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专题3.29 《圆》中的切线证明专题（专项练习）
1．如图已知AB是⊙O的直径， ，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O
外， ．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
2．如图， 为 的直径， 切 于点 ，与 的延长线交于点 ， 交
延长线于点 ，连接 ， ，已知 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的半径．
（3）连接 ，求 的长．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O
经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
4．如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，
求证：AC是⊙O的切线．
5．如图， 是 的直径，延长 至点 ， ， ，点 是 上一点，延
长 交 于点 ，连结 、 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）求 的长度．（结果保留 ）6．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延
长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，
连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
8．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点
E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．9．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中
点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝ ．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝ ，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ＝ ＝ ，连接AD，过
点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为
D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．
12．如图，AB为 的直径，弦 ，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，
且 ．
（1）求证：直线BF是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．13．如图，已知 是等边三角形 的外接圆，点 在圆上，在 的延长线上有一点
,使 , 交 于 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： .
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，
AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．
15．如图，已知 的直径为 ， 于点 ， 与 相交于点 ，在 上取一点 ，使得 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）填空：
①当 ， 时，则 ___________．
②连接 ，当 的度数为________时，四边形 为正方形．
16．如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．17．如图，AB是⊙O的直径， 于点B，连接OC交⊙O于点E，弦 ，弦
于点G．
（1）求证：点E是弧BD的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若 ，⊙O的半径为5，求弦DF的长．
18．如图，在 中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取
点E，使∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，
∠AOB=120∘，连接PB．
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是O的切线．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作
AC的垂线交AC的延长线于点E．
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．
21．如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点
E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为 ．
22．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD
的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且
ME＝NE＝3．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．
24．在 中， ，以 为直径的圆交 于 ，交 于 .过点 的切线交
的延长线于 ．求证： 是 的切线．
25．如图，已知 是 的直径， ，连接 ，弦 ，直线 交 的延
长线于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为2，求线段 的长．26．如图，四边形OABC中， ．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为
半径作☉O
(1)求证：BC是☉O的切线:
(2)连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若
．
①补全图形；
②求证：OF=OB．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC
的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．28．如图， 中， ，以 为直径作 ，点 为 上一点，且
，连接 并延长交 的延长线于点
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的值．
29．如图，A，B是 上两点，且 ，连接OB并延长到点C，使 ，连接
AC．
（1）求证：AC是 的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 于点F，G， ，求GF的
长．参考答案
1．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知， ，由直径所对圆周角是90°，可知 和 互余，
推出 和 互余， 和 互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知 ，根据圆周角定理可知 ， 是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的 倍，计算求出答案．
（1）证明： 和 是 所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在 中， ，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
， ，
，
， 是直角三角形；
， ，
．
【点拨】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
2．（1）证明见解析；（2）圆的半径为 ；（3） ．
【分析】
（1）由已知角相等、对顶角相等，根据三角形内角和180°得到 ，即可解题；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长
定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则OD=8-
r，利用勾股定理列出关于方程的解得到r的值，即为圆的半径；
（3）延长 、 相交于点 ，根据切线的性质及角平分线的性质，证明
，继而解读BF的长，再由勾股定理解题即可．
（1）证明： ，
，
，
，
，
为 的切线；
（2）解：在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
与 都为 的切线，
；
在 中，设 ，则有 ，
根据勾股定理得：
解得： ，则圆的半径为 ．
（3）延长 、 相交于点
与 都为 的切线，
平分
又，
在 中，
【点拨】本题考查切线的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相
关知识是解题关键．
3．（1）详见解析；（2）4
【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出
OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有
，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的
长度，则答案可求．
（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵ ，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝ ＝4，
∴CE＝4．
【点拨】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切
线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
4．证明见解析．
【分析】
连接OC，先根据题意得出∠ABO=90°，然后再证明△AOB≌△AOC即可证明：如图：连接OC.
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°.
∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠AOC.
∵OC=OD，∴∠CDO=∠DCO,
∴∠AOB=∠AOC.
又OA=OA，OB=DC,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠ACO=∠ABO=90°
故AC是⊙O的切线.
【点拨】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是圆
的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
5．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连结 ，证明 ，得到 ，再证明 ，得到
，故可求解；
（2）求出 ，再根据弧长公式即可求解．
（1）证明：如图，连结 ．
∵ 是 的直径，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的切线．
（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知弧长公式的应用．
6．（1）见解析；（2）AD＝ ．
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周
角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，
∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°．
∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，∴EF＝BF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝ ．
∴AD＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系
．
7．（1）证明见解析；（2）6．
证明：试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合
E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，
∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O
的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：
r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
8．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到
OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得
∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根
据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
证明：解：（1）连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF= ．
【点拨】本题考查切线的判定．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析
【分析】
（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝ BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝
∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝ AB＝2，则EH＝AH−AE
＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝ ，由一条直线l到圆心O的距离d＝ ＝⊙O的半
径，即可得出结论．
（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中， ，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝ BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝ AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝ ＝ ＝1，∴OB＝ ＝ ＝ ，
即⊙O的半径为 ，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝ ＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形
的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合
性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝ 180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到
∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
（1）证明：连接OD，∵ ，
∴∠BOD＝ 180°＝60°，
∵ ，
∴∠EAD＝∠DAB＝ BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝ AB＝3，
∴AD＝ ＝3 ．【点拨】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，
以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键．
11．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明
∠DAC＝∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即
可证明直线CD与⊙O相切于C点；
（2）连接BC，∠BAC＝30°，在Rt△ABC中可求得AC，同理在Rt△ACD中求得CD．
（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝ ∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝ AB＝3 ．
∵∠CAD＝30°
∴
【点拨】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后
利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题．
12．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用圆周角定理得到 ．则 ，根据平行线的判定得
，然后根据平行线的性质得 ，最后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理觉得
即可．
（1）证明： ，
而 ．
，
，
，，
直线 是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，
，
，
在 中， ，
即 的半径为2．
【点拨】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理和垂径定理．解题关键是综合运用定理进行推理的能力，题目比较典
型，是一道综合性比较强的题目．
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得AE
是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：
∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
（1）证明：连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点
的综合运用，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
14．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分
线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
（1）证明：如图所示，⊙O即为所求；
（2）证明：连接OD．∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
15．（1）详见解析；（2）①10；②
【分析】
（1）连接OD，证明 ，得到 ，根据切线的判定定
理证明；
（2）①利用等腰三角形的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到 ，再
用勾股定理求出OE，从而得到BC；
②添加条件 ，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，
再加上一个直角就是正方形了．
（1）证明：如图，连接 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，OD是半径，
∴DE是 的切线；（2）①证明：∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即E是AC中点，
∵O是AB中点，
∴ ，
在 中， ，
∴BC=2OE=10，
故答案是：10；
②当 时，四边形AODE为正方形，
证明：∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
由（2）得AO=AE，
∵AO=DO=AE=DE，
∴四边形AODE是菱形，
∵ ，∴四边形AODE是正方形，
故答案是： ．
【点拨】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌
握这些几何的性质定理并结合题目条件进行证明．
16．（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为
．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=
，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推
出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算 ，再利用扇形的面积公式
计算 ，即可求得阴影部分的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，∴阴影部分的面积为 ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握
切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】
（1）连接OD，由同圆半径相等和平行线性质证明 可证E是弧BD的中点；
（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可
根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长．
（1）证明：连接OD，
如图
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ =
∴点E为弧BD的中点
（2）证明：∵在 与 中，∴ ，
∴ ，
∴CD为⊙О的切线．
（3）∵ ，∴ ．
设 ，则 ，
在 和 中，
由勾股定理得：
，
解得： ．
∴
∴
【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径
垂直于这条直线．也考查了圆周角定理和垂径定理．
18．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据直角三角形的
两锐角互余、等量代换可得 ，从而可得 ，然后根据圆的切线
的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得 ，
再利用勾股定理可得 ，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得．
（1）证明：如图，连接OD，
∵ ，
∴ ，∵ ，
，
，
又 ，
，
∴ ，即 ，
∵点D在 上，即OD为 的半径，
∴DE是 的切线；
（2）如图，过点O作 于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
则阴影部分的面积为 ．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积
公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．19．（1）2；（2）见解析
【分析】
（1）由OA=OB，弦AB⊥OC，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边
三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．
（1）证明：∵OA=OB，弦AB⊥OC，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60∘，
∴∠CBP=30∘，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90∘，
∴OB⊥BP，
∵点B在O上，
∴PB是O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知
此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
20．（1）见解析；（2）BC的长为4
【分析】
（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判
定推出即可；
（2）过点O作OK⊥AC，证得四边形OKED为矩形，AK=KC，得出EK=OD=3，由勾股定
理可求出答案．
（1）证明：如图1，连接OD．∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，
∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2 ，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
答：BC的长为4 ．
【点拨】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，矩形的判定
与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）连接 、 ，根据圆内接四边形的性质得到 ，求
得 ，又点 在 上，于是得到结论；
（2）由（1）知： 又 ，设 为 ，则 为 ，根据勾股定理即可
得到结论；
（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的
面积最大，当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可
得到结论．
（1）证明：连接 、 ，
四边形 为圆内接四边形，
，
，
，又点 在 上，
是 的切线；
（2）由（1）知： 又 ，
，
设 为 ，则 为 ，
在 中， ，
即 ，
，
又 ，
，；
（3）连接 ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
当四边形 的面积最大时，四边形 的面积最大，
当 时，四边形 的面积最大，
四边形 的最大面积 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆的综合题，切线的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的
作出辅助线是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2） ﹣ ．
【分析】
（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PAB=90°，再根据垂径定理得到CD=AD，则
OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性质得到
∠OCA+∠PCA=∠OAC+∠PAC=90°，然后根据切线的判定方法可判断PC是⊙O的切线；
（2）先证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，再计算出 ，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S -S 进行计算．
△OCE 扇形BOC
（1）证明：如图，连接OC，
∵PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD，
∴OD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
而OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠PAC＝90°，即∠POC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴CE＝ OC＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝S ﹣S
△OCE 扇形BOC
＝ ×1× ﹣
＝ ﹣ ．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．
23．（1）见解析；（2）AB＝ ．
【分析】
（1）先由垂径定理得AB⊥MN，再由平行线的性质得BC⊥AB，然后由切线的判定定理即
可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解
方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．
（1）证明：∵ME＝NE＝3，
∴AB⊥MN，
又∵MN∥BC，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，
设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝ ，
∴AB＝2r＝ ．
【点拨】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定
和垂径定理是解题的关键．
24．证明见解析．
【分析】连接OE，由OB=OD和AB=AC可得 ，则OF∥AC，可得 ，由圆周
角定理和等量代换可得 ，由SAS证得 ，从而得到
，即可证得结论．
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ 是 的切线，则 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ 是 的切线．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角
形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接 ，通过证明△COD≌△COB得到 即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解
（1）证明：如图，连接 .
∵ ，
∴ ， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ， ，
在 和 中∴ ，
∴ .
又∵点 在 的切线.
∴ 是 的切线.
（2）∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ 的半径为2，
∴ ，
∴ .
【点拨】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的
判定定理是解题关键．
26．(1)证明见解析（2）①图见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到
∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）①根据题意画出图形；
②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和
弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）①解：补全图形如图2；
②证明：∵∠OAB＝90°，
∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，
∴BA＝BC，
∵BA＝BC，OA＝OC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ = ,
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，
∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．
【点拨】本题考查的是切线的判定、垂径定理、切线长定理的应用，掌握切线的判定定理、
圆心角和弧之间的关系定理是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）正方形，理由见解析
【分析】
（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB＝90°，E为中点，可得到ED＝CE，再
利用角的和差可求得∠ODE＝90°，可得DE为切线；
（2）由条件可得∠ODA＝∠A＝45°，可求得∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝
OD，可知四边形ODEC为正方形．
（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
即OD⊥DE，
又∵D在圆O上，
∴DE与圆O相切；
（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝45°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝90°，
∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，
∴四边形ODEC为正方形．
【点拨】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形
的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊥DE以及∠COD＝∠ODE＝
∠ACB＝90°，OC＝OD．
28．（1） 是 的切线；理由见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接OC，如图，证明 得到 ，然后根据切线的判
定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设 ，在 中，根据勾股定理求出
x，设 的半径为 ，在 中，根据勾股定理求出r，再在在 中，根据勾股
定理求出AC，于是得到结论．
证明：解：（1） 是 的切线，
证明：连接 ，
在 和 中
，
，
，，
∵OD是圆的半径，
是 的切线；
（2） ，
．
设 ，
在 中， ，
，
．
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
，
，
．
在 中， ，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判
定以及勾股定理的应用．
29．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出
∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC= ，根据含30°的直角三角形的性质得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC= = =
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN= DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2 = =2【点拨】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的
知识是解题的关键．
