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专题 3.2 将军饮马最值问题
【例题精讲】
【例1】如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格
点”， 的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
（1）作出 关于直线 的对称图形；
（2）求 的面积；
（3）在直线 上取一点 ，使得 最小（保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）如图， 即为所求．
（2） ．
的面积为7．
（3）如图，点 即为所求．【题组训练】
1．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）在图中画出 绕原点 逆时针旋转 后的△ ；
（2）请画出 关于原点对称的△ ；
（3）在 轴上求作一点 ，使 的周长最小，请画出 ，并写出点 的坐标为
．
【解答】解：（1）如图，△ 为所作；
（2）如图，△ 为所作；
（3）如图， 为所作， 点坐标为 ．2． 在网格中的位置如图所示．
（1）请画出 绕着点 逆时针旋转 后得到的△ ；
（2）若网格中每一个小正方形的边长为1，请求出 的面积；
（3）在 上找一点 ，使 最小（不写法，保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）如图，△ 为所作；
（2） 的面积 ；
（3）如图，点 为所作．3．如图所示．
（1）作出 关于 轴对称的图形△ ；
（2）在 轴上确定一点 ，使得 最小；
（3）求出 的面积．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求．
（2）如图，点 即为所求．
（3） ．
的面积为 ．
4．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，
的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图．
（1）作出 关于直线 的对称图形；（2）在网格中建立直角坐标系，使点 坐标为 ；
（3）在直线 上取一点 ，使得 最小．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求；
（2）如图所示；
（3）如图所示，连接 ，交 于点 ，则点 即为所求．
5．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
（1）在图中作出 关于 轴的对称图形△ ；
（2）求 的面积；
（3）若在 轴上存在点 ，使 最小，求 的最小值和点 的坐标．【解答】解：（1）△ 即为所求．
（2） ．
（3）连接 ，与 轴交于点 ，则此时 最小，最小值即为 的长，
，
的最小值为 ．
设直线 的解析式为 ，
代入点 ， ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
点 的坐标为 ， ．
6．如图，已知 的三个顶点在格点上．
（1）作出与 关于 轴对称的图形△ ；
（2）直接写出点 关于 轴对称 的坐标： ；
（3）在 轴上找一点 ，使得 周长最小．请在图中标出点 的位置．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求，
（2）如图所示： ，
故答案为： ；（3）如图所示：点 为所求，
7．在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如： ，
都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．
（1）画出线段 关于 轴对称的线段 ；
（2）在 轴上找一点 ，使 最小；
（3）连接 ， ，画出 关于 轴对称的△ ．
【解答】解：（1）如图，线段 即为所求；
（2）如图，点 即为所求；
（3）如图所示，△ 即为所求．8．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）作出 关于 轴的对称图形△ ，并标出点 ， ， ；
（2）写出下列点坐标： ， 4 ， ， ；
（3）点 是 轴上一动点，当点 的坐标是 时， 的和最小．
【解答】解：（1）如图，△ 为所作；（2） ， ， ，
故答案为： ，4， ，2， ，1；
（3）连接 交 轴于 ，
， ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
9．如图，在正方形网格上有一个 （三个顶点均在格点上）．
（1）作 关于直线 的轴对称图形△ （不写作法）；
（2）画出 中 边上的高 ；
（3）在 上画出点 ，使 最小．
【解答】解：（1）如图．
（2）如图．（3）如图．
10．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1） 的面积是 ．
（2）请画出 绕点 顺时针旋转 后的△ ．
（3）已知点 为 轴上一点，当 取得最小值时， 的值是 ．
【解答】解：（1） 的面积为 ．
（2）如图，△ 即为所求．（3）如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则与 轴的交点即为所求的点 ．
，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
点 的坐标为 ，
．
故答案为：2．
11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系 ．已知
的顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）以原点为对称中心画出与 成中心对称的图形，其中 ， ， 的对应点分别
为 ， ， ，写出点 ， 的坐标；
（2）在（1）的条件下，点 在 轴上，连接 、 ，当 取得最小值时，求
此时点 的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ 为所作，点 的坐标 ，点 的坐标 ；（2）作 点关于 轴的对称点 ，如图，则点 的坐标为 ，
，
此时 的值最小值，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
此时 点坐标为 ， ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ．
（1）将线段 绕点 逆时针旋转90”，画出旋转后所得的线段 ，并直接写出点 的
坐标为 ；（2）在 轴上找出一点 ，使 的周长最小，并直接写出点 的坐标为 ．
【解答】解：（1）如图，线段 即为所求， ．
故答案为： ．
（2）如图，点 即为所求．设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，令 ，得到 ，
， ．
故答案为： ， ．
13．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点 （顶点均在格点上）关于直线 对称的△ ；
（2）求△ 的面积；
（3）在 上画出点 ，使 最小．（保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图．
（2） ．
△ 的面积为 ．
（3）如图．14．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于原点对称的△ ；并写出点 ， ， 的坐标．
（2）若 为 轴上一点，要使 最小，试找出 的位置并写出 的坐标（写过程）．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求；
的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ．（2）如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ，则
最小，此时点 的坐标为 ．
