文档内容
专题 23 成比例线段(重难题型)
1．若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
【详解】
解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故选B．
【点睛】
本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．
2．若 ，则 中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据 设 ， ，代入 求解即可．
【详解】
解：∵
∴设 ， ，代入 得，故选：A．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．
3．如果 (其中 ， )，那么下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，则可以变形为 ．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】
解：设 ，则可以变形为 ．
A、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
B、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
C、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
D、 ， ，该选项错误，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数
表示出来，实现约分求值．4．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约
为（ ）．
A．1000m B．1000cm C．100m D．100cm
【答案】A
【分析】
根据比例尺的定义可求得实际长度．
【详解】
解：根据题意可知 ，
所以 ，
解得，实际长度=100000cm=1000m，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，掌握比例尺= 是解题的关键．
5．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根据比例的性值计算即可；
【详解】
∵ ，
∴ ；
故答案选B．【点睛】
本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
6．若点 为线段 的黄金分割点，且 ，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由黄金分割点的定义得AC= AB，AB：AC=AC：BC，则AB= AC，BC=AB-AC=
AB，即可得出结论．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC= AB，AB：AC=AC：BC，
∴AB= AC，BC=AB-AC= AB，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
7．若三条线段a、b、c的长满足 ，则将这三条线段首尾顺次相连（ ）A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形
C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形
【答案】D
【分析】
根据比例线段和三角形三边关系解答即可．
【详解】
解：∵三条线段a、b、c的长满足 ，
∴设 ， ，则
∵
∴不能围成三角形，
故选：D．
【点睛】
此题考查了比例线段，关键是根据比例线段和三角形三边关系解答．
8．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
根据 ，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，代入 进行计算即可．
【详解】
解： （k≠0），
则x＝2k，y＝7k，z＝5k，
∴ ＝ ，故选：C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．
9．若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．
【详解】
由比例的性质，由 得 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
10．已知点 是线段 的黄金分割点， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】
∵点 是线段 的黄金分割点， ，
∴ ，
令 ，∴ ，
，
∴ ；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
11．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，（ ），那么
D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】
对于A、B选项，设 ，则 ， ，分别代入验证左右两端是否相等即可；
对于C、D选项，设 ，则 ， ， ，分别代入计算，验证
两边是否相等即可．
【详解】解：A：设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知 也成立，故B不符合题意；
C：设 ，则 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
D：设 ，则 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．
12．已知点 是线段 的黄金分割点（ ）， ，那么 的长约为（）
A．0.618 B．1.382 C．1.236 D．0.764
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，由题意知AP是较长线段；则AP= AB，代入数据即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点 是线段 的黄金分割点（ ），
∴AP= AB= ≈1.236
故选：C
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
13．点B把线段AC分成两部分，如果 ＝k，那么k的值为（ ）
A． B． C． ＋1 D． －1
【答案】B
【分析】
设AC=1，由题意得AB=k，BC= ，由AC=AB+ BC=1得到关于 的一元二次方程，解方程即
可．
【详解】
设AC=1，
∵ =k，且 ，
∴AB=k，BC= ，
∵AC=AB+ BC=1，∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
，
∴ (负值舍去)，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关
键．
14．若ad=bc，则下列不成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．
【详解】
A 由 可以得到ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
B、由 可得：（a-c）b=（b-d）a，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
C、由 可得（a+b）d=（c+d）b，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
D、由 ，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c，不能得到ad=bc，故本选项错误，符合题意
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．
15．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点
G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段
GN的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割数”，
把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点
D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的
长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ，AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，∴ 即 ，
解得CD= ，
∴ = = ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积
公式，求出DC和AF的长是解题的关键．
16．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cm
C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm
【答案】D
【分析】
根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每
一项进行分析即可．
【详解】
解：A、2×8≠4×6，故本选项错误；
B、10×40≠20×30，故选项错误；
C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误；
D、20×60=30×40，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和
最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
17．下列命题判断正确的有（ ）
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，那么 ；
②如果点 是线段 的中点，那么 ；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析即可．
【详解】
①根据第四比例项的概念，可知说法正确；
②如果点C是线段AB的中点， ，所以 ，说法错误；
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC ，那么AC是AB与BC的比例中项，说
法正确．
故选：C．
【点睛】
本题考察比例中项、黄金分割知识，解题关键是掌握黄金分割的定义．
18．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】
解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2× ＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段
的 ，较长的线段＝原线段的 ．
19．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴ = = ，
故选B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题的关键．
20．点B是线段AC的黄金分割点，且AB BC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC= AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．
【详解】
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC= AC，
∵AC=4，
∴BC= ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB
和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄
金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
21．若 ，则下列不正确是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据比例设x＝2k，y＝3k，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：∵ ，
∴设x＝2k，y＝3k，A、 ，故本选项结论正确；
B、 ，故本选项结论正确；
C、 ，故本选项结论错误；
D、 ，故本选项结论正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解是解题的关键．
22．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则AC等于（ ）
A． ﹣1 B． C．3﹣ D．
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的
倍，计算即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，AC＜BC，
∴BC=2× =
∴AC=AB-BC=2-( -1)=3- ；
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 倍，较长
的线段=原线段的 倍．
23．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠
近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40 ﹣40）cm B．（80 ﹣40）cm
C．（120﹣40 ）cm D．（80 ﹣160）cm
【答案】D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝40 40，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80 40 40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80 160，
故选：D．
【点睛】
此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较
短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比．
24．若2x＝5y，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用内项之积等于外项之积进行判断．
【详解】
解：∵2x＝5y，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比
性质，合分比性质，等比性质）．
25．如图，在正方形 中，点 是对角线 的中点， 是线段 上的动点（不
与点 ， 重合）， 交 于点 ， 于点 ．则对于下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中错误结论的个数是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
连接PD，证明△PBC≌△PDC得出∠PBC=∠PDE，PB=PD，证出∠PDE=∠PED，得出PD=PE，因
此PE=PB，①正确；由等腰三角形的性质得出DF=EF，②正确；作PH⊥AD于点H，则 得出
，即 ，得出 ，③正确；证出
PF∥AD，得出 ，由DF≠CE得出 ，④错误；即可得出结论．
【详解】
连接PD，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△PBC和△PDC中， ，
∴△PBC≌△PDC（SAS）
∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∴PE=PB，①正确；
∵PD=PE，PF⊥CD，
∴DF=EF，②正确；作PH⊥AD于点H，如图2所示：
则
∴ ，即 ，
∴ ，③正确；
∵PF⊥CD，AD⊥CD，
∴PF∥AD，
∴ ，
∵DF≠CE，
∴ ，④错误；
错误结论的个数有1个；
故答案为：B．
【点睛】
本题是四边形的综合题目，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、等腰三角形
的判定与性质等知识；解题的关键是掌握本题的辅助线的作法．
26．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为
）．如图，P为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，
那么较长线段 的长度为_______ ．【答案】6.18
【分析】
根据黄金分割点的意义计算即可
【详解】
如图，∵P为 的黄金分割点（ ），且 = ，
∴AP：AB= ，
∴AP=0.618×10=6.18（cm），
故答案为：6．18．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的基本定义，准确理解定义，根据定义列式计算是解题的关键．
27．若 ≠0，则 ＝__．
【答案】
【分析】
设 ＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入求值即可得到答案．
【详解】设 ＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键．
28．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如
图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
【答案】 ﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD= BC，然后表示出BD、DE的
长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝ BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣ BC＝ BC，
∴DE＝BE﹣BD＝ BC﹣ BC＝( ﹣2)AB，∴△ADE与△ABC的面积之比＝ ＝ ＝ ＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC
的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分
割点．其中AC= AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
29．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形 内，点E
是 的黄金分割点， ，若 ，则 长为_________．【答案】
【分析】
直接根据黄金分割的定义求解．
【详解】
∵点E是 的黄金分割点， ，且 ，
∴BE= = ,
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的数量关系式是解题的关键．
30．已知点C是线段 的黄金分割点，且 ，则 _______．
【答案】
【分析】
利用黄金分割点的概念进行解答即可．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC>BC
∴
∴BC=AB-AC=2-( )= ．故填： ．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全
线段与较短线段的比例中项．
31．已知线段x、y满足 求 的值．
【答案】 ．
【分析】
利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为 ，然后解一
元二次方程，即可求解．
【详解】
解： ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴ ．
【点睛】
本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，
注意x、y的非负性．
32．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1） 的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．【答案】（1） ；（2）x＝4，y＝6，z＝8．
【分析】
（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出
x，y，z的值．
【详解】
解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝ ＝ ；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．
33．已知，2x＝3y＝5z，求 的值．
【答案】
【分析】
设 ，则 ， ， ，代入代数式化简计算即可．
【详解】
解：设 ，
则 ， ， ，∴ ．
【点睛】
本题考察比例的基本性质，利用设k法是解题的关键．
34．已知 ，且 ，求 的值
【答案】 ， ， ．
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案．
【详解】
∵ ， ，
∴设 ， ， ，
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∴ ， ， ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出 ， ， 是解题关键．
35．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CD AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交
AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC ，利用勾股定理得到AD ，所以AE ，则AB
，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【详解】
解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD ，
∴DE＝DC ，
∵AD= ，
∴AE＝AD﹣DE ，
∴AB ， BC ，即 ，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【点评】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC
的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金
分割点．求出线段长是解决问题的关键
36．（1）已知线段 是线段 、 的比例中项，如果 ， ，求 的长度．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据线段比例中项的定义即可得；
（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．
【详解】
（1）由题意得： ，即 ，
将 代入得： ，
解得 ；
（2）由 得： ，
整理得： ，即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解
题关键．
37．已知 ，且 ，求 的值．
【答案】15．
【分析】
先根据比例式设 ，再根据 求出k的值，从而
可得 的值，然后代入求值即可得．
【详解】
由题意设 ，
，
，
解得 ，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握“设 法”是解题
关键．
38．若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
【答案】3
【分析】
直接利用已知条件得到b=2a，进而代入求出答案．
【详解】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
39．已知 ，求 的值．
【答案】-1
【分析】
设a=2k，b=3k，再代入比例式计算即可得解．
【详解】
解：∵ ，
∴设a=2k，b=3k，
∴ = = =-1．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
40．已知 ，且 ．
（1）求 的值．
（2）若 ， 是方程 的两根，求 的值．
【答案】（1）3；（2）7
【分析】
（1）根据比例线段的性质得出 ， ， ，再代入要求的式子，然后进行
解答即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求得 ， ，利用完全平方公式变
形，再代入计算即可求解．
【详解】
（1） ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴一元二次方程为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根式，
∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式，关
键是熟知一元二次方程根与系数的关系： ，
41．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．
【答案】a＝6，b＝9，c＝15
【分析】先设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=24，即可求得a、b、c的值．
【详解】
设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），则
6k-3k+5k=24，
解得k=3．
则a=2k=6，
b=3k=9，
c=5k=15．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
42．已知a，b，c是 ABC的三边，满足 ，且 ．
△
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【答案】（1） ， ， ；（2）
【分析】
根据 ，且 ，根据比例的性质可得a，b，c的值；
（2）根据比例中项的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴ ，
∴ ，
【点睛】
本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．
43．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上， ，且 ，求PQ的长．
【答案】24
【分析】
根据 ＝ ，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长.
【详解】
设AP＝3x，BP＝2x，
∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，
∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.
∵ ＝ ，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y，
∴ ，
解得y＝20，
∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.
【点睛】
本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关
键．
44．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知点 是线段 的黄金分割点，且 ， ，求 的长度【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先得出 ，再代值约分即得．
（2）根据黄金分割短线段与整条线段比值为 即得．
【详解】
（1）∵
∴
∴
（2）∵点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查分式求值、黄金分割，应用转化思想将不同字母转化为相同字母表示是约分求值
的技巧，黄金分割长线段比全线段的比值为 ．45．如果 ，试求k的值.
【答案】k的值为 或-1.
【分析】
根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）
k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解．
【详解】
由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k，c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k，
故a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k，当a＋b＋c＋d 时， ，
当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，所以k＝－1，
故k的值为 或-1.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握．
46．如图，在 中， 是 的中点， 是 边延长线上的点，连结 交 于
点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
过点 作 交 于 ，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到， ，利用等量代换得到答案．
【详解】
证明：过点 作 交 于 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系
是解题的关键．
47．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点
E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝
EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，
若不是请说明理由．【答案】是，证明见解析
【分析】
设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变
性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
【详解】
解：M是AB的黄金分割点，理由如下：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE＝1
∴AE ，
∵EF＝BE＝1，
∴AF＝AE﹣EF 1，
∴AM＝AF 1，
∴AM：AB＝（ 1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
【点评】
本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成
两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分
割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
48．在△ABC中，AB＝AC＝6 ，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，
AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中
点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度
的最大值．
【答案】（1） ；（2）是，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1中，连接BE，CF．由AB＝AC＝6 ，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可求 AD
＝BD＝DC＝6，由△AEF是等腰直角三角形， AE：DE＝2：1，可求AE＝4，DE＝2，可证
△BAE≌△CAF（SAS），由中位线GH＝ CF＝ ．
（2）理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．由AB＝AC，AE＝AF，∠BAC
＝∠EAF＝90°，可证 BAE≌△CAF（SAS），可得CF⊥BE，可证GH∥CF，DG∥BE，可得
DG⊥GH， △
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．由题意AJ＝JC＝3 ，AB＝6 ，由勾股
定理BJ＝ ＝3 ，由三边关系BG≤BJ+JG，BG≤3
+2即可
【详解】
解：（1）如图1中，连接BE，CF．∵AB＝AC＝6 ，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴BC＝ ＝12，BD＝CD＝6，
∴AD＝BD＝DC＝6，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF
∵∠DAH＝45°，
∴∠FAH=90°-∠DAH＝45°，
∴EH＝HF，
∵AE：DE＝2：1，AE+DE=6，
∴AE＝4，DE＝2，
∴BE＝ ，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2 ，
∵EG＝CG，EH＝FH，
∴GH＝ CF＝ ．
（2）结论：∠DGH＝90°是定值．理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠AJB＝∠CJO，
∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，
∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC，
∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG∥BE，
∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．由题意AJ＝JC＝3 ，AB＝6 ，
∵∠BAJ＝90°，
∴BJ＝ ＝3 ，
∵AJ＝JC，EG＝CG，
∴JG＝ AE＝2，
∵BG≤BJ+JG，
∴BG≤3 +2，
∴BG的最大值为3 +2．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，图形旋转变换，线段比例，中位线性质，三角形全等判定
与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握等腰直角三角形性质，图形旋转变换，线段比
例，中位线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，利用辅助线准确
构图是解题关键．
