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专题3.23 弧长和扇形面积（知识讲解2）
【典型例题】
类型九、求圆锥侧面积
9、一个圆锥的侧面展开图是半径为 ，圆心角为120°的扇形，求：
（1）圆锥的底面半径；
（2）圆锥的全面积.
【答案】（1）圆锥的底面半径为 ；（2）
【分析】
（1）扇形的弧长公式= ，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求
出半径；
（2）S = ，（r=扇形半径即圆锥母线长，r=底面圆半径）将已知条件
圆锥 1 2
代入即可.
解：（1）设圆锥的底面半径为 ，
扇形的弧长 ，
∴
解得， ，即圆锥的底面半径为 ；
（2）圆锥的全面积【点拨】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面
展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.
【变式1】“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立
体结构图．已知底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高
，求出这个陀螺的表面积（结果保留 ）．
【答案】
【分析】
用勾股定理计算出 的长，算出圆柱底面积加上圆柱侧面积，再加上圆锥的侧面积
即可．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ．
∴所求表面积
．【点拨】本题开考查了圆柱和圆锥组合体的表面积计算，勾股定理；关键在于结合图
形正确的选出要求的面，不要多选．
【变式2】如图，已知圆锥的底面积为 ，高 ，求该圆锥的侧面展开
图的面积（结果保留 ）．
【答案】
【分析】
先求出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理求出AB的长，利用扇形的面积公式即可
求解
由题意可知： ，
圆锥的底面半径 ，
圆锥的侧面展开图的弧长等圆锥底面圆的周长
圆锥的侧面展开图的弧长
圆锥的侧面展开图的面积为
【点拨】本题利用了圆周长公式和扇形的面积公式求解，熟练掌握圆锥侧面展开图与
底面圆的关系，牢记公式是解题关键．
类型十、求圆锥底面半径
10、如图，将弧长为 ，圆心角为120°的扇形纸片 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 与 重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥
的侧面积．
【答案】圆锥的底面圆半径为3；圆锥的侧面积为 ．
【分析】
直接利用圆的周长公式即可求出圆的半径长，根据扇形的面积公式即可求出圆锥的侧
面展开图的面积；
设圆锥的底面圆的半径为 ，则 ，解得 ，
设扇形 的半径为 ，则 ，解得 ，
∴圆锥的侧面积 ．
【点拨】本题考查了圆锥的展开图问题，正确以及圆的周长公式以及扇形面积公式是
解题的关键；
【变式1】如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，
4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数
为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保
留根号）【答案】（1）（-2，0）；（2） ，90；（3）
【分析】
（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D
即为该圆弧所在圆的圆心；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定
理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为 ，根据题意列得 ，求解即可．
解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；
（2）圆D的半径长：AD=CD= ，
∵AC= ，∴ ， ，
∴ ，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
故答案为： ，90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为 ，
则 ，
解得 ．
【点拨】本题考查圆的对称性，勾股定理及其逆定理、扇形弧长公式，正确理解圆锥
的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
【变式2】如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清
楚），并连接AD、CD．
（2）⊙D的半径为 （结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ；
【答案】（1）图见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据垂进定理，作出AB、BC的垂直平分线交点为圆心D．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．（3）根据圆锥特点，先求出 的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，
便可解答．
解：（1）
（2）⊙D的半径AD
（3）根据图上信息，可知道
的长度l= =
扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．
圆锥的底面圆半径
【点拨】本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．
类型十一、求圆锥的高
11、如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成
一个圆锥(接缝处不重叠),求这个圆锥的高.
【答案】3 cm.
【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长为=8π cm,
所以圆锥的底面半径r＝4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可
解:∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形,
∴留下的扇形的弧长为 =8π cm,
根据圆锥底面圆的周长等于扇形弧长,
∴圆锥的底面半径r= =4 cm,
∴圆锥的高为 =3 cm.
【点拨】本题主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直
角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类
题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．
【变式1】如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使
扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥形纸帽的高．
【答案】圆锥形纸帽的高为6 .
【解析】
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r,可得底面圆的周长即为 ，可得r，设扇形AOB的半径
为R，可得R的值，由勾股定理可求出圆锥形纸帽的高
解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝6π，解得r＝3，设扇形AOB的半径为R，则 ＝6π，解得R＝9，
所以圆锥形纸帽的高＝ ＝6 ．
【点拨】本题主要考查圆锥的性质及相关计算.
【变式2】如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先利用扇形面积公式求出扇形半径，再利用扇形弧长公式求出弧长；
（2）先画出图形，求出圆锥的底面圆的半径，再利用勾股定理求高即可．
解：（1）设扇形的半径为R，
根据题意，得
∴R2=900，
∵R＞0，
∴R=30．
∴扇形的弧长= ．
答：扇形的弧长为 ．
（2）设圆锥的底面半径为r，
根据题意，得 ，
∴ ．∴圆锥的高h= ．
答：圆锥的高为 ．
．
【点拨】本题综合考查了扇形的面积公式、扇形弧长公式、勾股定理等内容，要求学
生明白圆锥的高、母线和半径组成了一个直角三角形，同时牢记求解步骤、熟记相关公式
等．
类型十二、求圆锥侧面展开图的圆心角
12、（1）解方程: ；
（2）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径
，高 ，求这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．
【答案】（1） ；（2）这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为
216°
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用勾股定理求出母线BC的长，即为侧面展开图的半径，然后求出底面圆的周
长，即求出侧面展开图的弧长，然后利用弧长公式即可求出结论．
解：（1）
a=2，b=-7，c=3
∴x=
解得： ；
（2）该圆锥侧面展开图的半径BC=
侧面展开图的弧长即为底面圆的周长为 cm
∴侧面展开图的圆心角的度数为
答：这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为216°．
【点拨】此题考查的是解一元二次方程和圆锥侧面展开图，掌握利用公式法解一元二
次方程和弧长公式是解题关键．
【变式1】如图，已知圆锥的底面半径 为 ，母线长为 ．求它的侧面展开
扇形的圆心角的度数和它的全面积．
【答案】90°，
【分析】
根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．
解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：， ，
∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．
全面积＝底面积＋展开侧面积，
全面积为： ．
【点拨】本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面
圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．
【变式2】圆锥母线长6cm，底面圆半径为3cm，求它的侧面展开图的圆心角度数．
【答案】180°
【分析】
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形
的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式列方程求解即
可．
解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得2π•3＝ ，
解得：n＝180，
即它的侧面展开图的圆心角度数为180°．
【点拨】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
类型十三、圆锥的实际应用
13、如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆
的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．【答案】
【分析】
根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．
解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为 ．
【点拨】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于
圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程．
【变式1】一个圆锥形小麦堆.底面直径是 米，高 分米.把这些小麦装在底面半径
为 米的圆柱形粮仓里，能装多高？
【答案】高 米.
【分析】
先根据圆锥的体积公式求出谷堆的体积．因为这些谷子的体积是不变的，利用谷堆的
体积除以圆柱的底面积就是堆成的圆柱形谷堆的高度．
解： 分米= 米
（米）
答：高 米.
【点拨】解答此题的关键是求圆锥形谷堆的体积和粮囤的底面面积．【变式2】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长
10cm.求：圆锥的母长．
【答案】圆锥的母线长为 cm.
【解析】
【分析】
根据题目信息，作出图形，设大圆锥的母线长为l，圆台的上下底面半径分别为r，
R，接下来结合已知中线段之间的关系，据此即可表示出小圆锥的母线长；然后利用平行
线分线段成比例定理可得 ，据此即可求出l的长，问题便可解答.
设圆锥的母线长为 ，圆台上、下底半径为 .
答：圆锥的母线长为 cm.
【点拨】本题是一道关于圆锥的相关计算的题目，解答本题的关键是熟练掌握圆锥与
圆台的相关知识；类型十四、求圆锥最短路径问题
14、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B
出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多
少？
【答案】
【分析】
结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．
如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形 ，
此时弧 的长为底面圆周长的一半，故 ，
由 ， ，则 ，
作 ，此时 即为蚂蚁爬行的最短路径，
在 中， ．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形
的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．
【变式1】已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h= cm,现在有一只蚂蚁从底边
上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】
【分析】
蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长
后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质
求解．
解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h= cm，
∴由勾股定理可得母线l= =80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π= .
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'= =80 cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80 cm．【点拨】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求
解．
【变式2】圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆
锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
【答案】6
【解析】
【分析】
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得
出结果．
∵圆锥的底面半径为1，
∴底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π= ,
解得n=60，
所以展开图中的圆心角为60°．
所以它爬行的最短路线长为6．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形
的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成
扇形，“化曲面为平面”，来解决．
