专题3.4幂函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题3.4 幂函数 y  x,y  x2 1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 新课程考试要求 1 1 y  ,y  x2 y  x3,y  x1 x ， 的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. 培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、 核心素养 直观想象（例2.3.4）等核心数学素养. 1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和 性质； 考向预测 2.幂函数的图象与性质的应用. 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 性质 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【考点分类剖析】 考点一 ：幂函数的概念 例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数. 【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) .(4)－1±. 【解析】 (1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则，∴m＝. (4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 【总结提升】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、 y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【解析】 利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】 当 时，函数y＝ 的定义域为 ，不是R，所以 不成立； 当 时，函数y＝ 的定义域为 ，不是R，所以 不成立； 当 或 时，满足函数y＝xα的定义域为R， 故选：A. 考点二 ：幂函数的图象 yxa y  xb y  xc y  xd 例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数 ， ， ， 在同一坐标系中的部分图 a b c d 象如图，则 、 、 、 的大小关系正确的是（ ）A．ab1 B．a1b 0bc 0d c C． D． 【答案】B 【解析】 x1 由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大， a 1b0cd 0 可得 . 故选：B. y  x1,y  xm y  xn m n 例3.若幂函数 与 在第一象限的图象如图所示，则 与 的取值情况为 （ ） 1m0n1 1n0m 1m0n 1n0m1 A. B. C. D. 【答案】D y  xm，y  xn，y  x，y 1 （0，1） x 【解析】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 0 ， x x 作直线 0 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知 0＜m＜1，1＜n＜0， 如图， 故选D．例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数 的图像过点 ，则 ________， _________． 【答案】 【解析】 将点的坐标代入解析式求解即可. 【详解】 由题意知， ，所以可得 ，所以 ，可知 . 故答案为： ； 【总结提升】 1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象 限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减 性即可． 2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析 式，进一步解题. 【变式探究】 4 1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数y  x3的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】 4  y  x3  3 x4 ，  该函数的定义域为R，所以排除C； 因为函数为偶函数，所以排除D； 4  1 4 又 3 ，y  x3在第一象限内的图像与y =x2 的图像类似，排除B. 故选A． 1 1 ,2,2, 2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数y  xn 的部分图像,已知n取2 2 这四个值,则于曲线 C ,C ,C ,C n 1 2 3 4相对应的 依次为( ) 1 1 1 1 2, , ,2 2, , ,2 A． 2 2 B． 2 2 1 1 1 1  ,2,2, 2, ,2, C． 2 2 D． 2 2 【答案】A 【解析】 1 方法一 曲线 C ,C 过点 0,0,1,1 ，且在第一象限单调递增，n0，n为2 ,2 .显然 C 对应y =x2 ， 1 2 1 1 C 对应y  x 1 2.曲线 C ,C 过点 1,1 ，且在第一象限单调递减，n0，n为  2 ,2 .显然C 对应 2 3 4 31  y  x 2，C 对应y =x-2. 4 2 1 1 1  y 4,y  2,y  ,y  方法二 令x2，分别代入y  x2,y  x2,y  x 2,y  x2，得 1 2 3 2 4 4 ， 1 2 3 4 y  y  y  y 1 2 3 4， 1 1 2, , ,2 所以曲线 C ,C ,C ,C 相对应的n依次为 2 2 . 1 2 3 4 A 故选： . 3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） (0,0) (1,1) A．幂函数的图像过 和 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限 y  xn nN* C．当n0时， 是增函数 D．yx0 的图像是一条直线 【答案】B 【解析】 (1,1) (0,0) y  x1 幂函数的图像都过点 ,但不一定过点 ，如 ，所以A错； x0 y  x0 因为当 时 ，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对； 当n0时， y  xn nN* 不一是增函数，如 y =x2 在(,0]上单调递减，所以C错； yx0 (0,1) 的图像是一条去掉一点 的直线，所以D错. 故选:B 考点三 ：幂函数的性质 例5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在 上的幂函数 （ 为实数）过点 ，记 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】 首先求出 ，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到 ，即得解. 【详解】 由题得 . 函数 是 上的增函数. 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：A 例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数 ，经过点 ， 试确定 的值，并求满足条件 的实数 的取值范围. 【答案】 ， 的取值范围为 【解析】 先根据幂函数的定义求出 的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】 ∵幂函数 经过点 ， ∴ ， 即 ∴ = .解得 = 或 = .又∵ ，∴ = . ∴ ，则函数的定义域为 ，并且在定义域上为增函数. 由 得 解得 . ∴ 的取值范围为 . 例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数 在 上是减函数，则整数a的值是 ________． 【答案】2 【解析】 由 在 上是减函数，可得 ，进而可得结果. 【详解】 因为 在 上是减函数，所以 ， 解得 ，又函数为偶函数，且 ， 当 时， 为奇函数 当 时， 为偶函数 当 时， 为奇函数； 所以 故答案为：2 【方法技巧】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不 同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握 各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论 底数的不同取值情况. 【变式探究】  3 1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设 a  f    ，b 3    5  c f   ＝f（lnπ），  ，则a，b，c的大小关系为（ ） 4   A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【解析】 根据题意，点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，则有28＝3n+1，解可得n＝3； 则f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上为增函数， 5 3 5 4 3 3  ＜  ＜ 又由 4 12 12 3 1＜lnπ，则有c＜a＜b. 故选：D. yxa x(0,1) y  x 2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 的图像满足，当 时，在直线 的上方；当 x(1,) y  x a 时，在直线 的下方，则实数 的取值范围是_______________. 1 【答案】 【解析】 a1 yxa y  x 当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下由图可知，不满足题意 a1 yxa x y  x 当 时，幂函数 和直线 重合，不满足题意 0a1 yxa y  x 当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下 由图可知，满足题意 a0 yxa y  x 当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下 由图可知，满足题意 a0 yxa y  x 当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下由图可知，满足题意 1 综上， 1 故答案为 f(x)(m2 m1)xm 3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数 是幂函数，且 f(x) (0,) m 在 上单调递增，则实数 ________. 【答案】2 【解析】 ∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增， m2 m11  ∴ m＞0 ， 解得m＝2或-1（舍）． 故答案为2． 考点四：幂函数综合问题 例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 是幂函数，直线 过点 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得 ，有 且 ，进而可求 的取值范围. 【详解】 由 是幂函数，知： ，又 在 上， ∴ ，即 ，则 且 ， ∴ . 故选：D. 1 例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ x (x>0)图象上一动点． 2 若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________． 10 【答案】－1或 【解析】  1 P x, 设点   x   x0 ，则 2 2 1  1  1  1  1 PA  xa2  a  x2  2a x 2a2  x 2a x 2a2 2          x  x2  x  x  x1 t  x , x0,t 2 令 x gtt2 2at2a2 2ta2 a2 2 令 a2 t a g(t) gaa2 2  a2 2 2 2 a  10 （1）当 时， 时 取得最小值 ， ，解得 g(t) 2, g(t) a2 t 2 （2）当 时， 在区间 上单调递增，所以当 时， 取得最小值 g22a2 4a2  2a2 4a2 2 2 a1 ，解得 a1 a  10 综上可知： 或 10 所以答案应填：-1或 . f x  p2 3p3  x p2 3 2 p 1 2 f 2 f 4 例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数 满足 ． f x （1）求函数 的解析式； gx f 2xmf x,x1,9 gx m （2）若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为0？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由； hxn f x3 a,bab hx a,b a,b （3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？ n 若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．  9  1 n  ,2 【答案】（1） f x x2；（2）存在m1使得gx 的最小值为0；（3）   4   ． 【解析】 （1）∵ f x 为幂函数，∴ p2 3p31 ，∴ p 1 或 p 2 ． p 1 f x x1 0, 当 时， 在 上单调递减，f 2 f 4 故 不符合题意． 1 当 p 2时， f x x2  x 在0,上单调递增， f 2 f 4 f x x 故 ，符合题意．∴ ． gx xm x （2） ， x1,9 t1,3 gxt2 mt t1,3 t  x 令 ．∵ ，∴ ，∴ ， ． m  1 gx 当 2 时，t 1时， 有最小值， 1m0 m1 ∴ ， ． m m m2 ②当 1 2 3 时， t  2 时，gx 有最小值．∴  4 0 ，m0（舍）． m  3 gx ③当 2 时，t 3时， 有最小值， 93m0 m3 m1 ∴ ， （舍）．∴综上 ． hxn x3 （3） ， hx 易知 在定义域上单调递减， hab  n a3 b ∴ ，即 ，  hba h b3 a a3 S b3 t 令 ， ， nS t2 3  则 a  S2 3 ， bt2 3 ，∴ nt S2 3 ，∴ t2 S  S2 t ， tStS10 ∴ ．ab ∵ ， S t tS 10 t 1S ∴ ，∴ ，∴ ， a3 b3 1 ∴ ． 11  1 3a S  0,  ∵ab，∴ 4 ，∴  2， 2  1 9  9   S  n  ,2 ∴   ．∴  ． ntS2 3  S2 S2  2 4  4  【变式探究】   y  f x 8,2 2 1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数 的图象过点 ，则函数 f x1 f 2x 的最大值为（ ） 1 1 3   A．2 B． 2 C． 4 D．-1 【答案】C 【解析】 1 y  f x x  8,2 2  8=23=2 2= 设幂函数 ，图象过点 ，故 2 故 f x x ， f x1 f 2x x1x ，令 x1t，则 y t  1t2 ，t 0， 1 3 t  y  ∴ 2时， max 4 . 故选：C 2 2   2.（2020·上海高一课时练习）若(a1) 3 (32a) 3 ，求实数a的取值范围．  2 a , (4,)   【答案】  3 【解析】 2 1 f x x 3  由幂函数 3 x2 的定义域为(,0)(0,)， 1 1 f x   f x 且满足 3 (x)2 3 x2 ，所以函数 f x为偶函数， f x (,0) (0,) 又由幂函数的性质，可得函数 在 单调递增，在 单调递减， a1  32a  又由 ，则满足a10 ，解得 2 或 ，  2  2  32a 0 a (a1) 3 (32a) 3  3 a4 2 (, )(4,) 所以实数a的取值范围 3 ．