专题3.4幂函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题3.4 幂函数 y  x,y  x2 1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 新课程考试要求 1 1 y  ,y  x2 y  x3,y  x1 x ， 的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. 培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、 核心素养 直观想象（例2.3.4）等核心数学素养. 1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和 性质； 考向预测 2.幂函数的图象与性质的应用. 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 性质 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【考点分类剖析】 考点一 ：幂函数的概念 例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数. 【总结提升】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 考点二 ：幂函数的图象 yxa y  xb y  xc y  xd 例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数 ， ， ， 在同一坐标系中的部分图 a b c d 象如图，则 、 、 、 的大小关系正确的是（ ） A．ab1 B．a1b 0bc 0d c C． D． y  x1,y  xm y  xn m n 例3.若幂函数 与 在第一象限的图象如图所示，则 与 的取值情况为 （ ） 1m0n1 1n0m 1m0n 1n0m1 A. B. C. D. 例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数 的图像过点 ，则 ________， _________．【总结提升】 1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象 限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减 性即可． 2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析 式，进一步解题. 【变式探究】 4 1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数y  x3的图像大致是（ ） A． B． C． D． 1 1 ,2,2, 2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数y  xn 的部分图像,已知n取2 2 这四个值,则于曲线 C ,C ,C ,C n 1 2 3 4相对应的 依次为( )1 1 1 1 2, , ,2 2, , ,2 A． 2 2 B． 2 2 1 1 1 1  ,2,2, 2, ,2, C． 2 2 D． 2 2 3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） (0,0) (1,1) A．幂函数的图像过 和 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限 y  xn nN* C．当n0时， 是增函数 D．yx0 的图像是一条直线 考点三 ：幂函数的性质 例5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在 上的幂函数 （ 为实数）过点 ，记 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数 ，经过点 ， 试确定 的值，并求满足条件 的实数 的取值范围. 例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数 在 上是减函数，则整数a的值是 ________． 【方法技巧】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不 同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握 各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论 底数的不同取值情况. 【变式探究】  3 1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设 a  f    ，b 3   5  c f   ＝f（lnπ），  ，则a，b，c的大小关系为（ ） 4   A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b yxa x(0,1) y  x 2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 的图像满足，当 时，在直线 的上方；当 x(1,) y  x a 时，在直线 的下方，则实数 的取值范围是_______________. f(x)(m2 m1)xm 3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数 是幂函数，且 f(x) (0,) m 在 上单调递增，则实数 ________. 考点四：幂函数综合问题 例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 是幂函数，直线 过点 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1 例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ x (x>0)图象上一动点． 2 若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________． f x  p2 3p3  x p2 3 2 p 1 2 f 2 f 4 例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数 满足 ． f x （1）求函数 的解析式； gx f 2xmf x,x1,9 gx m （2）若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为0？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由；hxn f x3 a,bab hx a,b a,b （3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？ n 若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式探究】   y  f x 8,2 2 1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数 的图象过点 ，则函数 f x1 f 2x 的最大值为（ ） 1 1 3   A．2 B． 2 C． 4 D．-1 2 2   2.（2020·上海高一课时练习）若(a1) 3 (32a) 3 ，求实数a的取值范围．