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专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】
1.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
【知识梳理】
1）因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，
再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
(x−x )(x−x )=0
2）即将一元二次方程化简为 1 2 ；从而得出： ，因式分解法
的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，
有时可以很好解决。①平方差公式： ；②完全平方公式：
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足
三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉
相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法
的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的
顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便
约去（x＋4）。
【高频考点精讲】
【高频考点1】因式分解法概念的应用
例1．（2022·山东莱州九年级期末）用因式分解法解方程 ，将左边分解后
有一个因式是 ，则m的值为__________．【答案】
【分析】根据题意得到x2-mx-6=（x-3）（x-a），即可求出m的值．
【解析】解：根据题意得：x2-mx-6=（x-3）（x-a）=x2-（a+3）x+3a=0，
∴-m=-a-3，3a=-6，解得：a=-2，则m=1．故答案为：1．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．
变式1. （2022•浉河区校级九年级月考）我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）
（x+q）来分解因式解一元二次方程．
如：x2+6x+8＝0，方程分解为： ＝0，
x2﹣7x﹣30＝0，方程分解为： ＝0
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：
3x2﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．
你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0
【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可
对4x2﹣8x﹣5＝0进行因式分解，可求得答案．
【解答】解：∵x2+6x+8＝（x+2）（x+4），x2﹣7x﹣30＝（x﹣10）（x+3），
∴x2+6x+8＝0可分解为（x+2）（x+4）＝0，x2﹣7x﹣30＝0可分解为（x﹣10）（x+3）＝
0，
故答案为：（x+2）（x+4）；（x﹣10）（x+3）；
∵4x2﹣8x﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），∴4x2﹣8x﹣5＝0可分解为（2x﹣5）（2x+1）＝0，
∴2x﹣5＝0或2x+1＝0，∴x 或x ．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关
键．
【高频考点2】用提公因式法解一元二次方程
例2．（2022•建平县九年级期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
【分析】先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y ＝﹣2，y ；
1 2
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程
的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公
式法．
变式1.（2022•揭西县九年级月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
则5x+4＝0或x﹣1＝0，则 ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
【高频考点3】用乘法公式解一元二次方程
例3．（2022•长白县九年级期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
解得：x ＝4，x ．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
变式1.（2022•呼和浩特九年级期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，
∴3x+2＝0或x﹣4＝0，∴x ，x ＝4．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
【高频考点4】用十字相乘法解一元二次方程
例4．（2022•郫都区九年级期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；
【解答】解：x2﹣10x+16＝0，
因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，
所以，x ＝2，x ＝8；
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解．
变式1.（2022•简阳市九年级月考）用因式分解法解方程：x2 0
【分析】利用因式分解法把方程化为x 0或x 0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x ）（x ）＝0，x 0或x 0，所以x ，x ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方
程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【高频考点5】因式分解法解一元二次方程的应用
例5．（2022·浙江杭州市·九年级期中）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是
方程 的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
【答案】B
【分析】首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，
3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x=2或x=4，
1 2
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，
而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
变式1 （2022•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个
根，则该菱形的面积为 ．
【分析】利用因式分解法解方程得到 x ＝4，x ＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为
1 2
5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x ＝4，x ＝
1 2
5，
∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝2 6，∴菱形的面积 6×8＝24．故答案为：
24．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方
程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性
质．
【高频考点6】一元二次方程中的新定义问题
例6．（2022•汾阳市期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一
元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣
3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二
次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是
（ ）
A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．
【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5，
∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；
C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；选：
C．
【点评】本题考查解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关
键．
变式1.（2022•新会区期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当
a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2
﹣6的解是 ．
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【解答】解：x≥﹣x，即x≥0时，x＝x2﹣6，x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，解得x ＝3，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣6，x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，解得x ＝﹣3，x ＝2（舍去）．
3 4
故方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是x＝3或﹣3．故答案为：3或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是熟练掌握定义符号 max{a，b}的含
义，注意分类思想的应用．【能力提升】
一．选择题
1.（2022•晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可
以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解
此题的关键．
2.（2022•定陶区期末）已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等
腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定
【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，
再求得三角形的周长即可．
【解答】解：
解方程x2﹣7x+10＝0可得x＝2或x＝5，
∴等腰三角形的两边长为2或5，
当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的
周长为12；
当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2，2+2＜5，不满足三角形三边关系；
∴等腰三角形的周长为12，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边
长是解题的关键．
3.（2021•南沙区一模）对于实数 m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n
⊗ ⊗
，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
⊗
【分析】根据定义，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程，得出x的值．
【解答】解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，解得：x ＝3，x ＝﹣4（不合题意，舍去）；
1 2
当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，
解得：x＝8（不合题意，舍去）；∴x＝3．故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分 x≥﹣2和x＜﹣2
两种情况进行解方程是解题的关键．
4．（2022·河北张家口·一模）于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=
，若 ，则实数m等于（ ）
A．6 B．2 C．2或 D．2或 或6
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：当m≤1时， 当m＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方
程即可．
【详解】解：当m≤1时，则1★m=m+2=8，解得：m=6，故无解；
当m＞1时，则1★m=m2+2m=8，解得：m=2，m=-4，
1 2
∴m=2，综上，m=2，故选：B．
【点睛】本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．
5．（2022·河南濮阳·八年级期中）菱形的一条对角线长为10其边长是方程
的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或24 D．24
【答案】D
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解得到菱形的边长，进而求出周长即可．
【详解】解： ，
，解得 ，
当边长为 时， ，不能构成三角形，舍去；
当边长为6时，6+6＞10，此时菱形的周长为24．故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形的三边关系，以及菱形的性质，
熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2022·山西阳泉·一模）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．
【详解】解：∴ 故选：B
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关
键．
7.（2021•晋江市期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x ＝x ＝m，则下列结
1 2
论正确的是（ ）
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论．
【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，∴x ＝m，x ＝n，
1 2
∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x ＝m，x ＝n，
1 2
∵x ＝x ＝m，∴n＝m且n是该方程的根，故选：B．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
二．填空题
8.（2022•枣庄期中）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的
中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ ．
【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，
就可以表示出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．
【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），解得：x ＝0，x ＝6．
1 2
∵B异于原点，∴x≠0，∴x＝6．故答案为：6．
【点评】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代
数式表示出各个点表示的数是关键．
9．（2022·贵州铜仁·一模）一元二次方程 的解是______；
【答案】x=1，x=2
1 2
【分析】利用因式分解法求解．
【详解】解：由题意可得：（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，∴x=1，x=2．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关
键．
10．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为_______________；
【答案】6或12或15
【解析】
【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x=2，x=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为
1 2
5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．
【详解】∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，∴x=2，x=5，
1 2
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边
通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就
能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为
解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
11．（2022·江苏南通·九年级期中）方程 的解是______．
【答案】0或2022
【解析】
【分析】先将x提取出来，可得等式 ，则x=0或x-2022=0，由此解出x的值．
【详解】解： ，
，则x=0或x-2022=0，
解得： ， ，故答案为：0或2022．
【点睛】本题考查利用提取公因式解一元二次方程，能够掌握提取公因式是解决本题的关
键．
12．（2022·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，
那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．
【答案】 x﹣4y＝0 x+2y＝0
【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x
﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到两个一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．
【详解】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，
∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，
∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．
故答案为：x﹣4y＝0；x+2y＝0．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方
程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
13．（2022·上海·七年级专题练习）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称
这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是
较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三
角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
【答案】 或
【分析】根据题意画出图形，过A作AH⊥CB交CB的延长线于H．分两种情形：若AB＜
BC，则AB+AC＝2BC＝8；若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，分别利用参数构建方程求解即可．
【详解】解：过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
①若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8，设BH＝x，
在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，
∴AB＝2x，AH＝ BH＝ x，∴AC＝8﹣2x，
在Rt△ACH中，则有（ x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，
解得x＝ ，∴AH＝ ，∴S ABC＝ BC×AH＝ ×4× ＝ ；
△
（2）若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，
设BH＝x，则AB＝2x，AH＝ x，AC＝4x﹣4，
在Rt△ACH中，则有（ x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，解得x＝ 或x＝0（舍去），
∴S ABC＝ BC×AH＝ ×4× ＝ ，故答案为： 或 ．
△
【点睛】本题考查了“优三角形”以及“优比”的新定义问题，解题时用到了三角形的三
边关系、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．（2022·湖南·澧县王家厂镇中学一模）有一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其
中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3，如把（2，－5）放入其中，就会得到22＋2×（－
5）－3＝－9，现将实数对（m，－5m）放入其中，得到实数8，则m＝_____．
【答案】11或－1
【分析】根据题意将实数对（m，－5m）放入其中可得： =8，然后解二元一次方
程即可．
【详解】解：将实数对（m，－5m）放入其中可得：
∴ ，解得：m=11或m=-1．故答案为11或－1．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意列出二元一次方程成为解答本题的关
键．
三．解答题
14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）方程直接用开平方法求解即可；
（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．
【解析】(1) ，
，
，
∴ ；
(2) ，
，
，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法
是解题的关键．
15.（2022•牡丹江期中）解用分解因式解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】利用因式分解法求解即可；
【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0
∴x ＝3，x ＝9
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
16.（2022•台安县期中）解用分解因式解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，
∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，
解得x ，x ＝8．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
17.（2022•河口区校级期中）用因式分解法解方程：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4．
【分析】直接利用十字相乘法解方程得出答案．
【解答】解：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4，
（2y﹣1）2+3（2y﹣1）﹣4＝0，
（2y﹣1+4）（2y﹣1﹣1）＝0，
解得：y ，y ＝1．
1 2
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解
题关键．
18．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程：
(1) （配方法）
(2) （运用公式法）
(3) （分解因式法）
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（3）先移项，然后利用因式分解法解方程；
(1)
解： ，
∴ ，
∴∴ ，
(2)
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开
平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的
关键．
19．（2022·河南驻马店·九年级期末）如果关于x的一元二次方程 有
两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一
元二次方程 的两个根是 ， ，则方程 是“邻根方程”．通过
计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
(1)x2-5x+6＝0 (2)
【答案】(1)方程 是邻根方程． (2)方程 不是邻根方程
【分析】（1）求得一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义进行判断即可；
（2）求得一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义进行判断即可．
【解析】 (1)解： ∴ ，
∵ 符合邻根方程的定义 ∴方程 是邻根方程．
(2)解：
，∵ 不符合邻根方程的定义 ∴方程 不是邻根方程
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，涉及了因式分解法和公式法，解题的关键是掌
握一元二次方程的求解方法，理解题意，掌握邻根方程的定义．
20．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）已知关于 的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根．第三边 的长为6，当
是等腰三角形时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)7
【解析】
【分析】
（1）证明 ≥0即可；
（2）求出方程的解，根据 ABC是等腰三角形分类讨论即可．
△
(1)
△
证明：∵Δ＝(k＋1)2−4(2k−2)
＝k2＋2k＋1−8k＋8
＝k2−6k＋9
＝(k−3)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)
解：原方程分解因式得：(x−2)[x−(k−1)]＝0，
∴x＝2，x＝k−1，
1 2
当等腰三角形的腰是2时，2＋2＜6，不合题意，
∴等腰三角形的腰是6，
∴k−1＝6，
∴k＝7．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，
求出方程的根．
21．（2022·安徽芜湖·二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆
成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2
中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案
中盆景和盆花的数量；
(3)若有n（n为偶数，且 ）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要
盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)12；42
(2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110
(3)
【解析】
【分析】
（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图
中盆景的数量为： ；盆花的数量为： ，将 代入求解即可；
（2）由题意知， ，求出满足要求的 值，进而可得盆景，盆花的数量；
（3）根据推导出的一般性规律作答即可．
(1)
解：由图可知，盆景的数量依次为： 、 、 、 、
盆花的数量依次为： 、 、 、 、
∴可推导出一般性规律：图 中盆景的数量为： ；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为： ；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
(2)
解：由题意知，
整理得
解得 ， （不合题意，舍去）
当 时，盆景数量为 ，盆花数量为∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
(3)
解：由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性
规律．
22．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）阅读理解
材料一：若p，q，m为整数，且三次方程 有整数解t，则将t代入方程
得 ，移项得 ，即有 ，由于
与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程 的整数
解只可能是m的因数．
材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法．
例 解方程 ．
解：∵2的因数有 ， ，将它们分别代入原方程，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴ 是方程 的整数解．
∴ 有因式 ．
利用竖式除法，可得
∴ ．
∴原方程化为 ．
∴ 或 ．∴原方程的解为 ， ， ．
根据以上的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程 的整数解可能有哪些？并求出它的整数解；
(2)把多项式 在有理数范围内因式分解；
(3)解方程 ．
【答案】(1)可能有 ， ；整数解为
(2)
(3) ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得方程 的整数解可能有 ， ．再分别代入方程，即
可求解；
（2）由（1）可知，方程的整数解为 ，所以 有因式 ．然后利用竖
式除法计算，即可求解；
（3） 的因数有 ， ，将它们分别代入方程，可得 有因式 ．然后
利用竖式除法计算，即可求解．
(1)
解：∵3的因数有 ， ，
∴方程 的整数解可能有 ， ．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 是方程 的整数解．
(2)
解：由（1）可知，方程的整数解为 ，所以 有因式 ．∵
∴ ．
(3)
解：∵ 的因数有 ， ，将它们分别代入方程，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 有因式 ．
利用竖式除法得:
∵
∴ ．
∴原方程化为 ．
∴ 或 ．
∴原方程的解为 ， ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，理解阅读材料，利用类比思想解答是解题的关
键．
