专题21双角平分线（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题21 双角平分线 1．如图，已知 ， ， 平分 ， 平分 ，求 和 的度数． 【解答】解： ， 平分 又 平分 2．如图， 在直线 上，射线 平分 ，射线 在 内． （1）若 ，求证：射线 是 的平分线； （2）若 ， ，求 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， 射线 平分 ， ， ， 射线 是 的平分线； （2）解： ， 设 ，则 ，， ， 射线 平分 ， ， ， ， 解得： ， ． 3．如图， 是 内的一条射线， 、 分别平分 、 ． （1）若 ， ，求 的度数； （2）若 ， ，试猜想 与 、 的数量关系并说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ； （2） ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ，． 4．已知 ． （1）如图1所示，若 、 分别平分 和 ，若 ，则 的度数是 ； （2）如图2所示，若 、 分别平分 和 ， ，求 的度数； （3）若 、 分别平分 和 ， ，则 的度数是 ． 【解答】解：（1）由题知 ， ； （2）由题知 ； （3）①若 或 至少有一个在 内部时， 则 ； ②若 和 都在 外部时（如右图）， 则 ， 综上 的度数为 或 ． 5．如图， ， 、 分别平分 、 ，如果 ． （1）求 的度数；（2）求 的度数． 【解答】解：（1） ， 平分 ， 又 ， ； （2） 平分 ， ． ． 6．如图， 是平角， ， 平分 ， 平分 ． （1）求 的度数． （2）若 ，求 的度数． 【解答】解：（1） 点 、 、 在一条直线上，即 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ； （2） ， 平分 ， ， 平分 ， ， ．7．如图， 是 的平分线， 是 的平分线． （1）若 ， ，那么 是多少度？ （2）若 ， ，那么 是多少度？ 【解答】解：（1） 是 的平分线， ； 是 的平分线， ， ； （2） 是 的平分线， ， ， 是 的平分线， ． 8．已知，如图， ， ， 、 在 上，且满足 ， 平分 ， （1）求 的度数 （2）若向右平行移动 ，其他条件不变，那么 的值是否发生变化？若变化，找出 其中的规律，若不变，求出这个比值 （3）若向右平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？若存在，请直接写 出 的度数，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1） ， ，平分 ， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ，是定值； （3）在 和 中， ， ， ， 、 、 是 的四等分线， ， ， 故存在某种情况，使 ，此时 ． 9．（1）在图一上过点 分别画出直线 、直线 的垂线（直接画出，不必写出做法）； （2）在图二中， ， 都是直角，射线 ， 分别平分 和 ．若 ，求 的度数． 【解答】解：（1）如图，（2） ， 分别平分 和 ， ， 都是直角， ， ， ． 10．如图， 是 的平分线， 是 的平分线． （1）如果 ， ，则 的度数为 ； （2）如果 ，求 的度数． 【解答】解：（1） ， ， ， 是 的平分线， ， ， 是 的平分线， ， 故答案为： ； （2） 平分 ， 平分 ， 所以 11．如图， 是 的平分线， 是 的平分线．如果 ， ，那么 是多少度？ 【解答】解： 是 的平分线， 是 的平分线， ， ， ， ， ． 12．如图，在同一平面内 ， ， 平分 ， 平分 ． （1）求 的度数； （2）如果将题目中 改成 ，其他条件不变，你能求出 的度 数吗？若能，写出求解过程若不能，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ； （2） ， ， ， 、 平分 ， ， ， ， ． 13．已知 为一条射线， 平分 ， 平分 ．（1）如图1，当 ， 为 内部任意一条射线时， ； （2）如图2，当 ， 旋转到 的外部时， ； （3）如图3，当 ， 旋转到 的外部时，求 ，请借助图3 填空． 解：因为 平分 ， 平分 所以 ， （依据是 所以 ． 【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ， ， ， ． 故答案为： ； （2） 平分 ， 平分 ， ， ， ． 故答案为： ； （3）因为 平分 ， 平分 ，所以 ， （角平分线定义）， 所以 ， ， ． 故答案为：角平分线定义， ， ， ． 14．如图， 是 的平分线， 是 的平分线． （1）如图1，当 是直角， 时，求 的度数是多少？ （2）如图2，当 ， 时，尝试发现 与 的数量关系； （3）如图3，当 ， 时， ①猜想： 与 、 有数量关系吗？直接写出结论即可； ②当 时，直接写出 、 之间的数量关系． 【解答】解（1） 是直角， ， ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ．（2） ， ， ， ， ． （3）① ； ② 或 ． 15．点 为直线 上一点，在直线 同侧任作射线 ， ，使得 ． （1）如图1，过点 作射线 ，使 为 的角平分线，当 时， 的度数 为 ； （2）如图2，过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平 分 ，求 的度数； （3）过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，当 时，求 的度数． 【解答】解：（1） ， ， ， 为 的角平分线， ， ； （2） ， ， 为 的角平分线， 平分 ，， ， ； （3）分两种情况： 当 在 的内部时，如图： ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， ， ； 当 在 的外部时，如图： ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， ，； 综上所述， 的度数为 或 ． 16．如图①，若线段 ，点 是线段 上一动点，点 ， 分别是线段 ， 的中 点． （1）求线段 的长度． （2）如图①，若线段 ，点 是线段 上一动点，点 ， 分别是线段 ， 的 中点，则线段 的长为 （用含字母 的式子表示）； （3）如图②，若 ，射线 是 内部一条射线，射线 ， 分别平分 ， ，求 （用含字母 的式子表示）． 【解答】解：（1） 、 分别是线段 、 的中点， ， ， ； （2） 、 分别是线段 、 的中点， ， ， ． 故答案为： ； （3） 射线 、 分别平分 、 ， ， ， ． 17 ． 如 图 1 ， 已 知 ， ， 在 内 ， 在 内 ，， ．（本题中所有角均大于 且小于等于 （1）如图2，当 绕点 逆时针旋转到 与 重合时，则 10 0 ； （2）如图3，当 从图2中的位置绕点 逆时针旋转 （即 时，求 的 度数； （3）当 从图2中的位置绕点 逆时针旋转 （即 ， 且 ，其 中 为正整数）时，则 ． 【解答】解：（1） ， ， ， ； 故答案为：100； （2） ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当 时，如图1，， ， ， ； ②当 时，如图2， ， ， ， ； ③当 时，如图3， ， ， ，； 综上所述： 的度数为 ． 故答案为：100． 18．将一副三角板如图1摆放， ， ， 平分 ， 平分 ． （1） ； （2）将图1的三角板 绕点 逆时针旋转 度至图2位置． ①当 时，求 的度数； ②当 时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系． 【解答】解：（1） ， 平分 ， ， ， 平分 ， ， ． 故答案为： ． （2）① ， ， ， ， 平分 和 平分 ， ， ， ； ②由题意可知， ， ， ， ，平分 和 平分 ， ， ， ． 19．已知： ，作射线 ， 为 平分线；将射线 绕点 逆时针旋转 得 到射线 ．设 ． （1）如图1，射线 在 内部，当 时，求 的度数； （2）随着 度数的变化，当 时，求 的值． 【解答】解：（1）如图1， 平分 ， ， ， ， 由旋转可知， ， ； （2）如图，当射线 在 内部时， 平分 ， ， ， ， ， ，， ，解得 ； 如图，当射线 在 外部时， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ，解得 ； 综上， 的值为 或 ． 20．如图1，把 放置在量角器上， 与量角器的中心重合，射线 、 分别对准刻度 和 ，将射线 绕点 逆时针旋转 得到射线 ． （1） 3 6 度； （2）求出 的度数； （3）小红在图1的基础上，在 内部任意做一条射线 ，并分别做出了 和 的 平分线 和 ，如图2，发现 在 内部的不同位置， 的度数都是一个定值，请 你求出这个定值． 【解答】解：（1）由图可得， ． 故答案为：36；（2）由题意得， ， ． 答： 的度数是 ； （3） 和 的平分线是 和 ， ， ， ． 当 在 内部的不同位置时， 的度数都是一个定值是 ． 21．（1）特例感知：如图①，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动（点 不超过点 ，点 不超过点 ，点 和点 分别是 ， 的中点． ①若 ，则 1 6 ； ②线段 运动时，试判断线段 的长度是否发生变化？如果不变，请求出 的长度，如果变 化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动， 射线 和射线 分别平分 和 ． ①若 ， ，求 度． ②请你猜想 ， 和 三个角有怎样的数量关系．请说明理由． （3）类比探究：如图③， 在 内部转动，若 ， ， ，用含有 的式子表示 的度数．（直接写出计算结果） 【解答】解：（1）① ， ， ， ， 点 和点 分别是 ， 的中点， ， ．． ． 故答案为：16． ②不变，理由如下： 点 和点 分别是 ， 的中点， ， ，． ． 又 ， ， ． ． ． （2）① 和 分别平分 和 ， ， ． ． 又 ， ， ． ． ． 故答案为：90． ② ．理由如下： 和 分别平分 和 ， ， ． ．． ． （3） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．已知，如图，从点 引出 ， ， ， 四条射线， ， 分别是 ， 的角平分线． （1）如图1，若 ， ， ，求 的度数． ①依题意补全图1； ②完成下面解答过程． 解：如图1， 平分 ， 平分 ， ， ． 角平分线的定义 ， ， ， ， ， ， ． ． （2）如图2，若 ， ， ，则 的度数是 ． （3）如图2，若 ， ，则 的度数是 ．（用含 ， 的式子表示）【解答】解：（1）①补全图形如图1， ②如图1， 平分 ， 平分 ， ， ．（角平分线的定义） ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：角平分线的定义； ； ． （2）如图2， 平分 ， 平分 ， ， ．（角平分线的定义） ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为： ． （3） 平分 ， 平分 ，， ．（角平分线的定义） ， ， ， ， ， ． ． 23．如图所示， ， ， 是以直线 上一点 为端点的三条射线，且 ， ， ．射线 从 处开始出发，绕点 逆时针匀速旋转，旋转速度为每 秒5度；射线 从 处开始出发，绕点 顺时针匀速旋转．两条射线同时开始旋转（当射线 旋转至与射线 重合时， 、 同时停止运动），旋转时间为 秒．（旋转速度 旋转角 度 旋转时间） （1）当 1 0 秒，射线 平分 时； （2）若射线 的旋转速度为每秒4度时，请求出当 时，射线 旋转的时间； （3）若射线 的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线 ， ， 中的某 一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的 的值，若不存在， 请说明理由．【解答】解：（1） 作 的角平分线 此时 的运动时间 （秒 （2） ， ， 由题意可得， ， ①如图所示： ②如图所示：此时 停止运动时间 ， 以上两种情况均符合 当 时， 的旋转时间为 或 秒 （3）存在． 或 24．已知：如图1， ， ． （1）求 的度数； （2）如图2，若射线 从 开始绕点 以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线 从 开始绕点 以每秒旋转 的速度逆时针旋转；其中射线 到达 后立即改变运动方向，以相同 速度绕 点顺时针旋转，当射线 到达 时，射线 ， 同时停止运动，设旋转的时间为 秒，当 时，试求 的值； （3）如图3，若射线 从 开始绕 点逆时针旋转一周，作 平分 ， 平分 ， 试求在运动过程中， 的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1） ， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ① 逆时针运动时，即 时， 由 ， 的运动可知， ， ， ， 相 遇 前 ， 如 图 2 （ 1 ） ， ， 即 ，解得 ， ， 相遇后，如图2（2）， ，即 ，解 得 ； ② 顺时针旋转时， ， ，， 相遇前，如图（3）， ，即 ， 解得 ， ， 相遇后，如图（4）， ，即 ， 解得 ， 综上，当 的值为5，10，12.5或13.75时， ． （3）由（1）知 ， 根据射线 的运动，需要分四种情况， ①当射线 与 重合前，如图3（1）， 平分 ， 平分 ， ， ， ； ②当射线 与 重合后， 前，如图3（2）， 平分 ， 平分 ， ， ， ； ③ 前，如图3（3），平分 ， 平分 ， ， ， ； ④ 与 重合前，如图3（4）， 平分 ， 平分 ， ， ， ； 综上， 的度数为 或 ．