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专题3.26 《圆》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆
与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是
否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形
的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理
论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，
二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中
心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意
一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.特别说明：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所
对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、
平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
特别说明：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为 ，OP= ，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上； 点P在⊙O 内.
特别说明：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定
数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线 的距离为 .(1)直线 和⊙O没有公共点 直线和圆相离 .
(2)直线 和⊙O有唯一公共点 直线 和⊙O相切 .
(3)直线 和⊙O有两个公共点 直线 和⊙O相交 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角
形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角
形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三
角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边
中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
特别说明：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内
切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的
半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质外心(三角形 三角形三边中垂线 (1)OA=OB=OC；(2)外心不
外接圆的圆 的交点 一定在三角形内部
心)
内心(三角形 三角形三条角平分 (1)到三角形三边距离相
内切圆的圆 线的交点 等；(2)OA、OB、OC分别平
心) 分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内
对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积
为 ，全面积为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，
全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
特别说明：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
【典型例题】
类型一、圆的基础知识
1．如图， 是 的直径，点 在 上， ，过点 作直线
分别交直线 和 于点 、 ，连结 ， ， .
（1）求 的度数；
（2）我们把有一个内角等于 的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比
（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比 .
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.
②求弦 的长.
③在直线 或 上是否存在点 （点 、 除外），使 是黄金三角形？若
存在，画出点 ，简要说明画出点 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.【答案】（1） ；（2） 理由见解析， ，
存在理由见解析.
【分析】
（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
（1）∵ 是 的直径， ，
∴ .则 ， .
设 ，则 ， .
又 ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°−∠OCE−∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；
②∵ 是黄金三角形，
∴ ，
∵ ， .
∵ ， .
∴ .
③存在，有三个符合条件的点 、 、 （如图2所示）.
（Ⅰ）以 为底的黄金三角形：作 的垂直平分线分别交直线 、 于点 、
.
（Ⅱ）以 为腰的黄金三角形：点 与点 重合.
【点拨】此题考查圆的基本性质以及黄金分割，知识综合性较强，能够熟记黄金比的
值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．
【变式1】已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和
∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD
【答案】见解析.
【分析】
过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得
△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．
证明： 过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
【点拨】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定和性质，以及同圆半径相等的性
质，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式2】如图， 是 的高， 为 的中点．试说明点 在
以点 为圆心的同一个圆上．【答案】见解析
【分析】
先连接 ， ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得
，即可证结论．
证明：连接 ， ．
分别是 的高， 为 的中点，
，
∴点 在以点 为圆心的同一圆上．
【点拨】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半这一性质是关键．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
2．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点
F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．【答案】（1）见解析
（2）5 ，
【分析】
（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又
知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所
对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即
可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是 的中点,
∴
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；（2）解：∵
∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，
∴⊙O的半径为5，
【点拨】此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．
此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为
直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关
键．
【变式1】已知 是 的直径，弦 与 相交， .
（Ⅰ）如图①，若 为 的中点，求 和 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点 作 的切线，与 的延长线交于点 ，若 ，求
的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°
分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求
解即可；（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
详解：（Ⅰ）∵ 是 的直径，∴ .
∴ .
又∴ ，∴ .
由 为 的中点，得 .
∴ .
∴ .
（Ⅱ）如图，连接 .
∵ 切 于点 ，
∴ ，即 .
由 ，又 ，
∴ 是 的外角，
∴ .
∴ .
又 ，得 .∴ .
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．
【变式2】如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕
迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）四边形 的周长为 .
【分析】
（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵ 是直径，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2
∴ ，解得： ，
∵BO=OA，BE=DE
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴四边形 的周长为： .
【点拨】本题考查了作图能力、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.
类型三、与圆有关的位置关系
3．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延
长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD＝ ．
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的
圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，
∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°．
∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝ ．∴AD＝ ＝ ．
【点拨】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置
关系 ．
【变式1】如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2 ，
∠BCD=120°，A为 的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【答案】（1）3；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角
定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为 的中点，则
∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，
所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
详解：（1）连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE= BE= ×2 = ，
BD= DE= × =3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为 的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，
必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C
作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互
余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到
EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得
∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明
四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．
详解：（1）证明：连接OC，如图，
.∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，
必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．
类型四、圆中有关的计算
4． 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交
PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．
【答案】(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.
【分析】
(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝
PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；
（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质
可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝ ∠AOB＝65°.(1)连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝
12.
(2)∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．
∴∠AOC＝∠COE.
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOC＝ ∠AOB＝65°.
【点拨】本题考查了切线的性质定理及切线长定理，熟练运用切线的性质定理及切线
长定理是解决问题的关键.
．【变式1】如图 内接于 ， ，CD是 的直径，点P是CD延
长线上一点，且 ．
求证：PA是 的切线；
若 ，求 的直径．【答案】（1）详见解析；（2） 的直径为 ．
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出 ，再根据同圆的半径相等从而可得
，继而根据等腰三角形的性质可得出 ，继而由
，可得出 ，从而得出结论；
利用含 的直角三角形的性质求出 ，可得出 ，再由
，可得出 的直径．
连接OA，如图，
，
，
又 ，
，又 ，
，
，
，
是 的切线．
在 中， ，
，
又 ，
，
，
．
的直径为 ．
【点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练
掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
【变式2】如图， 是⊙ 的直径，点 和点 是⊙ 上的两点，连接 ， ，
，过点 作射线交 的延长线于点 ，使 ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，过 作 于 ，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到
，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由 及圆的性质可得 是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影
部分的面积.
（1）证明：连接 ，过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是⊙ 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ．【点拨】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判
定定理.
类型五、圆的综合运用
5．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂
足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的
延长线交于点P，且PC=PB，
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）20°或40°．
【分析】
（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：
∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可
得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结
论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH= AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角
相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，
∠ODH=20°，得结论．
（1）证明：如图1，
∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB= DH，
∴tan∠ACB= ，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC= AC，
∴DH= AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH= AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点拨】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，
平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了
分类思想．
【变式1】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线
于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为 ．
【分析】
（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证
明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S =S
阴影 △COD﹣S 即可得到答案．
扇形OBC
解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt 中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
△OCD
∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，
∴CD=
∴S = =8 ， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
△OCD
∴∠DOC=60°， ∴S = ×π×OC2= ，
扇形OBC
∵S =S ﹣S ∴S =8 ﹣ ，
阴影 △COD 扇形OBC 阴影
∴阴影部分的面积为8 ﹣ ．
【变式2】如图，点 为 中点，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ．以
点 为圆心，分别以 ， 为半径在 上方作两个半圆．点 为小半圆上任一点（不与点 ， 重合），连接 并延长交大半圆于点 ，连接 ， ．
（1）①求证： ；
②写出∠1，∠2和 三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若 ，当 最大时，直接指出 与小半圆的位置关系，并求此
时 （答案保留 ）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2） 与小半圆相切， ．
【分析】
（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；
②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得
∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；
（2）当 最大时，可知此时 与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据
，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即
可求出S ．
扇EOD
（1）①在△AOE和△POC中 ，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当 最大时，可知此时 与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵ ，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S = = ．
扇EOD
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面
积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．
【变式3】 如图，AB是 的直径，AC为弦， 的平分线交 于点D，过
点D的切线交AC的延长线于点E．
求证： ；
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用
“内错角相等，两直线平行”可得出AE//OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
(2)过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，
结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM(SAS)，根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出 ，进而可得出CD=BD，结合DE=DM
可证出Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合
AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
连接OD，如图1所示，
，AD平分 ，
， ，
，
，
是 的切线，
，
，
；
过点D作 于点M，连接CD、DB，如图2所示，平分 ， ， ，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰
三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)利用平行线的判
定定理找出AE//OD；(2)利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
