AE， AOE △ OBF(AAS) ， FBOE 2，OBOA4，  OB4， 点B与点B重合， EF  BE2 BF2  22 22 2 2； 4 k   （3）存在， 3， 4 OG:y x(k 0) 直线 3 ，  BC//OG， 4 y x4 设直线BC的解析式为 3 ， 4  x40 当 y0 时，即 3 ， x3， C(3,0) ， 如图，当点M 在点A的左侧，  ABO45，ABM CBO45， MBOCBO，  COBNOB90，OBOB， BCOBMO(ASA) ， OM OC 3，M(3,0) ； 当点M 在点A的右侧时，  OABAMBABM45，ABMCBO45， AMBOBC，  CBOOMB， COBOBM90， 设OMa， BM 42 a2 ， 1 1 S  OBCM BCBM  CBM 2 2 ， 4(3a) 32 42  42 a2 ， 16 a 解得： 3 ， 16 M( 3 ， 0) ， 16 ( 综上所述，点M 的坐标为： (3,0) ， 3 ， 0) ．33．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限， 点B在x轴的正半轴上．OAB90且OA AB，OB6，OC 5．点P是线段OB上的一个动点（点 P不与点O，B重合），过点P的直线l与 y 轴平行，直线l交边OA或边AB于点 Q ，交边OC 或边BC 于点R．设点P的横坐标为t，线段 QR 的长度为m．已知t 4时，直线l恰好过点C． （1）求点A和点B的坐标； （2）当0t3时，求m关于t的函数关系式； （3）当m3.5时，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）如图：过点A作AM OB于M ，  OAB90，OA AB，OB6，AM OB， 1 AM OM MB OB3 2 ， (3,3) (6,0) 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）作CN x轴于N，如图，  t 4时，直线l恰好过点C， ON 4， 在RtOCN中，CN  OC2 ON2  52 42 3， C 点坐标为 (4,3) ， 设直线OC 的解析式为 ykx ， 3 k  把 C(4,3) 代入得4k 3，解得 4， 3 y x 直线OC 的解析式为 4 ， 设直线OA的解析式为 yax ， 把 A(3,3) 代入得3a3，解得a1， 直线OA的解析式为 y x ， P(t 0)(0t3)  ， ， 3 R(t, t) Q(t,t) ， 4 ， 3 7 QRt( t) t 4 4 ， 7 m t(0t3) 即 4 ； （3）设直线AB的解析式为 y pxq ，3pq3 p1   把 A(3,3) ， B(6,0) 代入得：6pq0 ，解得q6 ， 直线AB的解析式为 yx6 ， 3 y x9 同理可得直线BC的解析式为 2 ， 7 m t 当0t3时， 4 ， 7 3.5 t 若m3.5，则 4 ， 解得t 2， (2,0) 此时P点坐标为 ； 3 R(t, t) 当 3�t4 时， Q(t,t6) ， 4 ， 3 1 mt6( t) t6  4 4 ， 1 3.5 t6 若m3.5，则 4 ， 解得t 10（不合题意舍去）； 3 R(t, t9) 当 4�t6 时， Q(t,t6) ， 2 ， 3 5 mt6( t9) t15  2 2 ， 5 3.5 t15 若m3.5，则 2 ， 23 23 t  ( 解得 5 ，此时P点坐标为 5 ， 0) ； 23 ( 综上所述，满足条件的P点坐标为 (2,0) 或 5 ， 0) ． 34．如图，直线 yx4 交x轴和 y 轴于点A和点C，点 B(0,2) 在 y 轴上，连接AB，点P为直线AB上 一动点． 1 y x2 （1）直线AB的解析式为 2 ；（2）若 S APC S AOC，求点P的坐标； （3）当BCPBAO时，求直线CP的解析式及CP的长． 【解答】解：（1）直线 yx4 交x轴和 y 轴于点A和点C， 点 A(4,0) ，点 C(0,4) ， 设直线AB的解析式为 ykxb ， b2  由题意可得：04kb ，  1 k   2 解得：  b2 ， 1 y x2 直线AB的解析式为 2 ， 1 y x2 故答案为： 2 ； A(4,0) C(0,4) B(0,2) （2）点 ，点 ，点 ， OAOC 4，OB2， BC 6， 1 P(m, m2) 设点 2 ， 当点P在线段AB上时， S S  APC AOC，1 S S  44 ABC PBC 2 ， 1 1 64 6(m)8  2 2 ， 4 m 3 ， 4 4 P( ) 点 3 ，3 ； 当点P在BA的延长线上时， S S  APC AOC， 1 S S  44 PBC ABC 2 ， 1 1 6(m) 648  2 2 ， 20 m 3 ， 20 4 P(  ) 点 3 ， 3 ， 4 4 20 4 ( ) (  ) 综上所述：点P坐标为 3，3 或 3 ， 3 ； （3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H ， 在AOB和COH 中， AOBCOH  AOCO  BAOPCB ， AOBCOH(ASA) ，OH OB2， 点H 坐标为 (2,0) ， 设直线PC解析式 yaxc ， c4  由题意可得02ac ， a2  解得：c4 ， 直线PC解析式为 y2x4 ， y2x4   1 y x2  联立方程组得： 2 ，  12 x   5  4 y 解得：  5 ， 12 4 P( ) 点 5 ，5 ， 12 4 12 5 CP ( 0)2 ( 4)2  5 5 5 ， 当点P在AB延长线上时，设CP与x轴交于点H， 同理可求直线PC 解析式为 y2x4 ， x4  联立方程组y4 ， P(4,4) 点 ， CP (40)2 (44)2 4 5 ， 12 5 综上所述：CP的解析式为： y2x4 或 y2x4 ；CP的长为 5 或4 5． 4 y x4 35．如图（1），在平面直角坐标系中，直线 3 交坐标轴于 A、B两点，过点 C(4,0) 作CD交 AB D y E COE BOAAB于D，交 y 轴于点E．且COE BOA． （1）求B点坐标为 (0,4) ；线段OA的长为 ； （2）确定直线CD解析式，求出点D坐标； （3）如图2，点M 是线段CE 上一动点（不与点C、E重合），ON OM 交AB于点N，连接MN ． ①点M 移动过程中，线段OM 与ON 数量关系是否不变，并证明； ②当OMN 面积最小时，求点M 的坐标和OMN 面积． 4 y x4 【解答】解：（1）直线 3 交坐标轴于A、B两点， 当 y0 时，x3，当x0时， y4 ， (3,0) (0,4) 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， OA3； (0,4) 故答案为： ，3； （2）过点 C(4,0) 作CD交AB于D，交 y 轴于点E．且COE BOA， OC 4，OC OB，OE OA， A(3,0) 点 ， OA3， OE 3， (0,3) 点E的坐标为 ，C(4,0) E(0,3) ykxb 设过点 ，点 的直线解析式为 ，  3 k  4kb0  4  b3 ，得  b3 ， 3 y x3 直线CE 的解析式为 4 ， 3 y x3 即直线CD的解析式为 4 ，  3  12 y x3 x    4  25   4 84 y x4 y 由  3 ，得  25， 12 84 ( ) 即点D的坐标为 25，25 ； （3）①线段OM 与ON 数量关系是OM ON 保持不变， 证明： COE BOA， OE OA，OEM OAN ，  BOA90，ON OM ， MON BOA90， MOEEON EON NOA， MOE NOA， 在MOE和NOA中， MOENOA  OE OA  OEM OAN ， MOE NOA(ASA) ， OM ON ， 即线段OM 与ON 数量关系是OM ON 保持不变； ②由①知OM ON ，  OM ON ， OM ON OM2  OMN 面积是： 2 2 ， 当OM 取得最小值时，OMN 面积取得最小值， OC 4，OE 3，COE 90， CE 5， 当OM CE时，OM 取得最小值， OM CE OCOE   2 2 ， OM 5 43   2 2 ， 12 OM  解得， 5 ， 12 ( )2 5 72  OMN 面积取得最小值是： 2 25 ， 3 (a, a3) 当OMN 取得最小值时，设此时点M 的坐标为 4 ， 3 12 a2 ( a3)2 ( )2  4 5 ， 36 a 解得， 25， 3 48 a3  4 25 ， 36 48 ( ) 点M 的坐标为 25 ，25 ， 36 48 72 ( ) 由上可得，当OMN 面积最小时，点M 的坐标是 25 ，25 和OMN 面积是25 36．如图，在等边ABC 中，AB AC BC 10厘米，DC 4厘米．如果点M 以3厘米/秒的速度运动． （1）如果点M 在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发， 若点N的运动速度与点M 的运动速度相等． ①经过2秒后，BMN和CDM 是否全等？请说明理由． ②当两点的运动时间为多少时，BMN是一个直角三角形？ （2）若点N的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N从点B出发，点M 以原来的运动速度从点C同 时出发，都顺时针沿ABC 三边运动，经过25秒点M 与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 3.8 或 2.6 厘米/秒．（直接写出答案）【解答】解：（1）①BMN CDM ．理由如下：（1分）  V N V M 3 厘米/秒，且t 2秒， CM 236(cm) BN 236(cm) BM BCCM 1064(cm) BN CM（1分） CD4(cm)  BM CD（1分）  BC 60， BMN CDM ． (SAS) （1分） ②设运动时间为t秒，BMN是直角三角形有两种情况： Ⅰ．当NMB90时，  B60， BNM 90B906030． BN 2BM ，（1分） 3t 2(103t) 20 t  9 （秒 ) ；（1分） Ⅱ．当BNM 90时，  B60， BMN 90B906030． BM 2BN ，（1分）． 103t 23t 10 t  9 （秒 ) ．（1分）20 10 t  t  当 9 秒或 9 秒时，BMN是直角三角形； （2）分两种情况讨论： I ．若点M 运动速度快，则 3251025V N，解得 V N 2.6 ； Ⅱ．若点N运动速度快，则 25V N 20325 ，解得 V N 3.8 ． 故答案是 3.8或2.6．（2分）