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专题 3.2 等边三角形手拉手模型
1．如图，等边 ，点 为 延长线上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋
转 得到线段 ．连接 ．求证： ．
2．如图， 与 为等边三角形，点 ， ， 在直线 同侧，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2） 可以看作是 经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．3．如图①， 和 都是等边三角形．
（1）若 、 、 在同一条直线上， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，
与 相交于点 ，试判断 与 的数量关系为 ； 度数为
；
（2）将 绕点 顺时针旋转， 、 、 不在一条直线上时，如图②，则（1）中的
结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
4．如图， 为等边三角形，点 是线段 上一点（点 不与 ， 重合），连接
，过点 作 ，垂足为点 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
连接 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，延长 交 于点 ，求证： 为 的中点．5．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
的延长线与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，小颖对该图形进行探究，得出结论： ．小
颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
6．如图1，已知点 、 、 在同一条直线上， 和 都是等边三角形， 交
于点 ， 交 于点 ．
（1）求出 的度数；
（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
（3）若将 绕 点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还
成立，试说明理由．7．如图1，等边三角形 中， 为 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转
角 得到 ，点 ， 的对应点分别为点 、 ，且 、 、 三点在同一直线上．
（1）填空： ；
（2）若过点 作 于点 ，然后探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证
明你的结论．
8． 与 都是等边三角形，连接 、 ．
（1）如图①，当点 、 、 在同一条直线上时，则 度；
（2）将图①中的 绕着点 逆时针旋转到如图②的位置．求证： ．9．如图，点 是等边三角形 内的一点， ，将 绕点 按顺时针方
向旋转一定的角度，得到 ，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长（直接写出结果）．
10．如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕点 按顺
时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？11．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边 内有一点 ，若点 到顶点 、 、 的距离分别为3，4，5，求
的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点 旋转到 处，此时 ，这样
就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出
；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②， 中， ， ， 、 为 上的点且 ，
求证： ；
（3）能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点 为 内一点，连
接 ， ， ，且 ，求 的值．12．已知： 为等边三角形
（1）若 为 外一点，满足 ，求证： ．
（2）若 为 内一点， ， ， ，求 的度数
（3）若 为 内一点， ， ， ，则 （直接写
出答案）13．（1）如图 1， 为等边 内一点， 平分 ， 为 边上一点，且
，连接 ，取 中点 ，连接 ， ， ，直接写出 与 的位
置关系，并直接用等式表示 与 的数量关系；
（2）如图2，把图1中的 绕点 顺时针旋转 ，其它条件不变，连接
，点 为 中点，连接 ， ， ，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．14．如图，将等边 绕点 顺时针旋转 得到 ， 的平分线 交 于
点 ，连接 、 ．
（1）求 度数；
（2）求证： ．
