专题 3.5 导数的综合应用【八大题型】
【新高考专用】
1、导数的综合应用
导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，高
考中常涉及的问题有：不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数的零点（方程的根）问题
等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，但
主要以解答题为主，而在解答题中进行考查时试题难度较大，需要灵活求解.
【知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略】
1．不等式恒（能）成立问题的求解方法
解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题
①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等
式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．
② 恒成立 ；
恒成立 ；
能成立 ；
能成立 .
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题
分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进
行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一
段内的函数值不满足题意即可.
【知识点2 导数中的不等式证明的解题策略】
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点
处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用
导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以
传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处 g(x) ≥f(x) 恒成立，从而
min max
f(x)≤g(x)恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地， 与lnx要分离，常构造 与lnx， 与
的积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某 些 不 等 式 ， 直 接 构 造 函 数 不 易 求 其 最 值 ， 可 以 适 当 地 利 用 熟 知 的 函 数 不 等 式
等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以
利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
【知识点3 导数中的函数零点问题的解题策略】
1．函数零点（个数）问题的的常用方法(1)构造函数法：构造函数g( x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数
有多少个零点.
(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求
解.
2．导数中的含参函数零点（个数）问题
利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合
特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【知识点4 导数中的双变量问题的解题策略】
1．转化为同源函数解决双变量问题
此类问题一般是给出含有x ，x ，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式
1 2 1 2
相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
2．整体代换解决双变量问题
(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x，x 的式子.
1 2
(2)与极值点x ，x 有关的双变量问题：一般是根据x ，x 是方程f'(x)=0的两个根，确定x ，x 的关
1 2 1 2 1 2
系，再通过消元转化为只含有x 或x 的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为 x ，x 的齐次式，
1 2 1 2
然后转化为关于 的函数，把 看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问
题.
3．构造函数解决双变量问题的答题模板
第一步：分析题意，探究两变量的关系；
第二步：合二为一，变为单变量不等式；
第三步：构造函数；
第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；
第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.
【知识点5 导数在解决实际问题中的应用】
1．导数在解决实际问题中的应用
(1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求
解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学
问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.
(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本
不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.
(3)利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】
【例1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知 ，若 有两个零点，则实数 的取
f(x)=memx−lnx(m≥0) f(x) m
值范围为（ ）
A．( 1) B．( 1 )
0, 0,
e e2
C．(1 ,+∞ ) D．[ 1 ,+∞ )
e e2
【变式1-1】（2024·北京通州·二模）已知函数f (x)=¿，g(x)=xlnx，若关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
(f (x)−2)(g(x)−m)=0
( 1 ) ( 1 )
A． − ,0 B． − ,1 C．(0,+∞) D．(1,+∞)
e e
ex
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)= 的图象在点(0,f(0))处的切线方程为
ax+b
2x+ y+1=0．
(1)求a,b的值；
m
(2)若f(x)= 有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
2x−1【变式1-3】（2024·甘肃白银·一模）已知函数f (x)=tx2−2lnx−1.
(1)若曲线y=f (x)在x=2处的切线的斜率为3，求t.
(2)已知 恰有两个零点 .
f (x) x ,x (x <x )
1 2 1 2
①求t的取值范围；
②证明：x x 2−2lnt.
1+ 2<
x x t
2 1
【题型2 利用导数证明不等式】
【例2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数f (x)=mlnx−x+1.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当m=1时，证明：f (x)<ex−3x+1.
a
【变式2-1】（2024·云南大理·一模）已知函数f (x)=lnx+ −1.
x
(1)当a=1时，证明：f (x)≥0；
(2)若函数f (x)有极小值，且f (x)的极小值小于a−a2，求a的取值范围.
【变式2-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数f (x)=(ln|x|) 2 − ( x+ 1) +2，记f′(x)是f (x)的导函数.
x
(1)求 的值；
f′ (1)(2)求函数f (x)的单调区间；
(3)证明：当 x>1 时， (x−1) [ e−x+xln ( 1+ 1)] >lnx⋅ln(x+1) .
x
2
【变式2-3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f(x)=lnx+ −a(x+1)(a∈R).
x
(1)当a=−1时，讨论f(x)的单调性；
√ 1
(2)若x ,x (x <x )是f(x)的两个极值点，证明：f (x )−f (x )< −4．
1 2 1 2 2 1 2a
【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例3】（2024·四川达州·二模）当 时，不等式 恒成立，则 取值范围是（ ）
x≥0 ex−ax≥(x−1) 2 a
( 1]
A．(−∞,1] B． −∞,
e
C．(−∞，e] D．(−∞,3]
【变式3-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数f (x)=emx+(m−1)x−lnx(m∈R).若对任意x>0，都有
f (x)≥0，则实数m的取值范围为（ ）
A． [1 ,+∞ ) B． [2 ,+∞ ) C． [e ,+∞ ) D．[e,+∞)
e e 2
【变式3-2】（2024·四川内江·一模）已知函数f (x)=a(x+a)−ln(x+1)，a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)>1恒成立，求实数a的取值范围．a
【变式3-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+ .
x
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数 的值；
y=f (x) (1,f (1)) x+ y+b=0 b
(2)已知函数 a2，且对于任意 ， ，求实数 的取值范围.
g(x)=f (x)+ x∈(0,+∞) g(x)>0 a
x2
【题型4 利用导数研究存在性问题】
【例4】（2024·陕西安康·模拟预测）若存在 ，使得不等式 成立，则实数
x∈(0,+∞) a2x4+x≥eax2+ln2x
a的取值范围为（ ）
A． [ 1 ,+∞ ) B． [1 ,+∞ ) C． ( −∞, 1] D． ( −∞, 1 ]
2e e e 2e
lnx
【变式4-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= ,g(x)=axe−ax，若存在
x
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
x ∈(0,1),x ∈(−∞,0) f (x )=g(x ) a
1 2 1 2
A．(−∞,−2) B．(−2,−1) C．(−1,+∞) D．(0,+∞)
【变式4-2】（2024·四川乐山·三模）已知函数f (x)=ax+lnx−ax2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
x ∈(1,+∞) f (x )>0 a
0 0
【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 ， ，
f(x)=xlnx−ax2 g(x)=ax2−ax+1
ℎ(x)=f(x)+g(x)．[1 )
(1)讨论：当a∈(−∞,0]∪ ,+∞ 时，f(x)的极值点的个数；
2
(2)当a>1时，∃x∈(1,+∞)，使得ℎ(x)<(e−1)a−3e+3，求实数a的取值范围．
【题型5 利用导数研究双变量问题】
【例5】（2024·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足ea=−ae−2，b(lnb−2)=e4，其中e是自然对数的底
数，则ab的值为（ ）
A．−e B．−e2 C．−e3 D．−e4
【变式5-1】（2024·四川广安·模拟预测）已知0<x<y<π，且eysinx=exsin y，其中e为自然对数的底
数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．cosx+cos y<0 B．cosx+cos y>0
C．cosx>sin y D．sinx>sin y
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， .
f (x)=x(ex−a)−alnx a∈R
(1)当a=e时，求函数f (x)的单调区间与极值；
(2)若函数 有2个不同的零点 ， ，满足 ，求a的取值范围.
f (x) x x x ex 2>2x ex 1
1 2 2 1
x2
【变式5-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数f (x)= ，其中a>0．
eax
(1)若f (x)在(0,2]上单调递增，求a的取值范围；
(2)当 时，若 且 ，比较 与 的大小，并说明理由
a=1 x +x =4 0<x <2 f (x ) f (x )
1 2 1 1 2【题型6 导数中的极值偏移问题】
【例6】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x ,x ，且x <x ，则下列命
1 2 1 2
题正确的是（ ）
2
A．a>1 B．x +x <
1 2 a
1
C．x ⋅x <1 D．x −x > −1
1 2 2 1 a
x y
【变式6-1】（2024·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足yln =1− ，则下列结论一定
y x
正确的是（ ）
A．x+ y=1 B．xy=1
C．x+ y>2 D．0<x+ y<1
a
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=1−lnx− (a∈R)．
x
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
f (x) x x x <x x x2<e−a
1 2 1 2 1 2
m
【变式6-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)=x+ ．
ex
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明： ，且 ．
x ≠x f (x )=f (x )=2 0<m<e x +x <2
1 2 1 2 1 2
【题型7 导数在实际问题中的应用】
【例7】（2024·陕西·模拟预测）将一个体积为36π的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体
积的最大值为（ ）A．8√2 B．8√3 C．4√2 D．4√3
【变式7-1】（2024·海南海口·模拟预测）琼中蜂蜜是海南省琼中黎族苗族自治县特产.人们赞美蜜蜂是自然
界的建筑师，是因为蜜蜂建造的蜂房是以正六棱柱为单位的几何体.18世纪初，法国天文学家通过观测发
现蜜蜂蜂房的每个单位并非六棱柱.如图1，左侧的正六棱柱ABCDEF−A B C D E F 底面边长为a，
1 1 1 1 1 1
高为b.蜜蜂的蜂房实际形状是一个十面体，如图2，它的顶部是边长为a的正六边形，底部由三个全等的菱
形AGCB′，CGED′和EGAF′构成，其余侧面由6个全等的直角梯形构成，A A =CC =EE =b，
1 1 1
，蜜蜂的高明之处在于图2的构造在容积上与图1相等，但所用的材料最省.图2
B B′=D D′=F F′=c
1 1 1
中，b−c=（ ）
√3a √2a a √2a
A． B． C． D．
2 2 3 4
【变式7-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最
近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运
送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据：
√3≈1.7．）
(1)写出运输时间t(x)关于x的函数；
(2)当C选在何处时运输时间最短？【变式7-3】（23-24高二下·北京西城·期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C
（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是C(x)=10000+20x；销售收入S（单位：万
1
− x3+3x2+290x,0<x<120
元）与生产量x间的函数关系是S(x)={ 30 ．
25400,x≥120
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【题型8 导数中的新定义问题】
【例8】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数 在 上存在 ，使得
f (x) [a,b] x ,x (a<x <x <b)
1 2 1 2
f(b)−f(a) f(b)−f(a)
f ′(x )= ，f ′(x )= ，则称f (x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中x ,x 称为
1 b−a 2 b−a 1 2
f (x)在[a,b]上的中值点.
(1)判断函数f (x)=x3−3x2+1是否是[−1,3]上的“双中值函数”，并说明理由；
1
(2)已知函数f (x)= x2−xlnx−ax，存在m>n>0，使得f (m)=f (n)，且f (x)是[n,m]上的“双中值函
2
数”， x ,x 是f (x)在[n,m]上的中值点.
1 2
①求a的取值范围；
②证明：x +x >a+2.
1 2
【变式8-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数y=f (x),x∈D，如果存在常数M，对任意满足
x <x <⋯<x <x 的实数x ,x ,⋯,x ,x ，其中x ,x ,⋯,x ,x ∈D，都有不等式
1 2 n−1 n 1 2 n−1 n 1 2 n−1 nn
恒成立，则称函数 是“绝对差有界函数”
∑|f (x )−f (x )|≤M y=f (x),x∈D
i i−1
i=2
lnx 1
(1)函数f (x)= ,x≥ 是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；
x e
(2)对于函数 ，存在常数 ，对任意的 ，有 恒成
y=f (x),x∈[a,b] k x ,x ∈[a,b] |f (x )−f (x )|≤k|x −x |
1 2 1 2 1 2
立，求证：函数y=f (x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”
(3)判断函数f (x)=¿是不是“绝对差有界函数”？说明理由
【变式8-2】（2024·浙江绍兴·二模）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法.给定两个正整数m,n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：
R(x)=
a
0
+a
1
x+⋯+a
m
xm
，且满足： f(0)=R(0) ， f′ (0)=R′(0) ， f″ (0)=R″ (0) ，…，
1+b x+⋯+b xn
1 n
1+ax
f(m+n)(0)=R(m+n)(0). 已知f(x)=ex在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)= .注：f″ (x)=[f ′(x)] ′，
1+bx
f′′′ (x)=[f ′′(x)]′
，
f(4)(x)=[f′′′ (x)]′
，
f(5)(x)=[f(4)(x)]
′，…
(1)求实数a,b的值；
(2)当x∈(0,1)时，试比较f (x)与R(x)的大小，并证明；
1 1 1
(3)定义数列{a }：a = ，a ea n+1=ea n−1，求证： ≤a ≤ .
n 1 2 n 2n n 2n−1
【变式8-3】（23-24高三下·重庆·期中）若函数f (x)在定义域内存在两个不同的数x ,x ，同时满足
1 2，且 在点 处的切线斜率相同，则称 为“切合函数”
f (x )=f (x ) f (x) (x ,f (x )),(x ,f (x )) f (x)
1 2 1 1 2 2
(1)证明：f (x)=x3−2x为“切合函数”；
(2)若g(x)=xlnx−x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为x ,x ．
1 2
1
（ⅰ）求证：x x < ；
1 2 4
3
（ⅱ）求证：(a+1) 2x x −√x x < ．
1 2 1 2 4
1．（2023·全国·高考真题）函数f (x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,−3) C．(−4,−1) D．(−3,0)
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
f(x)=2x3−3ax2+1
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
(1,f(1)) y=f(x)
3．（2024·全国·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
y=x3−3x y=−(x−1) 2+a (0,+∞) a
范围为 ．
sinx π
4．（2023·全国·高考真题）已知函数f(x)=ax− ,x∈ ( 0, )
cos3x 2
(1)当a=8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围．sinx π
5．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=ax− ,x∈ ( 0, ) ．
cos2x 2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sinx<0，求a的取值范围．
6．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
f (x)=a(ex+a)−x
(1)讨论f (x)的单调性；
3
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ ．
2
7．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当0<x<1时，x−x2<sinx<x；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
f (x)=cosax−ln(1−x2) x=0 f (x)
(1 1)
8．（2023·天津·高考真题）已知函数f (x)= + ln(x+1)．
x 2
(1)求曲线y=f (x)在x=2处的切线斜率；
(2)求证：当x>0时，f (x)>1；
5 ( 1)
(3)证明： <ln(n!)− n+ lnn+n≤1．
6 29．（2024·全国·高考真题）已知函数f (x)=a(x−1)−lnx+1．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f (x)<ex−1恒成立．
10．（2024·全国·高考真题）已知函数f (x)=(1−ax)ln(1+x)−x．
(1)当a=−2时，求f (x)的极值；
(2)当x≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
11．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
f (x)=x+kln(1+x)(k≠0) l y=f (x) (t,f (t))(t>0)
处的切线．
(1)当k=−1时，求f (x)的单调区间.
(2)求证：l不经过点(0,0).
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
k=1 A(t,f (t))(t>0) C(0,f (t)) O(0,0) B l y S S
△ACO △ABO
△ACO与△ABO的面积．是否存在点A使得2S =15S 成立？若存在，这样的点A有几个？
△ACO △ABO
（参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95）
x
12．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数f(x)=ln +ax+b(x−1) 3
2−x
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
b=0 f′ (x)≥0 a(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>−2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．
13．（2024·天津·高考真题）已知函数f (x)=xlnx．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
y=f (x) (1,f (1))
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
f (x)≥a(x−√x) x∈(0,+∞) a
1
(3)若x 1 ,x 2 ∈(0,1)，求证： |f (x )−f (x )|≤|x −x |2 ．
1 2 1 2
14．（2024·上海·高考真题）记
M(a)={t∣t=f (x)−f (a),x≥a}，L(a)={t∣t=f (x)−f (a),x≤a}
(1)若f (x)=x2+1，求M(1)和L(1);
(2)若f (x)=x3−3x2，求证:对于任意a∈R，都有M(a)⊆[−4,+∞)，且存在a，使得−4∈M(a).
(3)已知定义在R上f (x)有最小值，求证"f (x)是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数c，均有
M(−c)=L(c)”.
