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专题 3.2 几何动点问题
1．如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向匀速运动至
点 停止，已知点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 ， 的面积为
，若 关于 的函数图象如图2所示，则长方形 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解 动点 从点 出发，沿 、 、 运动至点 停止，
当点 在点 ， 之间运动时， 的面积随时间 的增大而增大，
由图2知，当 时，点 到达点 处，
；
当点 运动到点 ， 之间时， 的面积不变，
由图2可知，点 从点 运动到点 所用时间为 ，
，
长方形 的面积 ．
故选： ．
2．如图，在矩形 中， 、 ，直线 从点 出发，沿 方向以每
秒1个单位长度的速度运动，且该直线平行于对角线 ，与边 （或 、 （或
所在直线分别交于点 、 ，设直线 的运动时间为 （秒 ， 的面积为 ，则 关于 的函数图象是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ；
当 时， ，
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口方向向上，右边为抛
物线的一部分，开口方向向下．
故选： ．
3．如图，在边长为4的正方形 中剪去一个边长为2的小正方形 ，动点 从点
出发，沿多边形的边以 的路线匀速运动到点 时停止（不含
点 和点 ，则 的面积 随着时间 变化的图象大致为
A． B．C． D．
【解答】解：当点 在线段 上时，面积是逐渐增大的，
当点 在线段 上时，面积是定值不变，
当点 在线段 上时，面积是逐渐减小的，
当点 在线段 上时，面积是定值不变，
当点 在线段 上时，面积是逐渐减小的，
综上所述，选项 符合题意．
故选： ．
4．如图，正方形 的边长为2，点 是正方形 的对角线 上的一个动点（不
与 、 重合），作 于点 ，作 于点 ，设 的长为 ，四边形
的周长为 ，能大致表示 与 之间的函数图象的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得： 和 都是等腰直角三角形．
， ， 那 么 矩 形 的 周 长 等 于 2 个 正 方 形 的 边 长 ． 则，
故选： ．
5．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 由点 出
发，沿 向点 运动．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与
的函数关系图象如图②所示，则对角线 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时，
面积最大为3．
，即 ．
当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为0，此时
结合图象可知 点运动路径长为7，
．
则 ，代入 ，得 ，解得 或3，
，即 ，
， ．
，
．
故选： ．
6．如图， 次西安至成都东动车匀速穿越秦岭隧道（隧道长大于火车长），火车进入
隧道的时间 与火车在隧道内的长度 之间的关系用图象描述大致是A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间 与火车在隧道内的长度 之间的关系具
体可描述为：当火车开始进入时 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内 不变，当火车
开始出来时 逐渐变小，故反映到图象上应选 ．
故选： ．
7．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度
沿 着 运 动 ， 同 时 点 从 点 出 发 ， 以 每 秒 2 个 单 位 的 速 度 沿 着
运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设 ，时间为
，则 与 之间的函数图象大致为
A． B．
C． D．【解答】解：①当 时，此时，点 在 上，点 在 上，
由题意得： ，
．
．
，
此时函数的图象是以 和 为端点的线段；
②当 时，此时点 在 上，点 在 上，如图，
由题意得： ， ．
，
．
，
此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线 的抛物线的一段；
③当 时，此时点 ， 均在线段 上，
此时 ，函数图象为 轴上以 和 为端点的线段；
④当 时，此时点 在线段 上，点 在线段 上，如图，
由题意得： ， ．
．．
，
当 时， ．
此时的函数的图象是抛物线 上以 和 为端点的一段．
综上，符合上述特征的函数图象为 ，
故选： ．
8．如图，在矩形 中， ，对角线 ，动点 从点 出发，以
的速度沿折线 向终点 运动．设点 的运动时间为 ， 的面积为
，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是
A． B．
C． D．
【解答】解：在矩形 中， ，对角线 ，
，
当 时，
；
当 时，．
大致反映 与 之间函数关系的是选项 ．
故选： ．
9．如图1，在矩形 中，点 从点 出发，沿 方向运动至点 处停
止．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，已知 关于 的函数关系如图2所示，则
长方形 的面积为
A．15 B．20 C．25 D．30
【解答】解：动点 从点 出发，沿 、 、 运动至点 停止，而当点 运动到点
， 之间时， 的面积不变，
函数图象上横轴表示点 运动的路程， 时， 开始不变，说明 ， 时，接
着变化，说明 ．
长方形 的面积为： ．
故选： ．
10．如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向运动至点
处停止．设点 出发时的速度为每秒 ， 秒后点 改变速度，以每秒 向点 运动，
直到停止．图2是 的面积 与时间 的图象，则 的值是A． B． C．2 D．
【解答】解：由图象可知，当 时，点 在 上；当 时，点 在 上；
当 时，点 在 上．
则 ，
，
解得 ，
又 ，
即 ，
解得 ．
故选： ．
11．如图，点 是矩形 边上一动点，它从点 出发，沿 路径匀速
运动到点 ．已知点 是边 的中点， ， ．设 的面积为 ，点 的
路程为 ，则 与 之间函数关系的图象大致为A．
B．
C．
D．
【解答】解：①当 从 运动时， ， ，
此时 ；故选项 不合题意；
②当 从 运动时， ， ，
此时 ，故选项 不合题意；
③ 从 运动时，当 在 、 之间时， ， ，
此时 ，故选项 不合题意；
当 在 、 之间时， ， ，
，故选项 符合题意．
故选： ．
12．如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点 出发，点 以
每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿
的方向运动，到达点 时停止．设点 运动 （秒 时， 的面积为
，则 关于 的函数的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：点 从点 运动到点 ，用时 ，点 从点 到点 ，用时 ，从点 运
动到点 ，用时 ，从点 运动到点 ，用时 ，
与 的函数图象分三段：
①当 时，
， ，
，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项 和选项 ；
②当 时，点 在线段 上，
，
此时 ，③当 时，
，由此可排除选项 ．
故选： ．
13．如图，长方形 中， ， ，点 为边 上一动点，连接 ，随着
点 的运动，四边形 的面积也发生变化．
（1）写出四边形 的面积 与 的长 之间的关系式．
（2）当 时，求 的值．
（3）当四边形 的面积为35时，求 的长．
【解答】解：（1） 梯形的面积 （上底 下底） 高 ，
，
四边形 的面积 与 的长 之间的关系式为 ；
（2）当 时， ；
（3）由题可知 ，即 ，
解得： ，即 ，
．
14 ． 如 图 ① ， 在 矩 形 中 ， ， ， 点 从 出 发 ， 沿
路线运动，到 停止；点 从 出发，沿 路线运动，到
停止．若点 、点 同时出发，点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ， 秒时点 、点 同时改变速度，点 的速度变为每秒 ，点 的速度变为每秒 ，图②
是点 出发 秒后 的面积 与 （秒 的函数关系图象．
（1）根据图象得 6 ； ；
（2）设点 已行的路程为 ，点 还剩的路程为 ，请分别求出改变速度后，
、 和运动时间 （秒 的关系式，并写出自变量取值范围．
【解答】解：（1）观察图②得 ，
（秒 ，
当 时， 的面积为 ，此时 ，
（厘米 秒），
故答案为：6；2；
（2） ， ，动点 、 改变速度后 、 与出发后的运动时间 （秒 的函数
关系式为：
；
．15．如图1所示，在三角形 中， 是三角形的高，且 ， 点 是
上的一个动点，由点 向点 运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
（1）由图2知，点 运动的时间为 3 ，速度为 ，点 停止运动时距离点
；
（2）求在点 的运动过程中，三角形 的面积 与运动时间 之间的关系式；
（3）当点 停止运动后，求三角形 的面积．
【解答】解：（1）解：（1）根据题意和图象，可得 点运动的时间为 ，速度为 ．
当点 停止运动时， ，此时距离点 ，
故答案为：3，3，1；
（2）根据题意得 ，
即 ；
（3）当 时， ，
故 的面积为 ．
16．如图1，在在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，过点 在第
一象限内作 轴的平行线 ，动点 从点 出发以2个单位 秒的速度沿射线 方向运动， 出发1秒后，动点 、 同时从点 出发，以不同的速度 点运动速度大于 点
运动速度）沿 轴向点 运动，点 到达 点后立即返回，到点 停止运动，点 与点
运动到点 到达 时停止．图2是 的面积随 点运动时间 变化的函数图象；
（1）其中 90 ；点 的运动速度是 个单位 秒；点 的运动速度是 个单位
秒．
（2）补全图象并直接写出当 是以 为底的等腰三角形时相应的 值．（补全图象
时关键点坐标必须标注清楚）
【解答】解：（1）设点 速度为 个单位 秒，点 速度为 个单位 秒，
由图象2可得： 个单位 秒， ，
个单位 秒．
的面积 ，
故答案为：90，4，1；
（2） 是以 为底的等腰三角形，
点 在 的垂直平分线上，
，
如图所示；17．如图，正方形 边长 ，点 在边 上，且 ，点 从点 出
发，以 的速度在 、 之间往返匀速运动，同时，点 从点 出发，以 的
速度沿路径 匀速运动，当点 运动到点 时，两点都停止运动，设运动时间
为 （单位： ．在运动过程中 的面积 （单位： 随运动时间 的变化而变化．
（1）当点 运动到点 时，求 值及此时 的面积．
（2）在整个运动过程中，求 与 的关系式．
【解答】解：（1）①当点 第1次运动到点 时，点 运动的路程为 ，速度为
，
所以运动时间 ，
当 时，点 在 上，且 ，
，
的面积为 ，
②当点 第2次运动到点 时，点 运动的路程为 ，速度为 ，所以运动时间 ，
当 时，点 在 上，
的面积为 ，
答： 的值为 ， 的面积为 ； 的值为 ， 的面积为 ；
（2）当 时，点 在 上，点 在第1次前往 的路线上，
此时 ， ，
；
当 时，点 在 上，点 在第1次返回 的路线上，
此时 ， ，
；
当 时，点 在 上，点 返回 的路线上，
此时 ， 边 上的高为 ，
；
当 时，点 在 上，点 在第2次前往 的路线上，
此时 ， 边 上的高为 ，
；当 时，点 在 上，点 在第2次返回 的路线上，
此时 ， 边 上的高为 ，
；
综上所述， 与 的函数关系式为： ．
18．如图 1，在长方形 中， ， ，点 从 出发，沿
的路线运动，到 停止；点 从 点出发，沿 路线运动，
到 点停止．若 、 两点同时出发，速度分别为每秒 、 ， 秒时 、 两点同
时改变速度，分别变为每秒 、 、 两点速度改变后一直保持此速度，直到停
止），如图2是 的面积 和运动时间 （秒 的图象．
（1）求出 值；
（2）设点 已行的路程为 ，点 还剩的路程为 ，请分别求出改变速度后，
、 和运动时间 （秒 的关系式；
（3）求 、 两点都在 边上， 为何值时 、 两点相距 ？【解答】解：（1）由图象可知，当点 在 上运动时， 的面积保持不变，
则 秒时，点 在点 处，则
则
（2）由（1）6秒后点 变速，则点 已行的路程为
点 路 程 总 长 为 ， 第 6 秒 时 已 经 走 ， 点 还 剩 的 路 程 为
（3）当 、 两点相遇前相距 时，
解得
当 、 两点相遇后相距 时
解得 ，
当 或 时， 、 两点相距
