文档内容
专题 3.5 指数与指数函数
题型一 指数幂的运算
题型二 指数函数的概念
题型三 指数函数的图象问题
题型四 指数型函数过定点问题
题型五 指数函数的定义域和值域问题
题型六 利用指数的单调性解不等式或比较大小
题型七 由指数函数的单调性求参数
题型八 指数函数的最值问题
题型九 指数函数的实际应用
题型一 指数幂的运算
例1．化简
例2．（2022秋·高一课时练习）计算：
(1) ；
(2)已知： ，求 的值.
练习1．（2022秋·高一课时练习） 的值为（ ）
A． B．
C． D．
练习2．（2022秋·高三课时练习）化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
练习3．（2022秋·高三课时练习）化简求值：
(1) ；
(2) .
练习4．（2022秋·高三课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
练习5．（2022秋·高三课时练习）化简： = ______．（用分数指数幂
表示）.
题型二 指数函数的概念
例3．（2022秋·高三单元测试）（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2021秋·高三课时练习）如果指数函数 的图象经过点 ，那么 的
值为__________.
练习6．（2022秋·高三课时练习）若 ＋ 有意义，则a的取值范围是( )A． B．
C． D． 且
练习7．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数中，是指数函数的为（ ）
A． B．
C． D．
练习8．（2023秋·云南大理·高三统考期末）（多选）已知函数 （a>0且 ）
的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A． B． =2 C． =3 D． =6
练习9．（2022秋·高一课时练习）若函数 为指数函数，则
（ ）
A． 或 B． 且
C． D．
练习10．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）（多选）若指数函数 经过点 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 指数函数的图象问题
例5．（2022秋·内蒙古兴安盟·高三乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（多选）若函数
( 且 )的图像经过第一、二、三象限，则（ ）
A． B． C． D．
例6．（2021秋·高三课时练习）函数 （ ）的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
练习11．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若存在
且 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习12．（2022秋·高三单元测试）函数① ；② ；③ ；④ 的图象
如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数： ， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的
值分别是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， ， D． ， ， ， ，练习13．（2023秋·河南安阳·高三统考期末）已知函数 是指数函数，函数
，则 与 在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
练习14．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）（多选）函数 的图象的大
致形状是（ ）
A． B．
C． D．
练习15．（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）已知实数a，b满足等式
，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 指数型函数过定点问题例7．（2023秋·吉林松原·高三松原市实验高级中学校考期末）函数
且 的图象恒过定点 ，点 又在幂函数 的图象上，则 的值为______.
例8．（2020秋·广东梅州·高三校考期中）函数 （ ，且 ）的图象过定
点P，则点P的坐标是（ ）
A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)
练习16．（2022秋·高三课时练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点
（ ）
A． B． C． D．
练习17．（2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考期末）已知幂函数
的图象经过点 ，则函数 的图象必经过定点______．
练习18．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）已知函数 且 ，当 任
意变化时， 的图像恒过点 ，则实数 ___________.
练习19．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期中）已知函数 （
，且 ）的图象过定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习20．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）函数 的图
像恒过定点 ，若点 的坐标满足方程 ，则 的最小值
__________．
题型五 指数函数的定义域和值域问题例9．（2021·全国·高一专题练习）定义区间 （ ）的长度为 ．已知函数
的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为
（ ）
A． B．1 C． D．2
例10．（2022秋·高三单元测试）若定义运算 ，则函数 的值域
是（ ）
A． B． C． D．
练习21．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数 在区间 上的最大值比最小
值大4，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习22．（2022秋·高三课时练习）函数 的定义域为_________.
练习23．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）（多选）已知函
数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．在 上单调递增 D．在 上单调递减
练习24．（2023秋·江苏镇江·高三统考期末）已知函数 ，则 的值域为
________﹔函数 图象的对称中心为_________.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为___________题型六 利用指数的单调性解不等式或比较大小
例11．（2022·海南·校联考模拟预测）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2021秋·高三课时练习）已知 > ，则a，b的大小关系为____(用“<”连
接).
练习26．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
练习27．（2022秋·高三单元测试）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．对于 ，恒有
B． 是减函数
C．对 ， ，一定有
D． 是偶函数
练习28．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）不等式 的解集是________．
练习29．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）设全集 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C． D．
题型七 由指数函数的单调性求参数
例13．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知 方程 有实根；
函数 为增函数，则p是q的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
例14．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第十七中学校联考期末）已知函数
，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
练习31．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考开学考试）函数 在区间
内不单调，则k的取值范围是___________.
练习32．（2022秋·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知指数函数 ，若
时，总有 ，则实数 的取值范围是__________.
练习33．（2022秋·高三课时练习）指数函数 在其定义域内是减函数，则实数
的取值范围是_______.
练习34．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知函数 且
在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
练习35．（2022秋·吉林长春·高三校考期中）若函数 为 上的增
函数，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
题型八 指数函数的最值问题
例15．（2023·高三课时练习）已知函数 在 上的最小值是 ，最大值是 ，
求 的值.
例16．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 ， ，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习36．（2020秋·河北石家庄·高三石家庄市第十九中学校考期中）当 时，函
数 的值域为_________.
练习37．（2022春·海南省直辖县级单位·高三海南二中校考开学考试）若指数函数
在 上的最大值和最小值的和是6,则 （ ）
A．2或3 B．-3 C．2 D．3
练习38．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）指数函数 在区间
上的最大值为4，则实数a的值是_________．
练习39．（2022秋·福建泉州·高三石狮市石光中学校考期中）（多选）当 时，有
，（ 且 ），则实数 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
练习40．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知不等式 对于
恒成立，则实数 的取值范围是__．题型九 指数函数的实际应用
例17．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如
果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温度 （单位： ）可
由公式 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．
现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是 ．要使物体的温
度变为 ，还要经过__________分钟．
例18．（2021秋·高三课时练习）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（
）
A． B．25730 C． D．
练习41．（2023·全国·高三专题练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：
(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的 ？
(3)质量为 的氡经 天衰变后其质量为 ，试用计算器求 的值.
练习42．（2023·全国·高三专题练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞
穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的 含量大约是现生长同种草的 含
量的25%，已知 的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代．
练习43．（2022秋·江苏常州·高三统考期末）2022年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出
售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提
价．设 ，甲第一次提价 ，第二次提价 ；乙两次均提价 ；丙一次性提
价 ．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
练习44．（2023·全国·高三专题练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区
农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2022年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：
1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
练习45．（2020秋·江苏苏州·高三昆山市第一中学校考阶段练习）若一个人喝了少量酒后，
血液中的酒精含量迅速上升到 之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时
的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过
，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
