专题3.5指数与指数函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.5 指数与指数函数
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
新课程考试要求 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例
核心素养
6.7.9）等核心数学素养.
1.指数幂的运算；
2．指数函数的图象和性质的应用；
考向预测
3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、
运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；
【知识清单】
1．根式和分数指数幂
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__ n 次方根 __，其中n＞1，且n∈N*
a＞0 x＞0
n是奇数 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
个数
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
2.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①()n＝a.
②＝
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R值域 ( 0 ， ＋∞ )
过定点 ( 0 ， 1 )，即x＝0时，y＝1
当x>0时， y > 1； 当x<0时， y > 1；
性质
当x<0时， 0 <y < 1 当x>0时， 0 <y < 1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【考点分类剖析】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜
片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分
别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， ．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚
镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】
判断出 ， ， 的大小关系即可得出答案.
【详解】
， ．∵ ．∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
∴有 ．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
【典例2】计算：( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2．
4 27 2
1
【答案】2 .
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解： ( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2
4 27 2
(9) 1 (2)3× 2 (2) 2
= 2−1− 3+
4 3 3
3
= −1
2
1
= ．
2
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
2
1  7 23
    
1.计算：1.5－3×  60＋80.25× 4 2 ＋( 3 2 × 3 )6－ 3
110
【答案】
1 1
23 3 1 23
 
＋2424＋2233－
 
2108110
3 3
【解析】原式＝ .
1 2
3  3  7  23
     1   
2.计算：
2
×
 60＋ 84
×
4 2
－
 3
＝________.
【答案】2
1 1
23 23
  3 1   2
【解析】原式＝ 3 ×1＋24 ×24 － 3 .
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，
如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果
用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例3】已知 x+x−1=3， 则
x
3
2+x
− 3
2
的值为__________．
【答案】2√5
【解析】
题意 1 − 1 ，∴ 1 − 1 ，
(x2+x 2) 2=x+2+x−1=5 x2+x 2=√5
3 3 1 1
∴ − − ，
x2+x 2=(x2+x 2)(x−1+x−1 )=√5(3−1)=2√5
故答案为2√5．
1 1

x2 x 2 3 xx1
【典例4】设 ，求 的值．
【答案】7
【解析】
1 1

 x2  x 2 3,
2
 1 1 

xx1 x2 x 2  232 27 .
 
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、
1 1
立方和（差）公式的应用，如
(x2+x
−
2) 2=x+2+x−1
， (x+x−1
)
2=x2+2+x−2，
3 3 1 1
− − ，解题时要善于应用公式变形．
x2+x 2=(x2+x 2)(x−1+x−1 )
【变式探究】
1 1

a2 a 2 3
已知 ，求下列各式的值.a2 a2 1
a1a1 a2 a2 aa11
（1） ；（2） ；（3）
(1)7;(2)47;(3)6.
【答案】
1 1

a2 a 2 3 a1a129 a1a1 7
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 .
a1a1 7 a2 a2 249 a2 a2 47
（2）将 两边平方得 ，所以 .
a2 a2 1 471
 6.
（3）由（1）（2）可得
aa11 71
考点三：指数函数的概念
【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数 ，且 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
由 ，
所以 ，
故选：B
【规律方法】
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
【变式探究】
若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 ( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由题意，得，
解得a＝2，故选C.
考点四：指数函数的图象【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数 ， ，
的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
利用指数函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
根据函数 与 关于 对称，可知①④正确，
函数 为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－ (a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】
就 、 分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当 时， 为增函数，当 时， 且 ，
故A,B 不符合.
当 时， 为减函数，当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D.
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的
图象过定点（0，1）；
y＝ax y＝ax
(2) 与 的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺
减．
【变式探究】
y ax y a(x1) a 0 a 1
1.（2020·上海高一课时练习）函数 和 （其中 且 ）的大致图象只可能是(
)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
y a(x1)
1,0
由于 过点 ，故D选项错误.
y ax 0,1 y a(x1) 1,0 0,a
当a1时， 过 且单调递增； 过点 且单调递增，过 且a1.所以A选
项错误.
0a1 y ax 0,1 y a(x1) 1,0 0,a 0a1
当 时， 过 且单调递减， 过点 且单调递增，过 且 .
所以B选项错误.
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
2.如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c
C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
【答案】B
【解析】
可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由
(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；
当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
【特别提醒】
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
高频考点五：指数函数的性质及其应用
【典例8】（2020·浙江高三月考）已知 ， 且 ，设 ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作差，对 分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.
【详解】
当 时，
单调递增，因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 ；
当 时， 单调递减，因为 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 .
综上所述：
故选：A
【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数 则不等式 的解
集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作出函数 以及 的大致图象，数形结合即可求解.
【详解】
在同一坐标系中，作出函数 以及 的大致图象，
观察 的区域，
由图象可知，在区间 和 上
，由此 的解集 .故选：A
2x28x1
1
y  (3 x1)
【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数   的值域是_________.
3
 1 9 
【答案】  ,39
 3 
【解析】
t 2x2 8x1（2 x2）2 9，
设
 3 x1， x2 t x1 t 9t 9
当 时， 有最大值是9；当 时， 有最小值是-9， ，由函数
1
y ( )x
3 在定义域上是减函数，
[39，39]． [39，39]．
∴原函数的值域是 故答案为
f(x)ax2(a 0,且a 1,x0)
【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数 的
(3,0.5)
图像经过点 ，
（1）求a值；
f(x)ax2(x0)
（2）求函数 的值域；
1
a
【答案】（1） 2（2）
（0,4]
【解析】
f xax2 3,0.5
（1） 函数 的图像经过点
a32 0.5
1
a
2x2
1
f x x0
（2）由（1）可知  
2
1
 0 2 1  f x 在[0,） 上单调递减，则 f x 在x0时有最大值
2
1
 f x  f 0 f 4
 
max 2
 f x0
又
f x （0,4]
函数 的值域为
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性
或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论
底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞
b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，
并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次
要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式探究】
1.（2018年新课标I卷文）设函数f (x)=¿，则满足f (x+1)<f (2x)的x的取值范围是（ ）
A. (−∞，−1] B. (0，+∞) C. (−1，0) D. (−∞，0)
【答案】D
【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有¿，解得x<0，所以满足f (x+1)<f (2x)的x的取值范围是(−∞，0)，故选D.
1 x−2
2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤( ) ，则函数y=2x的值域是
4
1 1 1
A．[ ,2) B．[ ,2] C．(−∞, ] D．[2,+∞)
8 8 8
【答案】B
【解析】
1 x−2
将2x2+1≤( ) 化为x2+1≤−2(x−2)，即x2+2x−3≤0，解得x∈[−3,1]，所以2−3≤2x≤21，所以函
4
1
数y=2x的值域是[ ,2].故选C.
8
3．（2021·江苏高三月考）已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
依题意，可以令 ，则 ， ，代入函数，即可比较 、 、 三者的大小，得到答
案.
【详解】
∵ ，且 ，∴令 ，则 ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，∴ .
故选：A.
f(x)ax b(a0,a 1)
1,0
ab
4．（山东省高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
.
3

【答案】 2
【解析】
a1b1
{
若 a 1 ，则 f x在1,0上为增函数,所以 1b0 ，此方程组无解；
1
a 
a1b0 { 2 3
若
0a1
，则
f x
在
1,0
上为减函数,所以{
1b1
，解得
b2
，所以ab
2
.