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专题3.5 指数与指数函数
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
新课程考试要求 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例
核心素养
6.7.9）等核心数学素养.
1.指数幂的运算；
2．指数函数的图象和性质的应用；
考向预测
3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、
运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；
【知识清单】
1．根式和分数指数幂
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__ n 次方根 __，其中n＞1，且n∈N*
a＞0 x＞0
n是奇数 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
个数
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
2.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①()n＝a.
②＝
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y > 1； 当x<0时， y > 1；
性质
当x<0时， 0 0时， 0 0且a≠1
【答案】C
【解析】由题意，得，
解得a＝2，故选C.
考点四：指数函数的图象【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数 ， ，
的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
利用指数函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
根据函数 与 关于 对称，可知①④正确，
函数 为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－ (a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】
就 、 分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当 时， 为增函数，当 时， 且 ，
故A,B 不符合.
当 时， 为减函数，当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D.
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的
图象过定点（0，1）；
y＝ax y＝ax
(2) 与 的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺
减．
【变式探究】
y ax y a(x1) a 0 a 1
1.（2020·上海高一课时练习）函数 和 （其中 且 ）的大致图象只可能是(
)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
y a(x1)
1,0
由于 过点 ，故D选项错误.
y ax 0,1 y a(x1) 1,0 0,a
当a1时， 过 且单调递增； 过点 且单调递增，过 且a1.所以A选
项错误.
0a1 y ax 0,1 y a(x1) 1,0 0,a 0a1
当 时， 过 且单调递减， 过点 且单调递增，过 且 .
所以B选项错误.
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
2.如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．a
