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专题26 含绝对值的一元一次方程
1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对
值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解： ．解：当
时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为 ，解得
．所以原方程的解是 或 ．请你依据上面的方法求解方程： ，则得到
的解为 ．
2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识
可以解含有绝对值的方程，如：解方程 ．
解：当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）；
当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）．
方程 的解为 或 ．
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ．
3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程： ．
解：分类讨论：当 时，原方程可化为 ，它的解是 ．
当 时，原方程可化为 ，它的标是 ．
原方程的解为 或 ．
（1）依例题的解法，方程 的解是 ．（2）在尝试解绝对值方程 时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把
绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
（3）在尝试解绝对值方程 时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，
在前面的学习中我们知道， 表示数 ， 在数轴上对应的两点 、 之间的距离，则
表示数 与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解
是 ；
（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于 的方程 ；（如果用数
形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．
4．【我阅读】
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为： ，解得 ；
当 时，原方程可化为： ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
【我会解】
解方程： ．
5． 现场学习
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如： ， ， ， 都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程 不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由 ，可得 或 ．
例 解方程： ．
我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得 或 ．解这两个一元一次方程，得 或 ；
经检验可知，原方程的解是 或 ．
解决问题
解方程： ．
解：根据绝对值的意义，得
或 ，
解这两个一元一次方程，得 或 ，
经检验可知，原方程的解是 ．
学以致用
解方程： ．
6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程 ．
解：当 时，方程可化为： ，符合题意．
当 时，方程可化为： ，符合题意．
所以原方程的解为： 或 ．
仿照上面解法，解方程： ．
7．阅读下题和解题过程：化简 ，使结果不含绝对值．
解：①当 时，即 时，
原式 ；
②当 ，即 时，
原式
这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：
（1） ；
（2） ．
8．阅读下列问题：
例．解方程 ．
解：当 ，即 时， ，
；
当 ，即 时， ，
．
方程 的解为 或 ．
请你参照例题的解法，求方程 的解．
9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习
数轴的时候，数轴上任意两点 表示的数为 ， 表示的数为 ，则 、 两点的距离可用式子
表示．例如：5和 的距离可用 或 来表示．
【知识应用】我们解方程 时，可用把 看作一个点 到5的距离，则该方程可看作
在数轴上找一点 表示的数为 与5的距离为2，所以该方程的解为 或 ．所以，方程
的解为 ．（直接写答案，不需过程）【知识拓展】我们在解方程 时，可以设 表示数5， 表示数 ， 表示数 ，
该方程可以看作在数轴上找一点 使得 ，因为 ，所以由图可知， 在线段
上都可，所以该方程有无数解， 的取值范围是 ．类似的，方程 的解
（填“唯一”或“不唯一” ， 的取值是 ． “唯一”填 的值，“不唯一”填 的取值
范围）；
【拓展应用】解方程 ．
10．先阅读下列解题过程，然后回答问题．
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
原方程的解是 或 ．
根据上面的解题过程，解方程： ．
11．阅读下面的解题过程：解方程： ．
解：（1）当 时，原方程可化为一元一次方程 ，解得 ；
（2）当 时，原方程可化为一元一次方程 ，解得 ．
请同学们仿照上面例题的解法，解方程 ．
12．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程
解：①当 时， ， ，
所以 ，
所以原方程可化为
解得
②当 时， ， ，
所以 ，
所以原方程可化为
所以此时原方程无解
③当 时， ， ，
所以 ，
所以原方程可化为
解得
（2）用上面的解题方法解方程：
．
13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：
解：①当 时，原方程可化为一元一次方程为 ，它的解是 ②当 时，原方程可
化为一元一次方程为 ，它的解是 ．
（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：
（2）探究：当 为何值时，方程 ①无解；②只有一个解；③有两个解．
14．先阅读，后解题：
符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ．
若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别解方程可得 或 ，利用上面的知识，解方程： ．
15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如 ， ，
， ，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方
程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由 ，可得 或 ．
例 解方程： ．
解析：我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得 或 ．
解这两个一元一次方程，得 或 ．
检验：
（1）当 时，原方程的左边 ，右边 ，因为左边 右边，所以 是
原方程的解．
（2）当 时，原方程的左边 ．右边 ，因为左边 右边，所以
是原方程的解．
综合（1）（2）可知，原方程的解是 或 ．
【解决问题】解方程： ．
16．阅读所给材料，解决问题：
分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程 时，我们需要讨论
的正负性，当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为
，即 ，解得 ，所以原绝对值方程的解为 ，或 ．
（1）求解方程 ；
（2）若关于 的方程 只有1个解，求方程的解及 的值．
17．阅读理解：在解形如 这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分 和 两
种情况讨论：
当 时，原方程可化为 ，解得： ，符合 ．
当 时，原方程可化为 ，解得： ，符合 ．
原方程的解为： 或 ．
解题回顾：
本题中，2为 的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了 和 两部分，所以分
和 两种情况讨论．
尝试应用：
（1）仿照上面方法解方程： ．
迁移拓展：
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程： ．
（提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？
