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专题 3.2 圆（专项练习）
一、单选题
类型一、圆中弦的条数
1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有
( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）
条弦.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
类型二、圆中最长的弦
4．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
5． 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（
）A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
类型三、求一点到圆上点距离最值
7．已知直线l：y＝kx和直线l：y＝kx﹣8k 在同一个坐标系内互相垂直，垂足为P，在此
1 2 2 2
坐标系有一个固定的点Q（﹣2，﹣8），下面关于PQ的长描述正确的是（ ）
A．PQ最大值为16 B．PQ最大值为14
C．PQ最小值为8 D．PQ最小值为7
8．若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径
是（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
9．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为 ，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，
且PA、PB与 轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为
（ ）
A．3 B．14 C．6 D．8
类型四、点与圆的位置关系
10．已知 的半径为1，点 与圆心 的距离为 ，且关于 的方程 无实数
根，则点 在 （ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则
（ ）
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与⊙O的位置关系无法确定
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（ ）
A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定
类型五、点与圆的位置关系求半径
13．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知 ，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点
在圆内，那么半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（
）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
类型六、已知半径和圆上的两点作圆
16．已知点 是数轴上一定点，点 是数轴上一动点，点 表示的实数为 ，点 所表示
的实数为 ，作以 为圆心， 为半径的 ，若点 在 外，则 的值可能是（）.
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、圆中弦的条数
17．如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有
___条．
18．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
19．如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.类型二、圆中最长的弦
20．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的
直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.
21．如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O
上动点，则△OPC的面积的最大值是_____cm2．
22．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直
线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直
线与x轴的夹角等于_____°．
类型三、求一点到圆上点距离最值
23．已知 及点P，点P到圆的最大距离为8，点P到圆的最小距离为6，则 的半径
为_________．24．如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标是 ，点 是 上一点， 的半径
为2，连接 ，则线段OB的最小值为__________．
类型四、点与圆的位置关系
25．已知P为⊙O外的一点，P到⊙O上的点的最大距离为6，最小距离为2．若AB为⊙O
内一条长为1的弦，则点P到AB的距离的最大值为_____，最小值为_____．
26．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，
PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的
最小值为_______．
27．观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？
点A在圆内，OA_________r，
点B在圆上，OB________r，
点C在圆外，OC________r．
类型五、点与圆的位置关系求半径28．如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 、 (m＞0)，点P在
以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是
_________________．
29．在 中， ，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，
连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为______，最小为_______．
30．如图，在矩形 中， ，以顶点 为圆心作半径为 的圆．若要求另
外三个顶点 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 的取值范围是
_______．
类型六、已知半径和圆上的两点作圆
31．如图，在 中， ， ， ，以 为圆心， 长为半径的
圆弧交 于点 ．若 、 、 三点中只有一点以 为圆心的 内，则 的半径 的
取值范围是____．32．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝
4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为_____．
33．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是
上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
三、解答题
34．阅读下列材料：
平面上两点P（x，y），P（x，y）之间的距离表示为 ，称
1 1 1 2 2 2
为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，
b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为 ，变形
可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．
例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根
据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．
35．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过
点 ，顶点为M．
（1）写出M点的坐标，并指出函数y最值？求a的值．
（2）以AB为直径画 ，试判定点D与 的位置关系，并证明．
36．已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、
CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．
（1）求证： ；
（2）联结EG，如果 ，求证： ．参考答案
1．B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点拨】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．
2．B
【解析】
根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦.
故选B.
3．B
解：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．
解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，
图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．
故选B．
考点：圆的认识．
4．B
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选B.
【点拨】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．5．D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
解：∵圆中最长的弦为直径，
∴ ．
∴故选D．
【点拨】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
6．D
【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为 cm.
故选D.
7．B
【分析】由题意可得：直线l：y＝kx经过O（0，0）和直线l：y＝kx﹣8k 经过A（8，
1 2 2 2
0）两直线垂直，且交于点P，点P在以OA为直径的圆上，圆心C（4，0），半径为4，
由此进行求解即可得到答案．
解：解：由题意可得：直线l：y＝kx经过O（0，0）和直线l：y＝kx﹣8k 经过A（8，
1 2 2 2
0）
∵两直线垂直，且交于点P，
∴点P在以OA为直径的圆上，圆心C（4，0），半径为4，
∵ ，
∴PQ的最大值=10+4=14，PQ的最小值=10-4=6，
故选B．
【点拨】本题主要考查了两直线相交的问题，解题的关键在于能够准确确定P点的运动轨
迹．
8．C
【分析】由于点 与 的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：解：设 的半径为 ，
当点 在圆外时， ；
当点 在 内时， ．
综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．【点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的
关键．
9．B
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接
OM，交⊙M于点P′，当点P位于P＇位置时，O P＇取得最小值，据此即可求解AB的最
大值．
解：解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°．
∵点A与点B关于原点O对称，
∴AO＝BO．
∴AB＝2OP．
若要使AB取得最大值，则OP需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P＇，当点P位于P
＇位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3，MQ＝4，
由勾股定理得：OM＝5．
∵MP＇＝2，
∴OP＇＝3．
∵P在OP＇ 的延长线与⊙M的交点上时，OP取最大值，
∴OP的最大值为3＋2×2＝7．
则AB的最大值为7×2＝14．
故选：B．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半得出AB取得最大值时点P的位置．
10．C
【分析】根据一元二次方程根的情况，判断d的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系．
解：解：∵关于 的方程 没有实根，
∴4－4d＜0，即d＞1；
又∵⊙O的半径为1，d＞r，
∴点 在 外．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别
方法和判断点与圆的位置关系的方法是本题解题关键．
11．A
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
解：解：∵点A（4，3）到圆心O的距离 ，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 ，点到圆心的距
离为 ，则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内，也
考查了勾股定理的应用．
12．C
【分析】欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则
点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
解：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ，
有勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，
∴r＜d，
∴点C在⊙B外．
故选：C．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，含 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌
握直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题
的关键．
13．D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
解：∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距
离及半径的大小关系，难度不大．
14．C
【分析】由于 ， ，当以点 为圆心 为半径作圆，如果点 、点 只有一个
点在圆内时，那么点 在圆内，而点 不在圆内．当点 在圆内时点 到点 的距离小于
圆的半径，点 在圆上或圆外时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半
径的取值范围．
解：解：当点 在圆内时点 到点 的距离小于圆的半径，即： ；
点 在圆上或圆外时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即： ；
即 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．
15．D
【分析】先利用勾股定理计算出OP=5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范
围．
解：∵点P的坐标为（3，4），∴OP 5．
∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞5．
故选D．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，
反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
16．A【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
解：∵B在 外，
∴AB＞2，
∴ ＞2，
∴b＞ 或b＜ ，
∴b可能是-1.
故选A．
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
17．1 3 4 4
解：圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣
弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
18．无数 一
【分析】根据弦和直径的定义求解．
解：过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【点拨】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
19．2
解：弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点A. B. E. C是⊙O上的点，图中的弦有
BC、CE，一共2条.
故答案为2.
20．
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出
OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
解：解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有， ，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入 ，解得： ，
∵点A在第一象限，
∴ ，
∴点A为： .
故答案为： .
【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是
利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.
21．9
【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S ＝ OC•PH＝3PH，则当
△OPC
PH最大时，S 有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S 有最大
△OPC △OPC
值9．
解：解：作PH⊥AB于H，如图，
∴OC=OB＋BC= AB+BC=6
∵S ＝ OC•PH＝ ×6×PH＝3PH，
△OPC
∴当PH最大时，S 有最大值，
△OPC
∵PH≤OP，
∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S 有最大值9，
△OPC
即△OPC的面积的最大值是9cm2．
故答案为9．【点拨】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问
题是解决此题的关键．
22．6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到
AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到
△AOB的面积的最大值= ×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于
90°．
解：解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝ ×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
23．1或7
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最
大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直
径，由此得解．
解：解：如图，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是14，因而半径是7；
②当点P在圆外时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是2，因而半径是1．
故此圆的半径为1或7，
故答案为：1或7．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
24．3．
【分析】由图可知，线段OA与圆的交点为B时，OB值最小，过点A作 轴，过点B
作 轴，根据勾股定理求出OA，即可得到结果；
解：由图可知，线段OA与圆的交点为B时，OB值最小，过点A作 轴，过点B作
轴，
∵点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵半径为2，
∴ ．
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了圆的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．
25． 0
【分析】根据圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式，可得所求.
解：解：如图，由题意设直线OP交⊙O于C，D，则PD＝6，PC＝2，CD＝4，
当线段AB⊥线段CD于H时，点P到AB的距离最大，、
在Rt△AOH中，∵OA＝2，AH＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P到AB的最大距离为 ，
当A、B、P在同一直线上时，点P到AB的距离最小，最小值为0，
故答案为 ，0．
【点拨】本题考查圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式.
26．18
【分析】连接OP，因为PA⊥PB，所以在 中AB＝2PO，若要使AB取得最小值，
则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
据此求解即可得．
解：解：如图所示，连接OP，∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关于圆点对称的点的坐标和勾股定理，解题的关
键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
27．＜ = ＞
解：略
28．
【分析】根据题意，先计算AB、AC的长，结合直角三角形斜边中线的性质，得到
，再利用勾股定理解得AD的长，根据点与圆的位置关系得到AP最
长与AP最短的值，继而解得m的值．
解：连接AP，作射线AD，由题意得，AB= ，AC=
，D(4，5)
当点P在线段AD的延长线上时，AP最长，即AP=5+1=6；
当点P在线段AD上时，AP最短，即AP=5-1=4，
的取值范围是： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，涉及直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，
是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．3 2
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以
及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
解：解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB= =5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE= AB=2.5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME= AD=0.5．
∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3．∴最小值为2，最大值为3，
故答案为：3，2．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
30．1＜r＜
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判
断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1，
则BD= ，
由图可知1＜r＜ ，
故答案为：1＜r＜ ．
【点拨】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉
勾股定理，及点与圆的位置关系．
31．
【分析】解直角三角形得到AB的长，然后由B，C，D与⊙A的位置，确定⊙A的半径的
取值范围．
解：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4， ，
则AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
∵B、C、D三点中只有一点在⊙A内，∴⊙A的半径r的取值范围是 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆
心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；
当d＜r时，点在圆内．
32．2 ﹣2
【分析】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据
全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
根据勾股定理即可得到结论．
解：解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，
∴CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，
由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵CD＝4，DG＝2，
∴CG＝ ＝2
∴CP＝CG﹣PG＝2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周
角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点．
33． .
解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P，在半圆上取P，连接AP ，EP ，可见，
2 1 1 1
AP +EP ＞AE，即AP 是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
1 1 2
试题解析：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P，在半圆上取P，连接AP ，EP ，
2 1 1 1
可见，AP +EP ＞AE，
1 1
即AP 是AP的最小值，
2
∵AE= ，PE=1，
2
∴AP = .
2
【考点】1.勾股定理；2.线段的性质：3.两点之间线段最短；4.等腰直角三角形．
34．（1） ；（2）点A在⊙C的内部．
【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可；
（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然
后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与
圆的位置关系．
解：解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），∴ ，
故答案为 ；
（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部．
【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基
本知识是解题关键．
35．（1） ，最小值为 ， ；（2）点D在 上，理由见解析
【分析】（1）根据二次函数顶点式求法直接的出二次函数的顶点坐标以及二次函数的最值；
把 代入 直接求出a的值；
（2）首先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出P点的坐标，得出PE=4，DE=3，从
而得出PD的长，判断出D与 的位置关系．
解：解：（1）∵抛物线 ，
∴顶点为 ；
∴该函数有最小值，最小值为 ；
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
（2）点D在 上，理由如下：∵ ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵以AB为直径画 ，
∴ ，即 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴PD与 的半径相等，
∴点D在 上．
【点拨】此题主要考查了二次函数的最值以及顶点式和点与圆的位置关系等知识，判定点
与圆的位置关系得出点与圆心距离等于半径是解决问题的关键．
36．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，则
∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；（2）联结EG，EG∥AB，又AD∥BC，四边形ABGE是平行四边形，则AE=BG=BD，由
（1）得△BDE∽△ADB，得到 ，即BD2=AD•DE，则可得出结论．
解：解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，
又在圆B中，BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∴∠ADB=∠ABD=∠BED，
∴△BDE∽△ADB；
（2）如图，
∵EG∥AB，又AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE=BG，
∵BG=BD，
∴AE=BD，
又由（1）得△BDE∽△ADB，
∴ ，
∴BD2=AD•DE，
又在菱形ABCD中，AD=BC，
∴AE2=DE•CB．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定
等内容，熟知各种判定定理是解题基础．
