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专题 05 直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程
考点一 直接开平方法解一元二次方程 考点二 配方法解一元二次方程
考点三 配方法的应用 考点四 根据判别式判断一元二次方程根的情况
考点五 根据一元二次方程根的情况求参数 考点六 公式法解一元二次方程
考点一 直接开平方法解一元二次方程
例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3) ； (4)100（x－1）2＝121．
【变式训练】
1.（2022·广东·模拟预测）方程 的解是_______．
2．（2022·全国·九年级）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义
＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x＝___．
考点二 配方法解一元二次方程
例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：
(1) ； (2)
【变式训练】
1.（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程： ．
考点三 配方法的应用
例题：（2022·全国·九年级）当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为 _____．
【变式训练】
1．（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式 的最小值是_______．
2．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式 的最小值．
∵
∴
∴当 时， 有最小值 ．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式 的值都是正数．
考点四 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例题：（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是（ ）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
2．（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）已知两个关于x的一元二次方程
，其中 ．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
考点五 根据一元二次方程根的情况求参数
例题：（2022年湖南省岳阳市中考数学真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的取值范围是______．
【变式训练】
1．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于 的一
元二次方程 的两个根，则 的值为_______．
2．（2022·辽宁本溪·三模）若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是
_____．
考点六 公式法解一元二次方程
例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2) ．（公式法）
【变式训练】
1.（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：
(1) ； (2)
2.（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程 是一元二次方程．(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
一、选择题
1．（2022·河南许昌·九年级期末）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西防城港·九年级期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入 的值为（ ）
A． B． C．3或 D．2或
4．（2022·河北廊坊·二模）已知关于 的一元二次方程 有解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
二、填空题5．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的方程 无实数解，则m的取值范围
________．
6．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程 的一个根为－1，则m的值是
______．
7．（2022年上海市松江区中考二模数学试题）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那
么 的值是____________．
8．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
三、解答题
9．（2021·河北保定·九年级期中）用适当的方法解下列方程．
(1) ；
(2) ．
10．（2020·全国·九年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
11．（2022·全国·九年级）（1）请用配方法解方程 ；
（2）请用配方法解一元二次方程 ．
12．（2022·全国·九年级）下面是聪聪同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．．
解： ，…………………………………第一步
，……………………………………………第二步
，即 ，………………第三步
，………………………………………………第四步
．………………………………………………第五步
(1)任务一：
填空：①以上解方程的步骤中，第______步利用完全平方公式配方．
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)任务二：请直接写出该一元二次方程的正确解．
(3)任务三：除上述错误外，请你根据平时的学习经验，写出一条利用配方法解一元二次方程时要注意的事
项．
13．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4
(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
14．（2020·全国·九年级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；
15．（2022·河南漯河·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实
数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)当k取满足条件的最小整数时，求出方程的根．16．（2022·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习）已知关于 的一元二次方程：
．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰 的一边长 ，另两边长 、 恰好是这个方程的两个实数根，求 的周长．
17．（2022·全国·九年级）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通
过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：
x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1
∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1
试利用“配方法”解决以下问题：
(1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，则代数式A＝ ，常数B＝ ；
(2)已知a2＋b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值；
(3)已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．
18．（2022·全国·九年级）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运
算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
(3)求x2+8x+7的最小值．
