专题23期末满分突破——八年级上常考压轴题精选3（解析版）-重难点突破2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 23 期末满分突破·八年级上常考压轴题精选 3 1．（2020秋•金牛区期末）如图，长方形 中， ， ，点 是 上一点， ，点 是 上一动点，连接 ，将 沿 折叠，使点 落在 ，连接 ，则 的最小值是 ． 【解答】解：如图，连接 ． 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ． 2．（2020秋•武侯区期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为 轴上一动点， 以 为边在直线 的右侧作等边三角形 ．若点 为 的中点，连接 ，则 的长的最小值为． 【解答】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作 于 ， 点 的坐标为 ， ， 点 为 的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 当 有最小值时， 有最小值，即 轴时， 有最小值， 的最小值为 ， 的最小值为 ， 故答案为 ． 3．（2020秋•武侯区期末）在 中， ，点 在边 上，连接 ，将 沿直线 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，若 ， ，则 的长是 ． 【解答】解：如图，过点 作 于 ， 于 ， 将 沿直线 翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： ． 4．（2020秋•青羊区校级期末）如图 1，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，将 沿着直线 翻折得到△ ．当 时， ．如图2，连接 ，当 时， 此时△ 的面积为 ． 【解答】解：如图1，当 时， 由折叠知 ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ． 如图2，当 时，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，四边形 为矩形， ， ， ， 设 ，则 ，设 ，则 ， 在 中， ， ①， 在 中， ， ②， 由①②可得， ， 把 代入①得， ， 解得， ， ， ． 故答案为： ； ． 5．（2020秋•锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 坐标为 ，点 为 轴上的动 点，以 为边作等边三角形 ，当 最小时点 的坐标为 ， 或 ， ．【解答】解：当点 在原点左侧时，如图，以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ，过点 作 于 ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 当 取最小值时， 有最小值， 当 时， 有最小值为 ， ， ， ， ， ， △ ，， ， ， ， ， 点 ， ， 当点 在原点右侧，同理可求点 ， ， 故答案为 ， 或 ， ． 6．（2020秋•成华区期末）如图，点 ，直线 与 轴交于点 ，以 为边作等边 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，以 为边作等边△ ，过点 作 轴，交 直线 于点 ，以 为边作等边△ ，则点 的坐标是 ， ． 【解答】解： 直线 与 轴交于点 ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 把 代入 ，求得 ， ， ， ， ， ，即 ， ， 把 代入 ，求得 ， ， ， ， ， ，即 ， ， 故答案为： ， ． 7．（2020秋•成都期末）如图，在 中， ， ， 为 上一点，连接 ， 过点 作 ，取 ，连接 交 于 ．当 为等腰三角形时， 2 或 6 ． 【解答】解：如图1中，过点 作 于 ．， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 ， ， ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， 如图2中，当 时，点 与 重合，此时 ．综上所述，满足条件的 的长度为2或6． 故答案为：2或6． 8．（2020秋•成都期末）在平面直角坐标系 中，我们把点 ， ， ， 顺次连接起 来，得到一个长方形区域， 为该区域（含边界）内一点．若将点 到长方形相邻两边的距离之和的最小 值记为 ，则称 为“ 距点”．例如：点 称为“4距点”．当 时，横、纵坐标都是整数的点 的个数为 1 0 个． 【解答】解：满足条件的点如图所示，共有10个． 故答案为10．9．（2020秋•新都区期末）如图，已知 中， ， ， 于点 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处，延长 与 的延长线交于点 ．求 的长为 ． 【解答】解： ， ， ， 将 沿 翻折，使点 落在点 处， ， ， ， ， ， 和 是等腰直角三角形 ， ， ， 故答案为： ． 10．（2020秋•金牛区期末）已知： 为正数，直线 与直线 及 轴围成的 三角形的面积为 ，则 ， 的值为 ． 【解答】解：当 时，有 ，解得： ， 直线 与 轴的交点坐标为 ， ； 当 时，有 ， 解得： ， 直线 与 轴的交点坐标为 ， ． 联立两直线解析式成方程组， ， 解得： ， 两直线的交点坐标为 ． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ， ．11．（2020秋•成华区期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ， ， 的 顶点 在 的斜边 上， 交 于点 ，若 ， ，则 的面积为 ． 【解答】解：如图，连接 ，作 于 ， 于 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ，平分 ， 于 ， 于 ， ， ， ， 故答案为： ． 12．（2020秋•青羊区校级期末）在长方形 中， ， ， ，延长 至点 ，连 接 ， 平分 ，则 ． 【解答】解：如图，延长 ， 交于点 ，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ， 四边形 是矩形，且 ， ， ， ， ， ， 平分 ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ， 和 是等腰三角形腰上的高， ， ， ， ， 中， ， 设 ，则 ， 中， ， 解得： ， ． 故答案为： ． 13．（2020秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 图象上，过 点作 轴平 行线，交直线 于点 ，以线段 为边在右侧作正方形 ， 所在的直线交 的图象 于点 ，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映 的 规 律 ， 则 点 的 坐 标 是 ， ； 第 2020 个 正 方 形 的 边 长 是 ． 【解答】解：由题意， ， ， ， 第一个正方形的边长为2， ， ， ， ， 第二个正方形的边长为6， ， ， ， ， 第三个正方形的边长为18，， ， ， 可得 ， ， ， ， 第2020个正方形的边长为 ． 故答案为： ， ， ． 14．（2020秋•成都期末）如图，已知 ， 为 上一点， 于 ，四边形 为 正方形， 为射线 上一动点，连接 ，将 绕点 顺时针方向旋转 得 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ． 【解答】解法 1：如图所示，将 绕着点 顺时针旋转 得 ，作直线 交 于 ，则 ， ， 将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， ， 点 在直线 上，即点 的轨迹为射线，， 当点 与点 重合时， 最短， 当 时， 中， ， ， ， 又 ， ， 正方形 中， ， ， 即 的最小值为 ， 故答案为： ． 解法2：如图，连接 ， 由题意可得， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 当 时， 最短，此时 最短， ， ， ， 当 时， ， 的最小值为 ．故答案为： ． 15．（2020秋•成都期末）当 ， 是正实数，且满足 时，就称点 为“美好点”．已知 点 与点 的坐标满足 ，且点 是“美好点”，则 的面积为 1 8 ． 【解答】解：将点 代入 ， 得 ， 则直线解析式为： ， 设点 坐标为 ， 点 满足直线 ， ， 点 是“美好点”，①， ， ， 是正实数， ②， 将②代入①得： ， 解得 ， 点 坐标为 ， 的面积 ． 答： 的面积为18． 16．（2020秋•郫都区期末）如图， 中， ， ， ，若点 、 、 分别是 三边 、 、 上的动点，则 周长的最小值为 ． 【解答】解：如图，作 关于 的对称点 ，作 关于 的对称点 ，连接AE，MN ，MN 交AB 于D，交AC 于F ，作AH BC于H ，CK  AB于K． 由对称性可知：DEDM ，FE FN ，AE AM  AN，DEF 的周长DEEF FDDM DF FN ， 当点E固定时，此时DEF 的周长最小，  BAC 45，BAE BAM ，CAE CAN ， MAN 90， MNA是等腰直角三角形， MN  2AE ， 当AE的值最小时，MN 的值最小，  AC 2 2， AK KC 2，  AB3， BK  ABAK 1， 在RtBKC中，BKC 90，BK 1，CK 2， BC  BK2 CK2  5， 1 1 BCAH  ABCK  2 2 ， 6 5 AH  5 ， 6 5 根据垂线段最短可知：当AE与AH 重合时，AE的值最小，最小值为 5 ， 6 10 MN 的最小值为 5 ， 6 10 DEF 的周长的最小值为 5 ． 17．（2020秋•青羊区校级期末）如图，ABC 中，BAC 75，ACB60，AC 4，则ABC 的面 积为 62 3 ；点 D，点 E，点 F 分别为 BC， AB， AC 上的动点，连接 DE ， EF ， FD，则 DEF 的周长最小值为 ．【解答】解：如图，过点A作AH BC于H ．  BAC 75，C 60， B180BACC 45，  AC 4， CH  ACcos602，AH  ACsin302 3，  BBAH 45， AH BH 2 3， BC BH CH 2 32， 1 1 S  BCAH  (2 32)2 362 3 ABC 2 2 ． 如图，过点B作BJ  AC于J ，作点F 关于AB的对称点M ，点F 关于BC的对称点N，连接BM ，BN ， BJ ，MN ，MN 交AB于E，交BC于D，此时△FED的周长MN 的长． BF BM BM ，ABM ABJ ，CBJ CBN ， MBN 2ABC 90， BMN 是等腰直角三角形， BM 的值最小时，MN 的值最小， 根据垂线段最短可知，当BF 与BJ 重合时，BM 的值最小， 2S 124 3 BJ  ABC  3 3  AC 4 ． MN 的最小值为 2BJ 3 2 6， DEF 的周长的最小值为3 2 6 ． 故答案为：62 3，3 2 6 ． 二．解答题（共25小题） 18．（2020秋•郫都区期末）如图，已知等边ABC ，点D是BC边上的一点，连接AD，以AD为边在右 侧作等边ADE，连接CE ． （1）求证：ABDACE； （2）若BC 6，BD2时，求DE 的长； （3）过点A作AF DE，交BC于点F ，若DF  3BD，试判断ADF 的形状，并说明理由． 【解答】证明：（1） ABC和ADE是等边三角形， AB AC ，AD AE ，BAC DAE60， BADCAE ， 在ABD和ACE 中， AB AC  BADCAE  AD AE ，ABDACE(SAS) ； （2）如图1，过点E作EH BC 交BC的延长线于H ，  ABDACE ， BDCE2，BACE 60， ECH 60，CD4， CEH 30， 1 CH  CE 1 2 ，EH  3CH  3， DE DH2 EH2  (41)2 32 7 ； （3）ADF 是等腰三角形， 如图2，连接EF ，过点E作EH BC 交BC的延长线于H ， 设BD2x，则DF 2 3x，  ADE 是等边三角形，AF DE， AF 垂直平分DE ， EF DF 2 3x，1 CH  CE x 由（2）可知， 2 ，EH  3CH  3x， FH  EF2 EH2  12x2 3x2 3x， FC 2xBD， 在ABD和ACF 中， AB AC  BACB  BDCF ， ABDACF(SAS) ， AD AF ， ADF 是等腰三角形． 19．（2020秋•武侯区期末）在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CD AB于点D，点E是平面内 任意一点，连接DE ． （1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF DE交AC 于点F ． i) 求证：CE  AF ； ii) 试探究线段AF ，DE ，BE 之间满足的数量关系． （2）如图2，当点E在BDC 内部时，连接 AE，CE ，若DB5，DE 3 2，AED45，求线段 CE 的长． 【解答】证明：（1） i)  ACB90 ，AC BC ，CD AB， ACDBCDA45， CD AD， DF DE，CD AB，ADF CDF CDECDF 90， ADF CDE ， 在ADF 与CDE 中， ABCD45  ADCD  ADF CDE ， ADF CDE(ASA) ， CE  AF； ii) 连接EF ，  ADF CDE ， DE DF ，  DF DE， DEF 是等腰直角三角形， EF2 DE2 DF2 2DE2，  AF CE，AC BC ， CF BE， 在RtCEF中，EF2 CE2 CF2 ， AF2 BE2 CE2 CF2 EF2 2DE2 ． （2）过点D作DH  AE 于H ，过点D作DGDE交AE于G ， ACB90，AC BC ，CD AB， ACDBCDA45， CD AD，  DGDE ，CD AB，ADGCDGCDECDG90， ADGCDE，  DGDE ，AED45， DGE 45AED， DGDE ， 在CDE 与ADG中 ADCD  ADGCDE  DGDE ， CDEADG(SAS) ， CE  AG， 在RtDEG中，DE DG3 2 ， EG6，  DH  AE， DH GH EH 3， 在RtADH中，AD5， AH  AD2 DH2  52 32 4， CE  AG AH GH 1． [ ] 20．（2020秋•武侯区期末） 阅读理解 如图，在ABC 中，AB4，AC 6，BC 7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BDx，则CD7x．  ADBC， ADBADC 90． 在RtABD中，AD2  AB2 BD2， 在RtACD中，AD2  AC2 CD2 ， AB2 BD2  AC2 CD2 ． 又 AB4，AC 6， 42 x2 62 (7x)2 ． 29 x 解得 14 ， 29 BD 14 ． 3 255 AD AB2 BD2  14 ． [ ] 知识迁移 （1）在ABC 中，AB13，AC 15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D． i) 如图1，若BC 14，求线段AD的长； ii) 若AD12，求线段BC的长． 25 5 AB 5 AC  29 （2）如图2，在ABC 中， 4 ， 2 ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将 25 AD ABD沿直线AB翻折后得到对应的ABD，连接CD，若 2 ，求线段CD的长．【解答】解：（1） i) 设BDx，则CD14x，  ADBC， ADBADC 90， 在RtABD中，AD2  AB2 BD2， 在RtACD中，AD2  AC2 CD2 ， AB2 BD2  AC2 CD2 ，  AB13，AC 15， 132 x2 152 (14x)2 ， x5， BD5， AD AB2 BD2  132 52 12； ii) 在RtABD中，BD AB2 AD2  132 122 5， 在RtACD中，CD AC2 AD2  152 122 9， 当ABC为锐角时，如图11，BC BDCD5914，当ABC为钝角时，如图12，BC BDCD954； （2）如图2，连接DD交AB于点N，则DD AB， 过点D作DH BD于H ， 25 25 25 BD AB2 AD2  ( 5)2 ( )2  在RtABD中， 4 2 4 ； 5 25 CD AC2 AD2  ( 29)2 ( )2 5 在RtACD中， 2 2 ，  AB垂直平分DD， 25 DBDB 4 ，DD2DN ， 1 1 S  ADBD ABDN  ABD 2 2 ， 25 25 25   5DN  2 4 4 ， 5 5 DN  2 ， DD2DN 5 5 ， 25 HDHBBDm 设HBm，则 4 ，  DH2 DD2 HD2 DB2 HB2， 25 25 (5 5)2 (m )2 ( )2 m2 4 4 ，15 m 4 ， 15 HB 4 ， 15 25 25 15 HC HBBDCD  415 DH  DB2 HB2  ( )2 ( )2 5 4 4 ， 4 4 ， DC  DH2 HC2  52 152 5 10． 21．（2020秋•成都期末）如图，在ABC 中，ABC的角平分线与外角ACD的角平分线相交于点E． （1）设A，用含的代数式表示E 的度数； （2）若EC//AB，AC 4，求线段CE 的长； （3）在（2）的条件下，过点C作ACB的角平分线交BE 于点F ，若CF 3，求边AB的长． 2y2xA  【解答】解：（1）设ABE CBE x， ACE ECD y ，则有yxE ， 1 1 E  A . 可得 2 2 （2） EC//AB， ABE E，  ABC 2ABE，A2E，AABC，E CBE ， CACB4，CE CB4． （3）如图，连接AF ，过点C作CT BE于T ，延长CF 交AB于R．  CF平分ACB，CE 平分ACD， 1 FCE  (ACBACD)90 2 ，  CF 3，CE 4， EF  CF2 CE2  32 42 5， 1 1 S  ECCF  EFCT  CEF 2 2 ， 12 CT  5 ， 12 16 BT  BC2 CT2  42 ( )2  在RtBCT中， 5 5 ，  CBCE，CT BE， BT TE， 32 BE2BT  5 ， 32 7 BF BEEF  5 5 5，  CACB，CF 平分ACB， CR AB，BR AR， 设BRx， RF  y ，  7 x2  y2 ( )2  5 则有  x2 (y3)2 42 ，  28 x   25  21 y 解得  5 （不符合题意的解已经舍弃）． 56 AB2BR 25．22．（2020秋•武侯区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M(2,2) ，过点M 作直线AB，交x轴负 y B(0,m) 半轴于点A，交 轴负半轴于点 ． （1）如图1，当m6时． i) 求直线AB的函数表达式； 3 S  S ii) 过点A作 y 轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN ，MN ，若 MBN 8 ABO ，求满足条件的点N 的坐标． （2）如图2，将直线 AB绕点B顺时针旋转45后，交x轴正半轴于点C，过点C作CDBC ，交直线 AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变化， 请说明理由． 【解答】解：（1） i) 、 m6， B(0,6) ，设直线AB的表达式为 ykx6 ， 点 M(2,2) 在直线AB上， 22k6， k 2， 直线AB的表达式为 y2x6 ； ii) 、如图1，由 i) 知，直线AB的表达式为 y2x6 ， 令 y0 ，则2x60， x3， A(3,0) ， 直线l为x3， N(3,t) 设 ， AN |t| ， A(3,0) B(0,6)  ， ， OA3，OB6， 1 1 S  OAOB 369 AOB 2 2 ， 3 S  S  MBN 8 ABO ， 3 27 S  S  MBN 8 ABO 8 ， 过点M 作MF  AN 于F ，过点B作ME  AN 于E， MF 1，BE3， 1 1 1 1 27 27 S S S  ANBE ANFM  AN(BEMF) |t|(31)|t| t  MBN MAN AMN 2 2 2 2 8 ， 8 ， 27 27 N(3, ) (3, ) 8 或 8 ；（2）如图2，  ABC 45，BCD90， ADC 45ABC， CDCB， BDC是等腰直角三角形， M(2,2) B(0,m)  ， ， m2 y xm 直线AB的表达式为 2 ， 设点 C(a,0) ，分别过点D，B作 y 轴的垂线，过点C作x的垂线，交前两条直线和 y 轴于点G ，H ，L， 则H GOCH OBH 90， 四边形OBHC 是矩形， OC BH ，  GBCD90， CDGDCGDCGBCH 90， CDGBCH ， DCGCBH(AAS) ， BH OC CG|a| CH DG|m| ， ， D(ma,a) ， m2 a (ma)m 2 ， m2 ma4m0，  m0， ma4， 即点D的横坐标为4，保持不变．23．（2020秋•金牛区期末）已知：等边三角形ABC，直线l过点C且与AB平行，点D是直线l上不与点 C重合的一点，连接线段 DB，并将射线 DB绕点 D顺时针转动 60，与直线 AC 交于点 E（即 BDE60) ． （1）如图1，点E在AC 的延长线上时，求证：DE DB； （2）如图2，AB2，CD4，依题意补全图2，试求出DE 的长． （3）当点D在点C右侧时，直接写出线段CE 、BC和CD之间的数量关系．【解答】解：（1）过点D作DF //AC，交CB的延长线于点F ，  AB//直线l，DF //AC， ABC BCD60，ACBCFD60， CDF 为等边三角形， CDF 60，CDDF，  BDE60， BDF EDC ， 又 BFDECD60，CDDF， CDE FDB(ASA) ， DE DB； （2） ADEBDE， ADE不可能是直角， 当点D在点C的右侧时，在四边形BCED中，BCE120，BDE 60， CBD90， 在RtBCD中，BC 2，CD4，BD CD2 BC2  42 22 2 3， 由（1）可知DE BD2 3， 当点D在点C左侧时，作DF //BC，交CA的延长线于点F ，  AB//直线l，DF //BC， BAC DCF 60，BCADFC 60， CDF 为等边三角形， CDF 60，CDDF CF ，  BDE60， BDC EDF ， 又 DFE DCB120，CDDF， BDC EDF(ASA) ， EF BC 2，  CDCF 4， AE CEAC EF CF AC 4， 在RtACD中，AD CD2 AC2 2 3， 在RtADE中，DE  AD2  AE2 2 7 ． 综合以上可得，DE 2 3或2 7． （3）①如图3，当点E在AC 的延长线上时，过点D作DF //AC，交CB的延长线于点F ， 由（1）可知CDE FDB，CE BF ，CDDF， CDBCBF BCCE； ②如图4，当点E在线段AC 上时，过点D作DF //AC，交CB于点F ， 由（1）可知CDE FDB， CDDF ，CE BF， CDCF BCBF BCCE． 24．（2020秋•青羊区校级期末）如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 :yx1 与x轴交于点A，直 线 l 2 :y3x3 与x轴交于点B，与 l 1相交于点C． （1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A (1,0) ，B ，C ． （2）如图2，动直线xt分别与直线 l 1， l 2交于P， Q 两点． ①若 PQ2 ，求t的值． S 2S Q ②若存在 AQC ABC，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．l :y3x3 【解答】解：（1）对于直线 2 ①， 令 y3x30 ，解得x1，故点 B(1,0) ， l :yx1 A(1,0) 对于 1 ，同理可得：点 ， y3x3 x2   则yx1 ，解得y3 ， 故点C的坐标为 (2,3) ， (1,0) (1,0) (2,3) 故答案为： 、 、 ； （2）①点P在直线 l 1上，则设点 P(t,t1) ，同理点 Q(t,3t3) ， PQ|t13t3|2 则 ， 解得t 1或3； ②当点 Q 在x轴下方时，如下图，设直线 l 1交 y 轴于点K ，过点B作直线n//AC交 y 轴于点N， 在 y 轴负半轴取点M 使NM 2NK ，过点M 作直线m//AC 交 l 2于点 Q ，则点 Q 为所求点， 理由： M 、 Q 在直线m上，且m//AC ，则 S MAC S QAC，同理 S NAC S BAC ， 而MN 2KN，则m、 l 1之间的距离等于2倍n、 l 1之间的距离，故 S AQC 2S ABC， l K(0,1) 由直线 1的表达式知点 ， 设直线n的表达式为 y xb ，将点B的坐标代入上式并解得b1，故点 N(0,1) ， 则 NK 1(1)2 ，则MN NK 2， M(0,3) 故点 ， 在直线m的表达式为 yx3 ②， x0  联立①②并解得y3 ，故点 Q(0,3) ； ②当点M 在x轴上方时，同理可得点 M(0,5) ， 同理可得，过点M 且平行于AC 的直线表达式为 y x5 ③，x4  联立①③并解得y9 ，故点 Q 的坐标为 (4,9) ； Q (0,3) (4,9) 综上，点 的坐标为 或 ． D(1,0) l yx6 C(2,n) 25．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知点 ，直线 1的解析式为 ，经过点 ， 与x轴交于点A，与 y 轴交于点B． （1）如图1，若直线 l 2经过点D，与直线 l 1交于点C，求直线 l 2的解析式； （2）点M 是x轴上一动点，若CDM 为等腰三角形，求点M 的坐标； （3）如图2，已知点E为直线 l 1上一动点，连接DE ，将DE 绕点D逆时针旋转90到DF ，若CF 5， 求此时点F 坐标． 【解答】解：（1）对于 l 1 :yx6 ，令 yx60 ，则x6，令x0，则 y6 ， (6,0) (0,6) 故点A、B的坐标分别为 、 ， 当x2时， yx6264n ，故点C的坐标为 (2,4) ，  4 k    3 42kb  4  b 设直线 l 2的表达式为 ykxb ，将点C、D的坐标代入上式得0kb ，解得  3 ， 4 4 y x 故直线 l 2的解析式为 3 3 ；（2）设点 M(x,0) ，过点C作CH x轴于点H ， MC2 CH2 HM2 (x2)2 42 则 ， 同理可得：CD2 32 42 25， MD2 (x1)2 ， 当MC CD时，即 (x2)2 42 25 ，解得x5或1（舍去 1) ； 19 x 当MC MD时，同理可得 6 ； 当CDMD时，同理可得x4或6， 19 ( 故点M 的坐标为 (5,0) 或 6 ， 0) 或 (4,0) 或 (6,0) ； (a,6a) （3）设点E的坐标为 ， 分别过点E、F 作x轴的垂线，垂足分别为M 、N，  EDF 90， EDM DEM 90， EDM FDN 90， FDN DEM ，  FNDDEM 90，DE DF ， FNDDME(AAS) ， FN DM ，NDEM ， 即FN DM a1，NDEM 6a， 故点F 的坐标为 (a7,a1) ， C(2,4) 而点 ， FC2 (a72)2 (a14)2 25 由（2）知： ， 12 14 a 解得 2 ， 点F 的坐标为 (a7,a1) ， 14 14 14 14 (1 7 ) (1 7 ) 点F 的坐标为 2 ， 2 或 2 ， 2 ． 3 y x3 26．（2020秋•邛崃市期末）如图1，直线 3 与坐标轴分别交于 A、C两点，过点C的直线交x B( 3,0) 轴于点 ． （1）求直线BC的解析式并判定ABC 的形状； （2）如图2，若点 M(0,3) ，P是直线BC上的一动点，连接PM 、PA，当PM PA的值最小时，求点 P的坐标，并求出这个最小值； （3）如图3，将直线AC 向上平移a个单位，与坐标轴交于点E、F ，分别以OF 、EF 为腰，点F 为直 角顶点分别在第一、二象限作等腰直角FOH 和等腰直角FEG，连接GH 交 y 轴于点N，求FN 的长度．3 y x3 【解答】解：（1）直线 3 与坐标轴分别交于A、C两点， 当x0时， y3 ，当 y0 时，x3 3， A(3 3 0) C(0,3) ， ， ， 设直线BC的解析式为 ykxb ， 0 3kb   3b ， k  3  解得 b3 ， 直线BC的解析式为 y 3x3 ，  AC  OA2 OC2 6，BC  OB2 OC2 2 3，AB4 3， AC2 BC2 361248，AB2 48， AB2  AC2 BC2 ， ACB90， 即ABC 为直角三角形． （2）如图2，由（1）知，ABC 为直角三角形，点A关于直线BC对称点A在线段AC 的延长线上，且AC  AC ， 过点A作 AD y 轴于点D，  ACDACO，ADC AOC，AC  AC ， △ ADC AOC(AAS) ， AD AO3 3，DC OC 3， A(3 3 6) ， ， AM  AD2 DM2  (3 3)2 92 6 3 PM PA的最小值即为线段AM 的长： ， 设直线AM 的解析式为： ymxn ， M(0,3) ， 3 3mn6  则 n3 ， m 3  解得： n3 ， y 3x3 ，  y 3x3  联立方程组 y 3x3 ， x 3  解之得： y0P( 3 0) 此时，点 ， ， 综上，PM PA的最小值为6 3 ，此时点 P( 3 ， 0) ； （3）如图3，将AC 向上平移a个单位后， 3 y x3a 直线的解析式为： 3 ， E(3 3 3a 0) F(0,3a) ， ， ， EO3 3 3a，OF 3a， 过点G 作 GQ y 轴于点 Q ，  FEG是以点F 为顶点的等腰直角三角形， EF FG， GFQEFO90 ， 又FEOEFO90， GFQFEO ， FQGEOF(AAS) ， FQEO3 3 3a GQFO3a ， ， G(3a 3 33 3aa) ， ，  FOH 是以点F 为顶点的等腰直角三角形， HF FO3a， H(3a,3a)设直线GH 的解析式为： y pxq ， 3 33 3aa(3a)pq  则有： 3a(3a)pq ，  3 p  2   3 q( 1)(3a)  解之： 2 ， 3 3 y x( 1)(3a) 直线GH 的解析式为 2 2 ， 3 ( 1)(3a)) N(0 ， 2 ， 3 3 NF ( 1)(3a)(3a) (3a) 2 2 ． 27．（2020秋•青羊区校级期末）在RtABC中，ACB90，AC BC ，点D、F 是线段AB上两点， 连接CD，过A作AE CD于点E，过点F 作FM CD于点M ． （1）如图1，若点E是CD的中点，求CAE的大小； （2）如图2，若点D是线段BF 的中点，求证：CE FM ； （3）如图3，若点F 是线段AB的中点，AE 7 ，CE 1，求FM 的值． 【解答】（1）解： AC BC，ACB90， CABB45，  AE CD，EC ED， AC  AD， CAE DAE 22.5， CAE 22.5． （2）证明：过点B作BN CD交CD的延长线于点N．BNC 90，  AE CD， CEABNC 90， CAEACD90，  ACB90， ACDBCN 90， CAE BCN ， 在AEC 和CNB中， CEABNC  CAEBCN  AC CB ， AEC CNB(AAS) ， CE BN ，  FM CD，BN CD， FMDBND90， 点D是线段BF 的中点， FDBD， 在FMD和BND中， FMDBND  FDM BDN  FDBD ， FMDBND(AAS) ， FM BN ， CE FM ． （3）解：在线段AE上取点G ，使得AGCE，连接CF 、EF ，如图3所示： AF FB，AC BC ，ACB90， CF  AB，CF  AF，  FAGADE 90，ADEFCE 90， GAF ECF ， 在AGF 和CEF 中， AGCE  GAF ECF  AF CF ， AGF CEF(SAS) ， FGEF ，AFGCFE， EFGAFC 90 EFG是等腰直角三角形， EG 2EF，GEF 45， MEF 904545， EFM 是等腰直角三角形， EF  2FM ， AECE  AEAGEG 2EF 2FM  71， 71 FM  2 ． ykxb l 28．（2020秋•成华区期末）表格中的两组对应值满足一次函数 ，函数图象为直线 1，如图所示． 将函数 ykxb 中的k与b交换位置后得一次函数 ybxk ，其图象为直线 l 2 . 设直线 l 1交 y 轴于点 A，直线 l 1交直线 l 2于点B，直线 l 2交 y 轴于点C． x 2 4 y 4 2 l （1）求直线 2的解析式； （2）若点P在直线 l 1上，且BCP的面积是ABC 的面积的 (1? 2) 倍，求点P的坐标； （3）若直线 ya 分别与直线 l 1， l 2及 y 轴的三个交点中，其中一点是另两点所成线段的中点，求a的值． l ykxb (2,4) (4,2) 【解答】解：（1）直线 1的解析式为 ，把 ， 分别代入得， 42kb  24kb ， k 1  解得b2 ， l y x2 直线 1的解析式为 ， l y2x1 由题意可得直线 2的解析式为 ． （2）令 y x2 中，x0，则 y2 ，故 A(0,2) ， 令 y2x1 中，x0，则 y1 ，故 C(0,1) ， 过点B作 BH  y 轴于点H ，则ABH 为等腰直角三角形，AH BH 1，AB 2， 1 BPh S 2 BP BCP   1 2 S 1 BA ABC BAh  2 ， BP 1 2  2 ， BP(1 2) 2 2 2 ， P PH  y H APH ①过点 1作 1 1 轴于 1，则△ 1 1为等腰直角三角形， AP  2 2 2 1 ， AP 2 1 ， PH  2 1 1 ， P 1的横坐标为 2， y2 2 代入直线解析式得 ， P( 2 2 2) 故 1 ， ； P PH  y H APH ②过点 2作 2 2 轴于 2，则△ 2 2为等腰直角三角形， AP  2 2 2 2 ，AP 22 2 2 ， 22 2 PH  2 2 2 2 2 ， P 2的横坐标为2 2， y 2 代入直线解析式得 ， P(2 2 2) 故 2 ， ； 综合以上可得点P的坐标为 ( 2 ， 2 2) 或 (2 2 ， 2) ； （3）设直线 ya 与直线 l 1， l 2及 y 轴的交点分别为D，E，F ，则 F(0,a) ， 令 y x2 中， ya ，则x2a， 解得xa2， D(a2,a) ， 代入直线 y2x1 中，则2x1a， 1a x 解得， 2 ， 1a E( 2 ， a) ．1a EF  ①若点F 是DE 的中点时， D 1 F 1 a2 ， 1 1 2 ， 1a a2 2 ， 解得a5； 1a E F  ②若点D是EF 的中点时， D 2 F 2 a2 ， 2 2 2 ， 1a 2(a2) 2 ， 7 a 解得 5 ； 1a E F  ③若点E是FD的中点时， D 3 F 3 a2 ， 3 3 2 ， 1a a22 2 ， 1 a 解得 2； 7 1   综合以上可得，a的值为5或 5 或 2 ． 29．（2020秋•成都期末）【背景】在ABC 中，分别以边AB、AC 为底，向ABC 外侧作等腰直角三角 形ABD和等腰直角三角形ACE，ADBAEC 90． 【研究】点M 为BC的中点，连接DM ，EM ，研究线段DM 与EM 的位置关系与数量关系． （1）如图（1），当 BAC 90时，延长 EM 到点 F ，使得 MF ME ，连接 BF ．此时易证 EMC FMB，D、B、F 三点在一条直线上．进一步分析可以得到DEF 是等腰直角三角形，因此得 到线段DM 与EM 的位置关系是 DM EM ，数量关系是 ； （2）如图（2），当BAC 90时，请继续探究线段DM 与EM 的位置关系与数量关系，并证明你的结 论； （3）【应用】如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE ，若AB2 2 ，AC 4，求DE 的长．【解答】解：（1）如图1，延长EM 到点F ，使得MF ME ， 点M 为BC的中点， BM CM ， 又 BMF CME， ECM FBM(SAS) ， BF CE，FBM ECM ，  ADBAEC 90， DF //EC， DBCECM 180， DBCFBM 180， 点D，点B，点F 共线，  AE CE， BF  AE，  ADDB， DF DE， DEF 是等腰直角三角形， 又 EM FM ， DM EM ，DM EM ； （2）如图2，延长EM 到F ，使FM EM ，连接BF ，DF ，点M 为BC 的中点， BM CM ， 在EMC和FMB中， MC BM  EMC FMB  EM FM ， EMC FMB(SAS) ， BF CE，FM ME ，  ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，ADBAEC 90， DADB，EAEC ，ABDBADACE CAE 45， FBEA． DAEBADCAEBAC 90BAC， 又FBM ECM ， DBF 360ABDABCFBM 360ABDABC(ACBACE)90BAC ， DAEDBF ， 在DAE和DBF 中， DADB  DAEDBF  AEBF ， DAE DBF(SAS) ， DF DE，BDF ADE ，  ADEBDE 90， BDF BDE 90， DEF 是等腰直角三角形， 又 EM FM ， DM EM ，DM EM ； （3）如图3，取BC中点M ，连EM ，BE ，设AB与ED交于点N， ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB2 2 ，AC 4， AB 2AD，AC  2AE， AD2，AE CE 2 2 ， 在（2）的结论可得，BM CM ，EM BC， BECE  AE 2 2， DE为AB的垂直平分线， 1 DN  AB 2 2 ， NE  BE2 BN2  82  6 ， DE  2 6 ． 30．（2020秋•金牛区期末）如图，直线 ykx2(k 0) 与x轴、 y 轴分别交于点B、A． （1）如图1，点 P(1,3) 在直线 ykx2(k 0) 上，求点A、B坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，点 A是点 A关于x轴的对称点，点 Q 是第二象限内一点，连接 AQ 、 PQ 、 QA 和PA，如果 PQA 和△ AAQ 面积相等，且 PAQAPA ，求点 Q 的坐标； （3）如图3，点C和点D是该直线在第一象限内的两点，点C在点D左侧，且两点的横坐标之差为1，且 CDk2，作CE  x轴，垂足为点E，连接DE ，若OAB2DEB，求k的值．【解答】解：（1）当x0时， y2 ， A(0,2) ， 把点 P(1,3) 代入直线 ykx2(k 0) 得：k23， 解得：k 1， 直线AB的解析式为 yx2 ， 当 y0 时，x20， 解得：x2， B(2,0) ； （2）分两种情况： ①点 Q 在直线AB的下方时，过点 A作 AQ//AB ，设 AQ 与AP交点为M ，延长 QP 交 y 轴于点N，如 图2所示： QA 平行线间的距离处处相等，且 为公共底边， PQA AAQ 和△ 面积相等， PAQAPA  ， MAMP， AQ//AB  ， PAQAQA APAPAQ ， ，AQAPAQ ， AM QM ， AQ AP ， PQA AAQ(SAS) △ ， PQAAAQ PQ AA ， ， 点A是点A关于x轴的对称点， A(0,2) ， A(0,2) ， PQ AA224 ， 由（1）可知OAOB， BAO45， AQ//AP  ， PQAAAQ45 ， QNO90 ， QN  y 轴， P(1,3)  ， PN 1，ON 3， QN PQPN 5 ， Q(5,3) ； ②当点 Q 在直线AB的上方时，如图21所示：PAQAPA  ， AQ//AP ， PQ//AA APQA 当 时，四边形 是平行四边形， PQA 的面积△ AAQ 面积， Q(1,7) 此时 ，满足条件； Q (5,3) (1,7) 综上所述，点 的坐标为 或 ； （3）过D作DF CE 于F ，如图3所示：  CEB90， CED90DEB，  CE//OA， OABECD，  OAB2DEB， ECD2DEB， CDE 180ECDCED1802DEB(90DEB)90DEB ， CDECED， CE CDk2， 点C在直线 ykx2 上， 当 yk2 时，有k2kx2， x1， 点 C(1,k2) ， D(2,2k2) ， DF 1，CF k，CE k2， 在RtCDF中，由勾股定理得：CF2 DF2 CD2 ， CF2 DF2 CE2 ，(k)2 12 (k2)2 即 ， 3 k  解得： 4． 31．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，点E为 ABCD对角线AC 上一点，连接DE ，AE DE DC ． （1）求证：DCA2ACB；（2）如图2，若B112.5，F 为线段EC上一点，且AE EF ，连接DF ，设FC x， AC  y ，求 y 与x的函数表达式； （3）在 （2）的条件下，如图3，点G 为线段EC上（不与点E、点C重合）任意一点，试判断以 2DG、 EG 、 CG 为 边 的 三 角 形 的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ． 【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，AB//CD， DAC ACB，BAC ACD，  AE DE DC， DAE EDA，DEC DCA，  DEC DAEEDA2DAE， DCA2ACB； （2） B112.5， ACBBAC 67.5，  DCA2ACBBAC ， DCA45DEC BAC，ACBDAC 22.5， DE DC， EC  2DC， AC  AEEC  2DCDC  y ， CF  ACAF  2DCDC2DC  2DCDC x ， y(2 23)x ； （3）设DE CDa， 当DGEC 时，如图3， DCA45，DE CD， 2 DGGC EG a 2 ，  EG2 CG2 2DG2 ， ( 2DG)2 2DG2 ， EG2 CG2 ( 2DG)2 ， 以 2DG、EG 、CG 为边的三角形是直角三角形； 当DGEC时，过点D作DM  AC 于M ， 2 DM  a 2 ， 2 EG aGM 2 ， 2 CG aGM 2 ， 1 1 EG2 CG2 2( a2 GM2) ( 2DG2)2DG2 2(DM2 GM2)2( a2 GM2) 2 ， 2 ， EG2 CG2 ( 2DG)2 ， 以 2DG、EG 、CG 为边的三角形是直角三角形； 综上所述：以 2DG、EG 、CG 为边的三角形是直角三角形； 32．（2020秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB:ykx3k(k 0) 交x轴于点B，交 y 轴于点A，AB3 10．（1）求点A的坐标； 1 BAO ACO （2）点C为x轴正半轴上一点， 2 ，点M 为线段AC 上一动点，设M 的纵坐标为 a(a0) ， 请用含a的代数式表示点M 到 y 轴的距离d ； （3）在（2）的条件下，过点M 作MN //AB交x轴于点N，连接BM ，AN ，当ABM 为等腰三角形时， 求AMN的面积． 【解答】解：（1）由题意，直线直线 AB:ykx3k(k 0) 交x轴于点 B(3,0) ，交 y 轴于点 A(0,3k) ， 在RtAOB中，AB2 OA2 OB2 ， 32 (3k)2 (3 10)2 ， k 3或3（舍弃）， AO9， A(0,9) ． （2）如图1中，过点C作ACB的角平分线交AB于H ． 1 BCH  ACB 2 ，1 BAO ACO  2 ， BCH BAO，  BAOABC 90， BCH ABO90， CHBCHA90，  CH CH ，HCBHCA， ACH BCH(ASA) ， CACB， 设 C(m,0) ，则BC m3，AC  m2 92 ， m3 m2 92 ， m12， C(12,0) ， 3 y x9 直线AC 的解析式为 4 ，  M 的纵坐标为 a(a0) ，点M 横坐标为d ， 3 a d 9 4 ， 4 d  a12 3 ． （3）在（2）的条件下，AC BC ，  MN //AB， AM BN， S AMN S BMN ， ①当ABBM 时，过点B作BG AC于G ，AGMG，  AOBBGA，ABC BAC，ABBA， ABOBAG(AAS) ， BO AG3， BN  AM 2AG6， N(3,0) ，  MN //AB， MN:y3xb N(3,0) 直线 过点 ， b9， 直线MN 的表达式为 y3x9 ，  24 x  3   5 y x9   4 27 y 由  y3x9 ，解得  5 ， 24 27 M( ) 5 ， 5 ， 1 1 27 81 S S  BNy  6  AMN BMN 2 M 2 5 5 ． N(33 10 0) ②当AB AM 时， ， 直线MN 的表达式为 y3x99 10 ， 12 10 x  3  5 y x9   4  459 10 由  y3x99 10 ，解得   y 5 ， 12 10 459 10 M( ) 5 ， 5 ， 1 1 459 10 27 1054 S S  BNy  3 10  AMN BMN 2 M 2 5 2 ． 33．（2020秋•新都区期末）在如图的平面直角坐标系中，直线n过点 A(0,2) ，且与直线l交于点 B(3,2) ， 直线l与 y 轴交于点C． （1）求直线n的函数表达式； （2）若ABC 的面积为9，求点C的坐标； （3）若ABC 是等腰三角形，求直线l的函数表达式． 【解答】解：（1）设直线n的解析式为： ykxb ， n:ykxb A(0,2) B(3,2) 直线 过点 、点 ， 4 k  b2  3  3kb2 ，解得：  b2 ， 4 y x2 直线n的函数表达式为： 3 ； （2） ABC的面积为9， 1 9 AC3 2 ， AC 6，  OA2， OC 624或OC 628， C(0,4) (0,8) 或 ； （3）分四种情况： ①如图1，当AB AC时， A(0,2) B(3,2)  ， ， AB 32 (22)2 5 ， AC 5，  OA2， OC 3， C(0,3) ， 设直线l的解析式为： ymxn ，3mn2  把 B(3,2) 和 C(0,3) 代入得：n3 ，  1 m  3 解得：  n3 ， 1 y x3 直线l的函数表达式为： 3 ； ②如图2，AB AC 5， C(0,7) ， 同理可得直线l的解析式为： y3x7 ； ③如图3，ABBC ，过点B作 BD y 轴于点D， CD AD4，C(0,6) ， 4 y x6 同理可得直线l的解析式为： 3 ； ④如图4，AC BC ，过点B作 BD y 轴于D， 设AC a，则BC a，CD4a， 根据勾股定理得：BD2 CD2 BC2 ， 32 (4a)2 a2 ， 25 a 解得： 8 ， 25 9 OC  2 8 8， 9 C(0, ) 8 ， 7 9 y x 同理可得直线l的解析式为： 24 8 ； 1 4 7 9 y x3 y x6 y x 综上，直线l的解析式为： 3 或 y3x7 或 3 或 24 8 ． 34．（2020秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A(2,0) ，点 B(0,2) ，过点B作直线．BC//x 轴，点 D(m,2) 是直线BC上的一个动点，以线段AD为边在AD右侧作等腰RtADE，使ADE 90，连 接AB，BE ． （1）当m3时，点E的坐标是 (5,1) ； （2）当m2时，用字母m表示出点E的坐标；求出点E运动轨迹图象的表达式；（3）求出ABE周长的最小值． 【解答】解：（1）如图1中，过点作AH BD于H ，过点E作ET BC 于T ． A(2,0) B(0,2)  ， ， OAOB2，  BC//x轴， OBH AOBAHB90， 四边形OAHB是矩形，  OAOB， 四边形OAHB是正方形， AH OBBH 2，  AHDADE DTE 90， ADH EDT 90，EDT DET 90， ADH DET ，  DADE， AHDDTE(AAS) ，AH DT ，DH TE ， D(3,2)  ， BD3，DH 1， ET DH 1，BT 2125， E(5,1) ． (5,1) 故答案为： ． D(m,2) （2） ，BH  AH DT 2， DH ET m2，BT m2， E(m2,4m) ， 点E的运动轨迹是直线 yx6 ． （3）如图2中，作点 A关于直线 yx6 的对称点A，连接BA交直线 yx6 于E，连接AE，此 时ABE的周长最小． B(0,2) A(2,0) A(6,4)  ， ， ， BA 62 22 2 10 ，AB2 2 ，ABE的周长的最小值2 22 10． 35．（2020秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点坐标分别为 0(0,0) ， A(1, 3) B(4 2 3) C(6,0) ， ， ， ． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）若直线BC上有一点D，使得ABD与ABO的面积相等，求出点D的坐标； （3）有一动点P从O点出发，沿折线OAABBC运动，速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，到达 C点时停止运动．试求出OPC 的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围． ykxb 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为 ，  kb 3  把 A(1, 3) ， B(4 ， 2 3) 代入 ykxb ，则有 4kb2 3 ，  3 k   3   2 3 b  解得 3 ， 3 2 3 y x 直线AB的解析式为 3 3 ． B(4 2 3) C(6,0) （2） ， ， ， 同法可得直线BC的解析式为 y 3x6 3 ，过点O作OD//AB交BC于D，则 S ABO S ABD， 3 2 3 y x 直线AB的解析式为 3 3 ， 3 y x 直线OD的解析式为 3 ，  9 x  3   2 y x   3  3 3  y 由y 3x6 3 ，解得  2 ， 9 3 3 D( ) 2， 2 ， 7 5 3 D( ) 根据对称性可知，当点D在CB的延长线上时， 2 ， 2 ． 9 3 3 7 5 3 ( ) ( ) 综上所述，满足条件的点D的坐标为 2， 2 或 2， 2 ． A(1, 3) B(4 2 3) C(6,0) （3） ， ， ， ， OA 12 ( 3)2 2 AB 32 ( 3)2 2 3 BC  22 (2 3)2 4 ， ， ， 1 3 P( t t) 当 0t�2 时， 2 ， 2 ， 1 3 3 3 S  6 t  t 2 2 2 ． 1 3 (t2) 当 2t�22 3 ，P点的纵坐标为 2 ， 1 1 3 S  6[ 3 (t2)] t3 33 2 2 2 ．3 (62 3t) 当22 3t62 3时，点P的纵坐标为 2 ， 1 3 3 3 S  6 (62 3t) t9 39 2 2 2 ． 3 3  t (0t�2) 2  3 S  t3 33 (2t�22 3) 2   3 3  t9 39 (22 3t62 3)  2 ． 36．（2020 秋•成都期末）如图，平面直角坐标系中， A(0,a) ， B(b,0) ，OC OA，且 a，b满足 |a8| b6 0 ． （1）求直线AB的表达式； （2）现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t， 连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M ，交 y 轴于点N，请用含t的式子表示线段ON 的长度； （3）在（2）的条件下，连接BM ，当 S ABM :S ACM 3:7 时，求此时P点的坐标． |a8| b6 0 【解答】解：（1） ， a80，b60， a8，b6， A(0,8) B(6,0) ， ， 设直线AB的表达式为： ykxm ， 4 k  m8  3  则6km0 ，解得：  m8 ， 4 y x8 直线AB的表达式为： 3 ； A(0,8) B(6,0) （2）由（1）知， ， ， OB6，OA8，  OC OA， OC 8， C(8,0) ， ①当点P在x轴负半轴时，即 0剟t 6 时， 如图1，由运动知，BPt， OP6t，  CM  AP， CMA90AOPAOC，  ANM CNO， OAPOCN ，  OAOC， AOPCON(ASA) ， ON OP6t； ②当点P在x轴正半轴时，即 6t�14 ，如图2，由运动知，BPt， OPt6， AOPCON(ASA) 同①的方法得， ， ON OPt6； （3）如图3，过点B作BH  AP于H ， 1 1 S  AM BH S  AM CM 则 ABM 2 ， ACM 2 ， S :S 3:7  ABM ACM ， 1 1 AM BH: AM CM 3:7  2 2 ， BH 3   CM 7， 1 1 S  APBH S  APCM  ABP 2 ， ACP 2 ，S :S 3:7 ABP ACP ， 1 1 S  BPOA S  CPOA  ABP 2 ， ACP 2 ， BP:CP3:7， BP:BC 3:10， B(6,0) C(8,0)  ， ， BC 14， BP4.2， OP64.21.8， P(1.8,0) ． 37．（2020秋•成都期末）如图，ABC 和CEF 中，BAC CEF 90，AB AC，EC EF ，点E 在AC 边上． （1）如图1，连接BE ，若AE3，BE 58，求FC的长度； （2）如图2，将CEF 绕点C逆时针旋转，旋转角为 (0180) ，旋转过程中，直线EF 分别与直线 AC ，BC交于点M ，N，当CMN 是等腰三角形时，求旋转角的度数； （3）如图3，将CEF 绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F 在同一条直线上，点P为BF 的中点，连接 AE，猜想AE，CF 和BP之间的数量关系并说明理由． 【解答】解：（1）如图1中，AB BE2 AE2  ( 58)2 32  49 7 在RtABE中， ， AC  AB7， EF EC  ACAE 734，  CEF 90，EC EF 3， CF  EF2 CE2  42 42 4 2； 1 MCEECN  ACB22.5 （2）①如图21中，当CM CN 时， 2 ． 如图22中，当NM NC 时，MCN 45． 1 NCE  BCM 67.5 如图23中，当CN CM 时， 2 ，ACE 4567.5112.5． 综上所述，满足条件的的值为22.5或45或112.5．（3）结论：CF  AE 2BP． 理由：如图3中，过点A作AD AE， DAEBAC 90， BADCAE ，  BAC BEC 90， ABPACE ，  AB AC ， ABDACE(ASA) ， BDEC EF ，AD AE ， ADE 是等腰直角三角形， DE  2AE ，  P是BF 的中点， 1 BP BF 2 ， 1 1 BP BF  (2EF DE)  2 2 ，CF  2EF，DE 2AE， 1 BP ( 2CF  2AE) 2 ， CF  AE  2BP． 4 l :y x 38．（2020秋•成都期末）如图1，已知直线 l 1 :ykxb 与直线 2 3 交于点M ，直线 l 1与坐标轴分 别交于A，C两点，且点A坐标为 (0,7) ，点C坐标为 (7,0) ．l （1）求直线 1的函数表达式； （2）在直线 l 2上是否存在点D，使ADM 的面积等于AOM 面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标， 若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段OM 上的一动点（不与端点重合），过点P作PB//x轴交CM 于点B，设点P的纵坐 标为m，以点P为直角顶点作等腰直角PBF（点F 在直线PB下方），设PBF与MOC重叠部分的面 积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围． l :ykxb A(0,7) C(7,0) 【解答】解：（1）直线 1 与坐标轴分别交于 ， ， b7  7kb0 ， b7  k 1 ， 直线 l 1的函数表达式为： yx7 ； x3 4 l :y x  （2）联立 l 1 :yx7 和 2 3 ，解得，y4 ， M(3,4) ， 如图1，过点M 作ME x轴于E， OE3，ME4，根据勾股定理得，OM 5， D(3n,4n) 设 ， ①当点D在射线OM 上时，ADM 的面积等于AOM 面积的2倍，且边AM 和OM 上的高相同，DM 2OM 10， OD15， (3n)2 (4n)2 152 ， n3或n3， 由于点D在第一象限内， n3， D(9,12) ； ②当点D在射线MO上时，ADM 的面积等于AOM 面积的2倍，且边AM 和OM 上高相同， DM 2OM ， OM OD5， (3n)2 (4n)2 52 ， n1或n1， 由于点D在第三象限内， n1， D(3,4) ， D(9,12) (3,4) 即点 或 ； （3）点P的纵坐标为m， 3 P( m 4 ， m) ，  PB//x轴， B(7m,m) ， 3 7 PB7m m7 m 4 4 ， 以点P为直角顶点作等腰直角PBF， 7 PF PB7 m 4 ，7 28 7 mm m 当 4 时， 11； 28 0m ①当 11时，如图2，记PF 与x轴相交于G ，BF 与x轴相交于H ， PGm， 7 11 FGPF PG7 mm7 m 4 4 ，  PBF 是等腰直角三角形， F PBF 45，  PB//x轴， GHF 45F ， FGHG， 1 1 S S S  PB2  FG2 PBF FGH 2 2 1 7 11  [(7 m)2 (7 m)2] 2 4 4 9  m2 7m 4 ； 28 �m4 ②当11 时，如图3， 1 1 7 49 49 49 S S  PB2  (7 m)2  m2  m PBF 2 2 4 32 4 239．（2020秋•青羊区校级期末）如图，ABC 中，BAC 120，AB AC，点D为BC边上一点． （1）如图1，若AD AM ，DAM 120． ①求证：BDCM ； BD ②若CMD90，求DC 的值； （2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE1，AB2 3，DAE 60，求DE的长．【解答】（1）①证明：如图1，  BAC DAM 120， BACDAC DAM DAC， 即BADCAM ，  AB AC ，AD AM ， ABDACM(SAS) ， BDCM ； ②解： BAC 120，AB AC， BACD30， 由①知：ABDACM ， ACM B30， DCM 60，  CMD90， CDM 30， 1 CM  CD 2 ，  BDCM ， BD 1   CD 2 ； （2）解：解法一：如图2，过点E作EG AC于G ，过A作AF BC 于F ，RtCEG 中，C 30，CE1， 1 1 1 EG CE  CG 3 2 2 ， 2 ，  AC  AB2 3， 3 3 3 AG ACCG2 3  2 2 ，  AF BC， AFC 90， 1 AF  AC  3 2 ，  DAEFAC 60， DAF EAG，  AFDAGE90， ADF∽AEG， 3 DF  AF DF 3 3 1   AG EG ，即 2 2 ， 1 DF  3， 由勾股定理得：AE2  AF2 EF2  AG2 EG2 ， 3 3 1 ( 3)2 EF2 ( )2 ( )2  2 2 ， ) 解得：EF 2或2（舍 ， 1 7 DEDF EF  2 3 3 ； 解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120到AM ，连接CM ，EM ，过M 作 MQBC 于 Q ，由（1）同理得ABDACM ， ACM B30ACB，BADCAM ， MCQ60 ， 1 CQ CM RtQMC 中， 2 ， 设 CQx ，则CM 2x， QM  3x ， EQx1 ，  DAE60，BAC 120， BADEAC EACCAM 60， DAEEAM ，  AD AM ，AE AE， ADE AME(SAS) ， EM DE52x， EM2 EQ2 QE2 由勾股定理得： ， ( 3x)2 (x1)2 (52x)2 ， 4 x 解得： 3 ， 7 DE 52x 3 ． 40．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知RtABC中，BAC 90，点D是AB上一点，且AC 8 DCA45，AE BC于点E，交CD于点F ． （1）如图1，若AB2AC ，求AE的长；（2）如图2，若B30，求CEF 的面积； （ 3 ） 如 图 3 ， 点 P是 BA延 长 线 上 一 点 ， 且 APBD， 连 接 PF ， 求 证 ： PF  AF BC 【解答】（1）解：如图1中，  AB2AC，AC 8， AB16，  BAC 90， BC  AC2  AB2  82162 8 5 ，  AE BC ， 1 1 S  BCAE  ACAB ABC 2 2 ， 816 16 5 AE   8 5 5 ． （2）解：如图2中，在CE 上取一点T，使得FJ CJ ，连接FJ ．  BAC 90，B30，ACE 903060，  AE BC ，AC 8， CE  ACcos604，  DCA45， FCE ACEACD15，  JF JC， JFC JCF 15， EJF JFCJCF 30， 设EF m，则FJ JC 2m，EJ  3m，  3m2m4， m4(2 3) ， EF 4(2 3) ， 1 S  44(2 3)8(2 3) ECF 2 ． （3）证明：如图3中，过A点作AM CD于点M ，与BC交于点N，连接DN ．  BAC 90，AC  AD， AM CD，AM DM CM ，DAM CAM ADM ACD45， DN CN ， NDM NCM ，  AE BC ， ECF EFC MAF AFM 90，  AFM EFC，MAF ECF ， MAF MDN ，  AMF AMN， AMF DMN(ASA) ， AF DN CN ，  BAC 90，AC  AD， DAM CAM ADM ACD45， NAPCDB135，  MAF MDN ， PAF BDN ，  APDB， APF DBN(SAS) ， PF BN ，  AF CN， PF  AF CN BN ， 即PF  AF BC ． 41．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线AB交 y 轴于点 A(0,3) ，交x轴 B(4,0) 于点 ． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图2，在线段OB上有一点C（点C不与点O、点B重合），将AOC 沿AC 折叠，使点O落在 AB上，记作点D，在BD上方，以BD为斜边作等腰直角三角形BDF ，求点F 的坐标； （3）在（2）的条件下，如图3，在平面内是否存在一点 E，使得以点 A，B，E为顶点的三角形与 ABC 全等（点E不与点C重合），若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标，若不存在，请说明 理由．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为 ykxb ， A(0,3) B(4,0) 点 ，点 ， 4kb0  b3 ，  3 k   4   b3 ， 3 y x3 直线AB的函数表达式为 4 ； （2）如图1， A(0,3) B(4,0) 点 ，点 ， OA3，OB4， AB5， 由折叠知，ADOC 3， 过点D作DH //x轴，交 y 轴于H ， AD AH DH    AB OA OB ， 3 AH DH    5 3 4 ， 12 9 DH  AH  5 ， 5， 6 OH OAAH  5 ， 12 6 D( ) 5 ，5 ，过点F 作FM x轴于M ，延长HD交FM 于N， BMF FND90， BFM FBM 90，  BFD是等腰直角三角形， BF DF，BFD90， BFM DFN 90， FBM DFN ， BMF FND(AAS) ， BM FN ，FM DN ，  12 n m   5  6 n m4 设 F(m,n) ，则  5 ，  19 m   5  7 n  5 ， 19 7 F( ) 5 ，5 ； （3）设OC a，则BC 4a， 由折叠知，BDC ADC AOC 90，CDOC a， 在RtBDC中，BC2 CD2 BD2 ， (4a)2 a2 4 ， 3 a 2， 3 3 5 C( OC  BC  2， 0) ， 2， 2 ， 点A，B，E为顶点的三角形与ABC 全等， ①当ABC ABE时， BEBC，ABC ABE，12 6 D( ) 连接CE交AB于D，则CDED，CD AB，由（1）知， 5 ，5 ， E(b,c) 设 ， 1 3 12 1 6 (b ) (c0)  2 2 5 ，2 5， 33 12 b c 10 ， 5 ， 33 12 E( ) 10， 5 ； ②当ABC BAE 时，当点E在AB上方时， AC BE ，BC  AE， 四边形AEBC是平行四边形， AE//BC， 5 E( 2， 3) ； 当点E在AB下方时，AC BE，BC  AE， 四边形BEAE是平行四边形， 33 12 33 7 12 E( ) ( 4 ) 点 10 ， 5 向左平移 10 10 个单位，再向下平移 5 个单位到达点 B(4,0) ， 7 12 7 3 E( ) 点E是点 A(0,3) 向左平移10 个单位，再向下平移 5 个单位到达点 10 ，5 ，即满足条件的点E的 33 12 5 7 3 ( ) ( ( ) 坐标为 10 ， 5 或 2， 3) 或 10 ，5 ．42．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知直线 y x4 分别与 x轴， y 轴交于 A，B两点，直线 OG:ykx(k 0) 交AB于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F 是射线OG上一点，当OG AE，且OF  AE时， ①求EF 的长； ②在x轴上找一点P，使PEPD的值最小，求出P点坐标． 4 k  （3）如图 2，若 3，过 B点 BC//OG，交 x轴于点 C，此时在 x轴上是否存在点 M ，使 ABM CBO45，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）直线 y x4 分别与x轴， y 轴交于A，B两点， 令 y0 ，则x40， x4， 令x0，则 y4 ，A(4,0) B(0,4) ， ． A(4,0) B(0,4) （2）① ， ， OAOB4， 点E是线段OB的中点， OE2， 过F 作 FB y 轴于B， AOEOBF 90，  OG AE， OAEAOF BOGAOF 90， OAEBOF，  OF  AE， AOE△ OBF(AAS) ， FBOE2，OBOA4，  OB4， 点B与点B重合， EF  BE2 BF2  22 22 2 2． F(2,4) ②由①可知， ， 直线OF 的解析式为 y2x ， y2x  由yx4 ，  4 x   3  8 y 解得  3，4 8 D(  ) 3， 3 ， 作点E关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于P，连接PE ，此时PEPD的值最小， E(0,2)  ， 7 y x2 直线DE的解析式为 2 ， 4 x 令 y0 ，可得 7 ， 4 P( 7 ， 0) ． 4 k   （3）存在， 3， 4 OG:y x(k 0) 直线 3 ，  BC//OG， 4 y x4 设直线BC的解析式为 3 ， 4  x40 当 y0 时，即 3 ， x3， C(3,0) ， 如图，当点M 在点A的左侧，  ABO45，ABM CBO45， MBOCBO，  COBNOB90，OBOB， BCOBMO(ASA) ， OM OC 3， M(3,0) ； 当点M 在点A的右侧时，  OABAMBABM45，ABMCBO45，AMBOBC，  CBOOMB， CBOOBM90， 设OMa， BM 42 a2 ， 1 1 S  OBCM BCBM  CBM 2 2 ， 4(3a) 32 42  42a2 ， 16 a 解得： 3 ， 16 M( 3 ， 0) ， 16 ( 综上所述，点M 的坐标为： (3,0) ， 3 ， 0) ．