专题3.4幂函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）_专题3.4幂函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料

专题 3.4 幂函数 练基础 1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ） A．幂函数y=x-1是奇函数 B．幂函数y=x2是偶函数 C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 D．y= 既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C 【解析】 根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】 因为 ， ，所以A正确； 因为 ，所以B正确； 因为 不恒成立，所以C不正确； 因为 定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确. 故选：C. 2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的函数是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 A: 为偶函数，且在 上递增，即 在 上单调递减，排除； B: 为偶函数，在 上单调递增； C: 为奇函数，故排除；D: 为奇函数，故排除. 故选:B. 3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数 在 上为增函数， 则实数 的值为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【解析】 由题意 为幂函数，所以 ，解得 或 . 因为 在 上为增函数，所以 ，即 ，所以 . 故选D. 4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数 的四种说法，其中错误的叙述是( ) A． 的定义域和值域相等 B． 的图象关于原点中心对称 C． 在定义域上是减函数 D． 是奇函数 【答案】C 【解析】 ，函数的定义域和值域均为 ，A正确； ， ，函数为奇函数，故BD正确； 在 和 是减函数，但在 不是减函数，C错误. 故选：C. 5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数 的图像经过点 ，则该函数的图像（ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【答案】B【解析】 设 ，依题意可得 ，解得 ， 所以 ，因为 ， 所以 为偶函数，其图象关于 轴对称. 故选：B. 6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数 的图像过点 ，则方程 的解是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 依题意得 ，解得 ，所以 ， 由 得 ，解得 . 故选：A. 7．（2021·浙江高一期末）幂函数 在 为增函数，则 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【解析】 由幂函数解析式的形式可构造方程求得 或 ，分别验证两种情况下 在 上的单调 性即可得到结果. 【详解】 为幂函数， ，解得： 或 ；当 时， ，则 在 上为减函数，不合题意； 当 时， ，则 在 上为增函数，符合题意； 综上所述： . 故选：B. 8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ） A．幂函数图象一定过原点 B．当 时，幂函数 是减函数 C．当 时，幂函数 是增函数 D．函数 既是二次函数，也是幂函数 【答案】D 【解析】 由函数 的性质，可判定A、B不正确；根据函数 可判定C不正确；根据二次函数和幂函数的 定义，可判定D正确. 【详解】 由题意，函数 的图象不过原点，故A不正确； 函数 在 及 上是减函数，故B不正确； 函数 在 上是减函数，在 上是增函数，故C不正确； 根据幂函数的定义，可得函数 是二次函数，也是幂函数，所以D正确. 故选：D. 9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ） A．[-1，+∞) B．[0，+∞) C．(-∞，+∞) D．(-∞，0) 【答案】B【解析】 根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可. 【详解】 设幂函数为f(x)=xα， 因为幂函数的图象过点(3， )， 所以f(3)=3α= = ， 解得α= ， 所以f(x)= ， 所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞). 故选：B 10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A．幂函数的图象都过 点 B．幂函数的图象都不经过第四象限 C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】 举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】 因为 ，所以的幂函数都经过 ，故A正确； 当 时， ，幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确； 的定义域为 ，为非奇非偶函数，故C错误； 在 和 上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误. 故选：AB 练提升 TIDHNE1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的 大小关系是( ) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】D 【解析】 ∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝ >b＝ . ∵y＝ x是减函数，∴a＝ ＜c＝ ，∴b＜a＜c. 故本题答案为D. 1 1 m 2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，且 a=m2 ，b=( ) ， 3 c=−log 3，则a、b、c的大小关系是（ ） m A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b 【答案】C 【解析】 幂函数 的图象过点 ， f(x)=xm (2,4) ∴2m＝4，m＝2； ∴ 1 ， a=m2=√2>1 1 m 1 b=( ) = ∈(0,1)， 3 9 c=−log 3＝﹣log3＜0， m 2 1 ∴√2＞ ＞−log3， 2 9 ∴a>b>c． 故选：C． 3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数 满足 ，若 ，， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由 可求得 ，得出 单调递增，根据单调性即可得出大小. 【详解】 由 可得 ，∴ ， ∴ ，即 .由此可知函数 在 上单调递增. 而由换底公式可得 ， ， ， ∵ ，∴ ，于是 ， 又∵ ，∴ ，故 ， ， 的大小关系是 . 故选：C. 4．（2021·安徽高三二模（理））函数 ，其中 ， ， 为奇数，其图象大致为 （ ） A． B．C． D． 【答案】B 【解析】 分析 在 、 上的函数值符号，及该函数在 上的单调性，结合排除法可得出合 适的选项. 【详解】 对任意 ， ，由于 ， 为奇数，当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ，排除AC选项； 当 时，任取 、 且 ，则 ， ，所以 ， 所以，函数 在 上为增函数，排除D选项. 故选：B. 5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数 ， 满足 ，且 ，则下列选项正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解. 【详解】 解：∵函数 ，在 时单调递增，且 ，∴ ，故A正确；∵函数 ，在 时单调递减，且 ，∴ ，故B错误； 当 时， ，故C错误； 当 时， ，故D错误； 故选：A. f x x 6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数 图像经过点(4,2)，则下列命题正确的 有（ ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 f x  f x   x x  1 2  f 1 2   C．若 x1 ，则 f x1 D．若0 x  x ，则 2  2  . 1 2 【答案】ACD 【解析】 1 = 将点(4,2)代入函数 f x x 得：2=4，则 2. 1 所以 f(x) x2， f x [0,) 显然 在定义域 上为增函数，所以A正确. f x [0,) f x 的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以B不正确. x1 x 1 f x1 当 时， ，即 ，所以C正确. 0 x  x 当若 1 2时， f x  f x  x x x  x x x ( 1 2 )2  f( 1 2)2 ( 1 2 )2 ( 1 2 )2 = . 2 2 2 2x x 2 x x x x 1 2 1 2  1 2 = . 4 2 2 x x x x ( x  x )2 1 2 1 2  1 2 0 = = . 4 4 f x  f x   x x  1 2  f 1 2   即 2  2  成立，所以D正确. 故选：ACD. 7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有 一个实数解，且幂函数 在 上单调递增，则实数 的取值可能是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AD 【解析】 作出 的图象，根据方程根的个数判断参数 的取值，再结合函数 在 上单调递增， 即可求解出结果． 【详解】 当 时， ， ，当 时 ，当 时 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 ； 所以 的图象如图所示，因为 有且仅有一个实数解，即 的图象 与 有且只有一个交点，所以 ， 又因为 在 上单调递增，所以 ，所以 .故选：AD 8.（2019·上海高考模拟）设 {1 1 }，若 为偶函数，则 ______． α∈ , ,−1,−2,3 f (x)=xα α= 3 2 【答案】−2 【解析】 由题可知， 时， ，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数； α=−2 f (x)=x−2 1 1 α= , ,−1,3时，不满足f(-x)=f(x), 3 2 ∴α=−2． 故答案为：−2． 9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在 上函数值随着x的增大而减小. （1）求m值. （2）若满足 ，求a的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由题意可知 为负偶数，且 ，即可求得m值； （2）将所求不等式化为 ，求解，即可得出结果. 【详解】 （1）因为函数 在 上单调递减，所以 ， 解得 . 又因为 ，所以 ， ； 因为函数的图象关于 轴对称， 所以 为偶数，故 . （2）由（1）可知， ，所以得 ，解得 或 ， 即a的取值范围为 . 10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数 在 上单调递增，函数 ． （1）求m的值； （2）当 时，记 的值域分别为集合A，B，设 ，若p是q成立的必要 条件，求实数k的取值范围． （3）设 ，且 在 上单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 （1）由幂函数的定义 ，再结合单调性即得解. （2）求解 ， 的值域，得到集合 ， ，转化命题 是 成立的必要条件为 ，列出不等 关系，即得解. （3）由（1）可得 ，根据二次函数的性质，分类讨论 和 两种情况，取并集即可得解. 【详解】 （1）由幂函数的定义得： ， 或 ， 当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当 时， 在 上单调递增，符合题意； 综上可知： . （2）由（1）得： ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 由命题 是 成立的必要条件，则 ，显然 ，则 ，即 ， 所以实数k的取值范围为： . （3）由（1）可得 ，二次函数的开口向上，对称轴为 ， 要使 在 上单调递增，如图所示： 或 即 或 ，解得： 或 .所以实数k的取值范围为： 练真题 TIDHNE 1.（2019·全国高考真题（理））若a>b，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】 a 2,b1 ab ln(ab)0 93a 3b 3 取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 a1,b2 1 a  b 2 y  x3 ，满足ab， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数，ab，所以 a3 b3 ，故选C． 2．（2020·天津高考真题）已知函数 若函数 恰有4 个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根 即可， 令 ，即 与 的图象有 个不同交点.因为 ， 当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意； 当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 （负值舍去），所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D. 3.（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】【解析】 先求 ，再根据奇函数求 【详解】 ，因为 为奇函数，所以 故答案为： 4. (2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ . 【答案】-1 【解析】∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0， 故α＝－1. 5.（浙江省高考真题（文））已知函数 ，则 ， 的 最小值是 ． 【答案】 【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知 . 6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点． 若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________． 【答案】－1或【解析】 试题分析：设点 ，则 令 令 （1）当 时， 时 取得最小值 ， ，解得 （2）当 时， 在区间 上单调递增，所以当 时， 取得最小值 ，解得 综上可知： 或 所以答案应填：-1或 .