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专题23 三角板转动求角和角平分线结合
1．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF
＝56°，求∠BOE的度数．
2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点
O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将
绕着点O顺时针旋转 ．
(1)如图2，若 ，则 _____________， _____________；
(2)若射线OC是 的角平分线，且 ．
①若 旋转到图3的位置， 的度数为多少？（用含 的代数式表示）
② 在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时 的值．
3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直
角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．
（1）∠EOC＝ ；（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求
∠BOD的度数；
（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝
∠AOE，求此时∠BOD的度数．
4．已知，如图，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 ．
（1）如图，若 ，求 的度数；
（2）若 ，则 的度数为 ；
（3）由（1）和（2），我们发现 和 之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形 绕点 旋转到如图所示的位置，试问 和 之间的数量关系是否
发生变化？请说明理由．
5．如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直
角顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE=α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α=______度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且
∠AOD= ∠AOC，∠α=__度；
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．
6．如图1，将一块含 角的三角板ABO的一边BO放在直线MN上，AB边在直线MN的上方，
其中 ，另一块含 角的三角板POQ的一边OQ在直线MN上，另一边OP在直线MN的
下方．
现将图1中的三角板POQ绕点O按顺时针方向旋转，当直线MN恰好为 的平分线时，
如图2所示，则 的度数______度；
继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA落在 的内部，
且AO恰好为 的平分线时，求 的度数；
在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O
以每秒 的速度匀速旋转，当三角板POQ的OP边或OQ边所在直线平分 ，则求此时三角
板POQ绕点O旋转的时间t的值 请直接写出答案 ．
7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方
向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互
相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边
OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．
(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分
∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在
第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．
（直接写出结果）；
(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之
间的数量关系，并说明理由．
(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角
形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合
条件的旋转角度α．9．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角
顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分
∠BOC时，求∠BON的度数；
(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分
线；
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，
并说明理由．
10．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝
45°．
(1)如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平
分∠ACB时，则∠ACE= ；
(2)在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2
所给的情形说明理由；
(3)如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．写出
∠ACD与∠BCF之间的数量关系并说明理由．
11．将两块直角三角板的顶点A叠在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，将三角板ADE绕点A
旋转，在旋转过程中，保持∠BAC始终在∠DAE的内部．(1)如图①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度数．
(2)如图①，∠BAE与∠CAD有什么数量关系，请说明理由．
(3)如图②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，问在旋转过程中，∠MAN的大小是否发生改变？
若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围．
12．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC， ，将一直角三角板（
）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上
方．
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰
好平分 ．
①t的值是_________；
②此时ON是否平分 ？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋
转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分 ？请说明理由；
(3)在（2）的基础上，经过多长时间， ？请画图并说明理由．
13．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，
∠COD＝60°．(1)求图1中∠BOD的度数．
(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 （即∠AOE
＝ ），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度 的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
14．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC， ,将一直角三角板（∠M＝
30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O
以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后ON与OC重合？
（2）如图2，经过 秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经
过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．
（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．
15．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放
在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求
∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
16．如图1，已知 ，有一个三角板BDE与 共用一个顶点B，其中 ．
（1）若BD平分 ，求 的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转 度（ ），当 时，求 的度
数．
17．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝ （用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE
的度数．18．如图，以直线 上一点 为端点作射线 ，使 ，将一个直角三角形的直角顶
点放在点 处(注： )
如图①，若直角三角板 的一边 放在射线 上，则 ．
如图②，将直角三角板 绕点 逆时针方向转动到某个位置，若 恰好平分 ，求
的度数；
如图③，将直角三角板 绕点 转动，如果 始终在 的内部，试猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
