专题26含绝对值的一元一次方程（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题26 含绝对值的一元一次方程 1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对 值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解： ．解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为 ，解得 ．所以原方程的解是 或 ．请你依据上面的方法求解方程： ，则得到 的解为 或 ． 【解答】解： ， 或 ， 解得 或 ， 故答案为： 或 ． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识 可以解含有绝对值的方程，如：解方程 ． 解：当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）； 当 时， ，方程化为 ，解得 （符合题意）． 方程 的解为 或 ． （1）方程 的解为 ； （2）方程 的解为 ． 【解答】解：（1）当 时，即 时， 方程化为 ， 解得 ， 因为 ，所以 不合题意； 当 时，即 时， 方程化为 ， 解得 ， 因为 ， 所以 符合题意； 所以方程的解为 ． （2）当 时，原方程化为： ， 解得 ， 因为 ， 所以 不符合题意； 当 时，原方程化为： ， 解得 ， 因为 ， 所以 符合题意； 当 时，原方程化为： ， 解得 ， 因为 ， 所以 不符合题意； 故方程的解为 ． 3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．例如解绝对值方程： ． 解：分类讨论：当 时，原方程可化为 ，它的解是 ． 当 时，原方程可化为 ，它的标是 ． 原方程的解为 或 ． （1）依例题的解法，方程 的解是 或 ． （2）在尝试解绝对值方程 时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把 绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程； （3）在尝试解绝对值方程 时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程， 在前面的学习中我们知道， 表示数 ， 在数轴上对应的两点 、 之间的距离，则 表示数 与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解 是 ； （4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于 的方程 ；（如果用数 形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）． 【解答】解：（1）当 时，原方程可化为 ，它的解是 ， 当 时，原方程可化为 ，它的解是 ， 原方程的解为 或 ， 故答案为： 或 ； （2）当 时，原方程可化为 ，它的解是 ， 当 时，原方程可化为 ，它的解是 ， 原方程的解为 或 ， 故答案为： 或 ； （3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或 ，方程的解是 或 ， 故答案为： 或 ； （4）当 时， ，解得 ； 当 时， ，可得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时，方程有无数解；当 时，方程无解；当 时， 或 ． 4．【我阅读】 解方程： ． 解：当 时，原方程可化为： ，解得 ； 当 时，原方程可化为： ，解得 ． 所以原方程的解是 或 ． 【我会解】 解方程： ． 【解答】解：当 时，原方程可化为： ， 解得 ； 当 时，原方程可化为： ， 解得 ． 所以原方程的解是 或 ． 5． 现场学习 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如： ， ， ， 都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程 不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由 ，可得 或 ． 例 解方程： ． 我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得 或 ． 解这两个一元一次方程，得 或 ； 经检验可知，原方程的解是 或 ． 解决问题 解方程： ． 解：根据绝对值的意义，得 或 ， 解这两个一元一次方程，得 或 ， 经检验可知，原方程的解是 ． 学以致用 解方程： ． 【解答】解： 解决问题 ， 根据绝对值的意义，得 或 ， 或 ， 解这两个一元一次方程，得 或 ， 经检验可知，原方程的解是 ； 故答案为： ， ， ， ， ； 学以致用 ， 根据绝对值的意义，得 或 ， 解这两个一元一次方程，得 或 ， 经检验可知，原方程的解是 或 ． 6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程 ． 解：当 时，方程可化为： ，符合题意． 当 时，方程可化为： ，符合题意． 所以原方程的解为： 或 ． 仿照上面解法，解方程： ． 【解答】解：当 时， ， 解得 ； 当 时， ， 解得 ； 原方程的解为： 或 ． 7．阅读下题和解题过程：化简 ，使结果不含绝对值． 解：①当 时，即 时， 原式 ； ②当 ，即 时， 原式 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解下列方程： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1）①当 时， 即 ， ， 解得： ； ②当 ，即 ， ， 解得： ； 方程 的解为 或 ； （2）①当 时， 即 ， ， 解得： ； ②当 ， 即 ， ， 解得： ； 方程 的解为 或 ． 8．阅读下列问题： 例．解方程 ． 解：当 ，即 时， ， ； 当 ，即 时， ， ． 方程 的解为 或 ． 请你参照例题的解法，求方程 的解． 【解答】解：当 时，即 ， ， ；当 时，即 ， ， ； 方程 的解为 或 ． 9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习 数轴的时候，数轴上任意两点 表示的数为 ， 表示的数为 ，则 、 两点的距离可用式子 表示．例如：5和 的距离可用 或 来表示． 【知识应用】我们解方程 时，可用把 看作一个点 到5的距离，则该方程可看作 在数轴上找一点 表示的数为 与5的距离为2，所以该方程的解为 或 ．所以，方程 的解为 或 ．（直接写答案，不需过程） 【知识拓展】我们在解方程 时，可以设 表示数5， 表示数 ， 表示数 ， 该方程可以看作在数轴上找一点 使得 ，因为 ，所以由图可知， 在线段 上都可，所以该方程有无数解， 的取值范围是 ．类似的，方程 的解 （填“唯一”或“不唯一” ， 的取值是 ． “唯一”填 的值，“不唯一”填 的取值 范围）； 【拓展应用】解方程 ．【解答】解：【知识应用】 ， 可以看成是数轴上点 所表示的数 与 的距离， 或 ， 解得： 或 ， 故答案为： 或 ； 【知识拓展】设 表示数 ， 表示数6， 表示数 ， 方程 可以看作在数轴上找一点 使得 ， 点 必在线段 上， 该方程的解不唯一， 的取值范围是 ， 故答案为：不唯一， ， 【拓展应用】 ， 设 表示数 ， 表示数6， 表示数 ， ①当点 位于线段 上时， （不合题意，舍去）， ②当点 位于 点左侧时， ， 解得： ， ③当点 位于 点右侧时， ， 解得： ， 综上， 或 ． 10．先阅读下列解题过程，然后回答问题． 解方程： ． 解：当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 原方程的解是 或 ．根据上面的解题过程，解方程： ． 【解答】解：当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 所以原方程的解是 或 ． 11．阅读下面的解题过程：解方程： ． 解：（1）当 时，原方程可化为一元一次方程 ，解得 ； （2）当 时，原方程可化为一元一次方程 ，解得 ． 请同学们仿照上面例题的解法，解方程 ． 【解答】解：（1）当 时， 原方程可化为一元一次方程 ， 解得 ； （2）当 时， 原方程可化为一元一次方程 ， 解得 ． 12．（1）阅读下列材料并填空． 例：解方程 解：①当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为 （ 1 ） 解得 ②当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为所以此时原方程无解 ③当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为 解得 （2）用上面的解题方法解方程： ． 【解答】解：（1）①当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为： 解得： ②当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为 所以此时原方程无解 ③当 时， ， ， 所以 ， 所以原方程可化为 解得 故答案为： ， ， ， ， ，0 （2）令 ， 时， 或 ． 当 时， ， ， ， ， （不符合题意，所以无解）当 时， ， ， （不符合题意，所以无解） 当 时， ， ， ． 综上所述， 的解为： ． 13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程： 解：①当 时，原方程可化为一元一次方程为 ，它的解是 ②当 时，原方程可 化为一元一次方程为 ，它的解是 ． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程： （2）探究：当 为何值时，方程 ①无解；②只有一个解；③有两个解． 【解答】（1）解：当 时， 原方程可化为一元一次方程为 ， 方程的解是 ； ②当 时， 原方程可化为一元一次方程为 ， 方程的解是 ； 所以方程的解是 或 ； （2）解： ， 当 ，即 时，方程无解；当 ，即 时，方程只有一个解； 当 ，即 时，方程有两个解． 14．先阅读，后解题： 符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ． 若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别 解方程可得 或 ，利用上面的知识，解方程： ． 【解答】解：移项得， ， 根据绝对值的意义，得 或 ， 解得 或 ． 15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如 ， ， ， ，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方 程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由 ，可得 或 ． 例 解方程： ． 解析：我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得 或 ． 解这两个一元一次方程，得 或 ． 检验： （1）当 时，原方程的左边 ，右边 ，因为左边 右边，所以 是 原方程的解． （2）当 时，原方程的左边 ．右边 ，因为左边 右边，所以 是原方程的解． 综合（1）（2）可知，原方程的解是 或 ． 【解决问题】解方程： ．【解答】解： ， ， 或 ， 解得 或 ， 检验：当 时，原方程的左边 ，右边 右边，因为左边 右边，所 以 不是原方程的解， （2）当 时，原方程的左边 ．右边 ，因为左边 右边，所以 是原方程的解， 原方程的解是 ． 16．阅读所给材料，解决问题： 分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程 时，我们需要讨论 的正负性，当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为 ，即 ，解得 ，所以原绝对值方程的解为 ，或 ． （1）求解方程 ； （2）若关于 的方程 只有1个解，求方程的解及 的值． 【解答】解：（1） ， 当 时 原方程可化为 ； 解得 ， 当 时，原方程可化为程 ； 解得 ，原方程的解为 或 ； （2） ， 当 时，原方程可化为 ， 解得 ， 当 时，原方程可化为 ， 解得 ， 方程只有一个解， 当 时， ，则 ，此时方程无解； 当 时， ，则 ，此时方程有一个解， ，方程的解为 ． 17．阅读理解： 在解形如 这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分 和 两 种情况讨论： 当 时，原方程可化为 ，解得： ，符合 ． 当 时，原方程可化为 ，解得： ，符合 ． 原方程的解为： 或 ． 解题回顾： 本题中，2为 的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了 和 两部分，所以分 和 两种情况讨论． 尝试应用： （1）仿照上面方法解方程： ． 迁移拓展： （2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程： ． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 【解答】解：（1）分两种情况： 当 时，原方程可化为： ，解得： ，符合 ，当 时，原方程可化为： ，解得： ，符合 ， 原方程的解为： 或 ； （2）分三种情况讨论： 当 时，原方程可化为： ，解得： ，符合 ， 当 时，原方程可化为： ，解得： ，符合 ， 当 时，原方程可化为： ，解得： ，不符合 ， 原方程的解为： 或 ．