专题3.5指数与指数函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 3.5 指数与指数函数 练基础 1．（2021·山东）设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用指数函数的性质求解集合B，再求集合的补集，交集即可. 【详解】 由题知 ， 又 ，则 ， 故选：B. f(x)a2x1 (a 0 a 1) 2.（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数 且 过定点（ ） 1 1 ( ,0) ( ,1) A．(1,1) B． 2 C．(1,0) D． 2 【答案】D 【解析】 1 1 2x10 x ( ,1) 令 2，所以函数 f(x)a2x1 (a 0且a 1)过定点 2 ． 3．（2021·江西高三二模（文））下列函数中，在 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D． 【详解】A中， 的图象关于 轴对称，开口向下的抛物线，在 上单调递减，故Ａ不对； B中， 的图像关于直线 对称，在 上单调递减，在 上单调递增，故排除B； C中，由幂函数的性质可知 在 上单调递增，故C正确； D中，根据指数函数的性质可得 在 上单调递减，故排除D； 故选：C． 4．（2020·浙江高三月考）当 时，“函数 的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由指数函数的图象与性质可得原命题等价于 ，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】 若当 时，函数 的值恒小于1，则 即 ， 所以当 时，函数 的值恒小于1的一个充分不必要条件是 . 故选：D. 5．（2019·浙江高三专题练习）已知函数 （其中 的图象如图所示，则函数 的图象是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由二次函数的图象确定 的取值范围，然后可确定 的图象． 【详解】 由函数的图象可知， ， ，则 为增函数， ， 过定点 ， 故选： . 6．（2021·浙江高三专题练习）不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得 ，再解绝对值不等式即可得答案. 【详解】 解：由指数函数 在 上单调递增， ， 所以 ，进而得 ，即 . 故选：A. 7．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在 幂函数 的图象上，则幂函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象． 【详解】 由 得 ， ，即定点为 ，设 ，则 ， ，所以 ，图象为B． 故选：B． 8．（2021·山东高三三模）已知 ，则 的大小关系正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据指数函数与幂函数的单调性即可求解. 【详解】 解： ， ， 指数函数 在 上单调递减， ，即 ， 又幂函数 在 上单调递增， ，即 ， ， 故选：B. 9．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数 的图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给 赋值，判断选项. 【详解】 当 时， ，图象A满足； 当 时， ， ，且 ，此时函数是偶函数，关于 轴对称，图象 B满足；当 时， ， ，且 ，此时函数是奇函数，关于原点对称，图 象D满足； 图象C过点 ，此时 ，故C不成立. 故选：ABD 10．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知 （k为常数），那么函数 的图象不 可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当 时， 为偶函数，当 时， 为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案． 【详解】 由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当 时， 为偶函数， 当 时， 且单调递增，而 在 上单调递增，故函数 在 上单调递增，故选项C正确，D错误； 当 时， 为奇函数， 当 时， 且单调递增，而 在 上单调递减， 故函数 在 上单调递减，故选项B正确，A错误. 故选:AD． 练提升 TIDHNE 1．（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数 ，若对于任意一个正数 ，不等 式 在 上都有解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由不等式可知， 或 ，结合图象，分析可得 的取值范围. 【详解】 当 时， ，得 ， ，不能满足 都有解； 当 时， ，得 或 ，如图，当 或 时，只需满足 或 ，满足条件. 所以 ， 时，满足条件. 故选：A 2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .若对任意的 ，均有 ，则实数 的最大值是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】 首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成 立问题即可求解. 【详解】 ∵ 是定义在 上的偶函数，且当 时， ， ∴ ，当 时为增函数， ∴ ， 则 等价于 ，即 ，即 对任意 恒成立， 设 ， 则有 ，解得 ， 又∵ ，∴ . 故选：A. 3．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当 时 的大小，利用特值法即可求得结果. 【详解】 因为 ，函数 是单调增函数， 所以比较a，b，c的大小，只需比较当 时 的大小即可. 用特殊值法，取 ，容易知 ， 再对其均平方得 ， 显然 ， 所以 ，所以 故选：B.4．（2021·江苏苏州市·高三其他模拟）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减 (称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为 (其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原 来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则 可推断该文物属于（ ）参考数据： . 参考时间轴： A．战国 B．汉 C．唐 D．宋 【答案】B 【解析】 根据“半衰期”得 ，进而解方程 得 ，进而可推算其所处朝代. 【详解】 由题可知，当 时， ，故 ，解得 ， 所以 ，所以当 时，解方程 ， 两边取以 为底的对数得 ，解得 ， 所以 ， 所以可推断该文物属于汉朝. 故选：B 5．（2021·河南高三月考（理））设实数 ， 满足 ， ，则 ， 的大小关系 为（ ）A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【解析】 从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【详解】 假设 ，则 ， ， 由 得 ， 因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所以 ； 由 得 ， 因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所以 ； 即有 与假设 矛盾，所以 ， 故选：A 6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数 ，则下述正确的有（ ） A． 在R上单调递增 B． 的值域为 C． 的图象关于点 对称 D． 的图象关于直线 对称 【答案】AC 【解析】A.由 和 的单调性判断；B.取 判断；C.D.判断 是否等于零即可. 【详解】 因为 是定义在R上的增函数， 是定义在R上的减函数， 所以 在R上单调递增，故A正确； 因为 ，故B错误； 因为 ， 所以 的图象关于点 对称，故C正确，D错误． 故选：AC． 7．【多选题】（2020·山东省青岛第十六中学高三月考）已知函数 ，则下列正确 的是（ ） A． B． C． D． 的值域为 【答案】BD 【解析】 对选项A，根据计算 ，即可判断A错误，对选项B，根据计算 ，即可判 断B正确；对选项C，根据计算 ，即可判断C错误，对选项D，分别求 和 的值域即可得到答案.【详解】 对选项A， ， ， 故A错误； 对选项B， ， ， 故B正确. 对选项C，因为 ，所以 ， ，故C错误； 对选项D，当 时， ，函数 的值域为 ， 当 时， ， ， 函数 的值域为 ， 又因为 时， ，是周期为 的函数， 所以当 时，函数 的值域为 ， 综上，函数 的值域为 ，故D正确. 故选：BD 8．【多选题】（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）高斯是德国著名的数学家，近 代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命 名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：， .已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ） A． 是偶函数 B． 是奇函数 C． 在 上是增函数 D． 的值域是 【答案】BC 【解析】 由 判断A；由奇函数的定义证明B；把 的解析式变形，由 的单调性结合复合函 数的单调性判断C正确；求出 的范围，进一步求得 的值域判断D． 【详解】 ， ， ，则 不是偶函数，故A错误； 的定义域为 ， ， 为奇函数，故B正确； ， 又 在 上单调递增， 在 上是增函数，故C正确； ， ，则 ，可得 ，即 ． ，故D错误． 故选：BC． 9．【多选题】（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知函数 （ 为常数）， 函数 的最小值为 ，则实数 的取值可以是（ ） A．-1 B．2 C．1 D．0 【答案】CD 【解析】 由已知求得当 时， 的最小值为 ，问题转化为当 时， 恒成立， 对 分类讨论求得 的范围，结合选项得答案． 【详解】 当 时， 单调递减，且当 时，函数取得最小值为 ； 要使原分段函数有最小值为 ， 则当 时， 恒成立， 当 时，满足； 当 时，需 ，即 ． 综上，实数 的取值范围为 ． 结合选项可得，实数 的取值可以是1，0． 故选：CD． 10．【多选题】（2021·南京市中华中学高三期末）“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂 的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬 奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样 的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同 一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住 而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写 出悬链线的函数解析式： ，其中 为悬链线系数．当 时， 称为双曲 余弦函数，记为 ．类似的双曲正弦函数 ．直线 与 和 的图像分别 交于点 、 ．下列结论正确的是（ ） A． B． C． 随 的增大而减小 D． 与 的图像有完全相同的渐近线 【答案】AC 【解析】 由函数的定义，代入化简可得A正确，B不正确；由 可得C正确；由函数的图象变化 可得D不正确. 【详解】 ，所以 A正确； ，所以B不正确； ，且随着 变大， 越来越小，所以C正确； ，当 时，是 的等价无穷大，无渐近线， ，当 时，是 的等价无穷大，无渐近线，所以D不正确. 故选：AC 练真题 TIDHNE 1.(新课标真题)已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则（ ） A． B． D． C． 【答案】A 【解析】[来源:学,科,网Z,X,X,K] 由 可得 ，则 ，即 ，所以 ， ，故选A. f(x)2x x1 f(x)0 2．（2020·北京高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）． (1,1) (,1)(1,) A． B． (0,1) (,0)(1,) C． D． 【答案】D 【解析】 f x2x x1 f x0 2x  x1 因为 ，所以 等价于 ， y 2x yx1 在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：(0,1),(1,2) 两函数图象的交点坐标为 ， 2x  x1 x0 x1 不等式 的解为 或 . f x0 ,01, 所以不等式 的解集为： . 故选：D. 3.(北京高考真题)已知函数 ，则 （ ） （A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数 【答案】B [来源:学科网] 【解析】 f xex aex 4.(2019年高考北京理)设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f （x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 1 ,0 【答案】a a f(x)0 【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得a的取值范 围. f xex aex f xf x, ex aex   ex aex 若函数 为奇函数，则 即 ， a1 ex  ex 0 即 对任意的x恒成立， a10 a1 则 ，得 . f xex aex f(x) ex aex 0 若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立， ae2x 即 在R上恒成立， e2x 0 a0 又 ，则 ， ,0 即实数a的取值范围是 . 5.（山东高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x) ＝6－x，则f(919)＝________. 【答案】6 【解析】 由f(x+4)=f(x-2)可知,f (x)是周期函数,且T=6,所以f(919)=f(6×653+1)=f(1) =f(−1)=6. f(x) x0 f(x)eax f(ln2)8 6.（2019·全国高考真题（理））已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 a __________. 【答案】-3 【解析】 f(x) x0 x0 f(x)f(x)eax 因为 是奇函数，且当 时 ， ． ln2(0,1) f(ln2)8 又因为 ， ， 所以 ealn2 8 ，两边取以e为底的对数得 aln23ln2 ，所以 a3 ，即 a 3 ．