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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.2圆的对称性
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•红谷滩区校级期末）下列说法正确的是
A．等弧所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解析】 、正确．本选项符合题意．
、错误．应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意．
、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
故选： ．
2．（2019 秋•吴兴区期中）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ，
，则 的半径为
A． B． C． D．
【分析】作半径 ，连接 ，作 于 ，如图，利用等角的余角相等得到 ，则 ，利用三角形内角和可计算出 ，所以 ，从而可计算出
，利用勾股定理计算出 ，然后根据 为等腰直角三角形可得到 的长．
【解析】作半径 ，连接 ，作 于 ，如图，
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
为等腰直角三角形，
．
故选： ．
3．（2019秋•建水县期末）如图， 的半径等于4，如果弦 所对的圆心角等于 ，那么圆心 到
弦 的距离等于
A．1 B． C．2 D．【分析】由圆心角 ，可得 是等腰三角形，又由 ，再利用含 角的直角三角
形的性质，可求得 的长．
【解析】如图， 圆心角 ， ，
是等腰三角形，
，
， ，
．
故选： ．
4．（2020秋•新化县期末）如图， 为 的直径，点 、 是 的三等分点， ，则
的度数为
A． B． C． D．
【分析】先求出 ，根据点 、 是 的三等分点求出 的度数是 ，再求出答案即可．
【解析】 ，
，
的度数是 ，
点 、 是 的三等分点，
的度数是 ，，
故选： ．
5．（2020秋•郁南县期末）如图， 为半圆 的直径，点 、 为 的三等分点，若 ，
则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】求出 ，可得结论．
【解析】 点 、 为 的三等分点，
，
，
，
，
故选： ．
6．（2019•安徽一模）已知 的直径 为2，弧 的度数为 ，点 是弧 的中点，点 在直径
上移动，则 的最小值为
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据翻折的性质得到 ， ，得到 ．当点 、 、 在一条直线上时，
有最小值，最小值为 ，根据正弦的定义计算即可．
【解析】过点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，延长 交圆 与点 ，连接 ．点 与点 关于 对称，
， ，
当点 、 、 在一条直线上时， 有最小值，最小值为 ．
点 是 的中点，
．
．
．
故选： ．
7．（2020秋•昆明期末）如图，半径为 5的 中，有两条互相垂直的弦 、 ，垂足为点 ，且
，则 的长为
A．3 B． C． D．
【分析】作 于 ， 于 ，连接 ， ，根据垂径定理得出 ，
，根据勾股定理求出 和 ，证明四边形 是正方形，即可解决问题．
【解析】如图，作 于 ， 于 ，连接 ， ．， ，
，
， ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
故选： ．
8．（2019秋•台江区期中）如图，点 是半圆上的一个三等分点，点 为弧 的中点， 是直径 上
一动点， 的半径是2，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
【分析】首先作 关于 的对称点 ，连接 ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．
【解析】作 关于 的对称点 ，连接 ， ， 交 于 ，此时 ，根据两点之间线段最短， 的最小值为 的长度，
连接 ， ，
点 是半圆上的一个三等分点，
．
弧 中点，
，
，
．
的半径是2，
，
，即 的最小值为 ．
故选： ．
9．（2019秋•莘县期中）如图，在同圆中，弧 等于弧 的2倍，试判断 与 的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，如图，易得 ，利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据三角形三边的关系可得到 与 之间的关系．
【解析】取 的中点 ，连接 、 ，如图，
弧 等于弧 的2倍，
而 ，
，
，
，
．
故选： ．
10．（2019•道里区一模）如图，已知 是 的直径，弦 半径 ， ，
A． B． C． D．
【分析】首先根据平行线的性质得到 的内错角的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形
的外角的性质求解．
【解析】 ， ．
， ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•大丰区期中）如图，在 中， ， ， 的度数为 ．
【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可．
【解析】 在 中， ，
，
，
，
的度数为 ，
故答案为：
12．（2019秋•金湖县期末）长度等于 的弦所对的圆心角是 ，则该圆半径为 6 ．
【分析】由45度角直角三角形边角关系解答即可．
【解析】如图 ， ，
，
，
故答案为6．
13． 的弦 为 ，所对的圆心角为 ，则圆心 到这条弦 的距离为 ．
【分析】利用 ， ，得到 ，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计
算出 长．【解析】作 于 ，如图，
，
，
，
而 ，
，
，
即圆心 到这条弦 的距离为 ．
故答案为 ．
14．如图，在半径为4的 中， 和 度数分别为 和 ，弦 与弦 长度的差为 4 ．
【分析】连接 、 、 、 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，构造三个等腰三角
形 ， 与 ；证明 ，则有 ；利用等腰三角形性质证明 ，
因此 ．
【解析】如图，连接 、 ，则 为等腰三角形，顶角为 ，底角为 ；
连接 、 ，则 为等腰三角形，顶角为 ，底角为 ．
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，则 为等腰三角形，顶角为 ，底角为 ．
在 与 中，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：4．
15．（2019•扬州）如图， 为 直径，点 、 在 上，已知 ， ，则
4 0 度．
【分析】首先由 可以得到 ，又由 得到 ，由此即可求出
的度数．
【解析】 ，
，
又 ，，
．
16．如图， 是 的直径，如果 ，那么与线段 相等的线段是 ， ，
， ， ， ；与 相等的弧是 ．
【分析】根据 是 的直径，于是得到 ，则 、 、 均
为等边三角形，由此得到结论．
【解析】 是 的直径， ，
；
又 ，
、 、 是全等的等边三角形；
；
，
故答案为： ， ， ， ， ， ； 、 ．
17．（2019•淄川区二模）如图，已知点 是 的直径 上的一点，过点 作弦 ，使 ．若
的度数为 ，则 的度数是 ．
【分析】连接 、 ，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出 ，根据等腰三角形的性质和三
角形内角和定理计算即可．
【解析】连接 、 ，的度数为 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是 ．
故答案为 ．
18．（2019•桂林模拟）如图， 的半径为2，动点 从点 处沿圆周以每秒 圆心角的速度逆时针匀
速运动，即第1秒点 位于如图所示位置，第2秒点 位于点 的位置， ，则第2019秒点 所在位置
的坐标为 ， ．
【分析】作 于 ，分别求出前4秒点的坐标，总结规律，根据规律解答．
【解析】作 于 ，
由题意得， ，
， ，即点 的坐标为 ， ，
则第1秒点 所在位置的坐标 ， ，第2秒点 所在位置的坐标 ，
第3秒点 所在位置的坐标 ， ，
第4秒点 所在位置的坐标 ，
，
则第2019秒点 所在位置的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•磐石市期中）如图， 中，弦 与 相交于点 ， ，连接 ， ．
求证： ．
【分析】根据弦相等推出弦所对的弧相等，证明即可．
【解析】证明： ，
，
，．
20．（2021•秦淮区二模）如图， 的弦 、 相交于点 ，且 ．求证 ．
【分析】连接 ，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解析】证明：连接 ．
，
，即 ，
，
．
21．（2020秋•涟水县期末）如图， 、 是 的直径，弦 ， 为 ．求 的度数．
【分析】连接 ，由弧 的度数为 ，得到 ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可求出 ，而弦 ，即可得到 ．【解析】连接 ，如图，
为 ，
，
，
，
，
弦 ，
．
22．（2021•鄞州区模拟）如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径作圆，交
于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，求出 ，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ．利用面积法求出 ，再利用勾股定理求出 ，可得结论．
【解析】（1）如图，连接 ．
， ，．
，
，
，
．
又 ，
．
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ．
， ， ，
．
又 ，
，
．
， ，
．
23．（2019秋•宿豫区期中）如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ．
（1）如图1，若 为 ， 为 ，求 的度数；
（2）如图2，若 ，求证： ．【分析】（1）连接 ．根据 为 ， 为 ，可得到 ， ，根据
，得出 ；
（2）连接 ．由 ，得到 ，推出 ，所以 ，因此 ．
【解析】（1）解：连接 ．
为 ， 为 ，
， ，
；
（2）证明：连接 ．
，
，
，
，
．
24．（2020秋•红谷滩区校级期末）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．【分析】（1）连接 ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到 ，根据角平分线的性质定理
证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）证明：连接 ，
，
，又 ， ，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
的面积 ，
同理可得， 的面积 ，
四边形 的面积 ．
