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专题 05 直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程
考点一 直接开平方法解一元二次方程 考点二 配方法解一元二次方程
考点三 配方法的应用 考点四 根据判别式判断一元二次方程根的情况
考点五 根据一元二次方程根的情况求参数 考点六 公式法解一元二次方程
考点一 直接开平方法解一元二次方程
例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3) ； (4)100（x－1）2＝121．
【答案】（1） ；（2）x＝ 或x＝﹣ ；(3) ， ；(4)x＝ ，x＝－
1 2
【解析】
【分析】
把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．
【详解】
解：（1） ，
，
，
．
（2）4（x﹣1）2＝9，
则（x﹣1）2＝ ，
故x﹣1＝± ，
解得：x＝ 或x＝﹣ ．(3)
移项得： ，
开平方得： ，
解得： ， ；
(4)解∶ （x－1）2＝ ，
x－1＝± ，
即x＝ ，x＝－ ．
1 2
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．
【变式训练】
1.（2022·广东·模拟预测）方程 的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移项化为 ，再利用直接开平方的方法解方程即可.
【详解】
解：
即
或
故答案为：【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.
2．（2022·全国·九年级）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义
＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，
∴ ，
∴ ，
∴x＝ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程，理解并运用新定义是解题的关键．
考点二 配方法解一元二次方程
例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1) ； (2)
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；
（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
(1)
解： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，
开平方得： ，
∴ ， ．
(2)
，
，
，
，
，
解得 ．
【点睛】
本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
2.（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程： ．
【答案】 ,
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程．
【详解】
解：x2+4x=8，
x2+4x+4=8+4，
，
，
， ．
【点睛】
本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．考点三 配方法的应用
例题：（2022·全国·九年级）当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为 _____．
【答案】 -1 1
【解析】
【分析】
利用配方法将多项式a2+2a+2，转化为（a+1）2+1，然后利用非负数的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，
∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1．
故答案为：﹣1，1．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式
子的值．
【变式训练】
1．（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式 的最小值是_______．
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】
利用配方法得到： ．利用非负数的性质作答．
【详解】
解：因为 ≥0，
所以当x=1时，代数式 的最小值是 ，
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
2．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式 的最小值．∵
∴
∴当 时， 有最小值 ．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式 的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当 时， 有最大值
(3)证明见详解
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得 ，然后问题可求解；
（3）由题意可得 ，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∵
∴
∴当 时， 有最小值 ．
(2)解：由题意得： ，
∵
∴
∴当 时， 有最大值 ．
(3)
解：由题意得：
=
= ；
∵
∴ ，
∴无论x和y取任何实数，代数式 的值都是正数．
【点睛】
本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
考点四 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例题：（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】
解：A．选项实数根为 ，故该一元二次方程有两个相等的实数根；B．选项实数根为 和 ，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；
C．选项依题意得： ，则 ，故该一元二次方程没有
实数根；
D．选项实数根为 ，故该一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式， 时一元二次方程有实数根．
【变式训练】
1．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】
解：对于关于x的方程 ，
∵ ，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实
数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根． ⇔
2．（2022·福建省⇔福州外国语学校八年级期末）已知两个关⇔于x的一元二次方程
，其中 ．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
【详解】
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正
确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N
也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的
一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，
x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数
根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方
程的解等知识，掌握它们是关键．
考点五 根据一元二次方程根的情况求参数
例题：（2022年湖南省岳阳市中考数学真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到 ，然后解不等式求出 的取值即可．【详解】
解：根据题意得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，
方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
【变式训练】
1．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于 的一
元二次方程 的两个根，则 的值为_______．
【答案】12或16
【解析】
【分析】
分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别
式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当6为等腰三角形的腰长时，则
关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x=6
1
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
则方程为 x2−8x+12=0
解方程，得另一个根为x=2
2
∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；
（2）当6为等腰三角形的底边长时，则
关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根
∴根的判别式解得，m=16
则方程为x2−8x+16=0
解方程，得 x=x=4
1 2
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．
综上，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正
确分两种情况讨论是解题关键．
2．（2022·辽宁本溪·三模）若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是
_____．
【答案】 且
【解析】
【分析】
由关于 的一元二次方程 有实数根，知△ 且 ，解之即可．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程 的
根与△ 有如下关系：①当△ 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△ 时，方程有两
个相等的两个实数根；③当△ 时，方程无实数根．千万要注意一元二次方程二次项系数非零．
考点六 公式法解一元二次方程
例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2) ．（公式法）
【答案】(1)x＝ ，x＝ ；(2) ，
1 2
【解析】
【分析】
（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝ ，
∴x＝ ，x＝ ．
1 2
(2)
解：
则
解得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：
(1) ； (2)
【答案】(1) ，(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
（1） ，
， ， ， ，
，
， ，
(2)
解：方程 中的 ，
，
则 ，
故 ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
2.（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程 是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2) ，
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高
次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
(1)
关于x的方程 是一元二次方程，
解得
(2)
方程为 ，
即 ，
，
解得 ，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·河南许昌·九年级期末）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方差公式即可求解．
【详解】
解： ，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用完全平方差公式进行配方过程是解题的关键．
2．（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式逐个检验即可求解．
【详解】
解：A. ， ， ，故该选项有解，不符合题意；
B. ， ， ，故该选项有解，不符合题意；
C. ， ，故该选项有解，不符合题意；
D. ， ，，故该选项无解，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，以上知识是解题的关键．本题考查
了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解根的判别式对应的
根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
3．（2022·广西防城港·九年级期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入 的值为（ ）
A． B． C．3或 D．2或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据运算程序可知 ，计算求解即可．
【详解】
解：由题意可知
∴
解得 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程．
4．（2022·河北廊坊·二模）已知关于 的一元二次方程 有解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义以及 的意义得到k-1≠0且 ≥0，即4+4（k-1）≥0，然后解
不等式组即可得到k的取值范围． △ △
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴k-1≠0且 ≥0，
即k-1≠0且△4+4（k-1）≥0，解得 且k≠1．
故选D
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的定义．
二、填空题
5．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的方程 无实数解，则m的取值范围
________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据没有实数解可得m+1<0，解之即可．
【详解】
∵ 无实数解，
∴m+1<0，
解得
故答案为 ．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及平方根的概念，解题关键是知道负数没有平方根．
6．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程 的一个根为－1，则m的值是
______．
【答案】1或-1
【解析】
【分析】
将x=-1代入方程,解关于m方程 即可．
【详解】
解：将x=-1代入方程 得到 ,解得m=1或-1．
故答案为：1或-1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，已知方程的解时应将解代入方程求某字母系数的值．
7．（2022年上海市松江区中考二模数学试题）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那
么 的值是____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先把方程化成一元二次方程一般式，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵a－b2＝4
∴将 代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
三、解答题
9．（2021·河北保定·九年级期中）用适当的方法解下列方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
(1)
解：方程两边同除以2得：
开方得：
∴
(2)
解：
移项得：
配方得：
化简得：
开方得：
∴ ， ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（2020·全国·九年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)x= ，x=
1 2
(2)x= ，x=
1 2
(3)x=x=-
1 2(4)方程无解
【解析】
【分析】
（1）用公式法求解即可；
（2）用公式法求解即可；
（3）用直接开平方法求解即可；
（4）用公式法求解即可．
(1)
解： ，
2x2+8x-1=0，
∵Δ= =72>0，
∴x= ，
∴x= ，x= ；
1 2
(2)
解： ，
3x2-11x+9=0，
∵Δ= >0，
∴x=
∴x= ，x= ；
1 2
(3)
解： ，
(2x+1)2=0
2x+1=0，∴x=x=- ；
1 2
(4)
解： ，
∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，
∴方程无解．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解
题的关键．
11．（2022·全国·九年级）（1）请用配方法解方程 ；
（2）请用配方法解一元二次方程 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半
的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半
的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
【详解】
解：（1）
两边同时除以2得： ，
移项得： ，
两边同时加上 得： ，
配方得： ，解得： ；
（2）
两边同时除以 得： ，
移项得： ，
两边同时加上 得： ，
配方得： ，
当 时，
解得： ，
当 时，
，
当 时，
该方程无实数根．
【点睛】
本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否
需要分类讨论．
12．（2022·全国·九年级）下面是聪聪同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解： ，…………………………………第一步
，……………………………………………第二步
，即 ，………………第三步
，………………………………………………第四步．………………………………………………第五步
(1)任务一：
填空：①以上解方程的步骤中，第______步利用完全平方公式配方．
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)任务二：请直接写出该一元二次方程的正确解．
(3)任务三：除上述错误外，请你根据平时的学习经验，写出一条利用配方法解一元二次方程时要注意的事
项．
【答案】(1)①三；②四， 开平方时有两个平方根，过程中只写出了一个；
(2) ， ；
(3)答案不唯一，如移项要变号．
【解析】
【分析】
（1）①根据完全平方公式即可得出答案，②由一个正数有两个平方根，从而得出答案；
（2）根据配方法求解一元二次方程即可得出答案；
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出配方时的注意事项．
(1)
解：①由完全平方公式 可得， ，
第三步利用完全平方公式配方；
② 一个正数有两个平方根，过程中 只写出了一个平方根，
第四步开始出现错误，这一步错误的原因是 开平方时有两个平方根，过程中只写出了一个；
故答案为：①三；②四， 开平方时有两个平方根，过程中只写出了一个；
(2)
解： ．
，，
，
即 ，
，
， ，
(3)
解：因为利用配方法求解一元二次方程的步骤为：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系
数，使二次项系数为1 ，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左
边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； .⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非
负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一-对共轭虚根．
所以利用配方法解一元二次方程时要注意的事项不唯一，可以是移项时要变号，也可以是开平方时有两个
平方根等．
【点睛】
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4
(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)k≤2且k≠1
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，然后解关于k的方程
即可；
（2）利用判别式的意义得到k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
(1)
方程化为：（k-1）x2-4x+4=0，
根据题意得Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，解得k= ；
(2)
根据题意得：k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，
解得k≤2且k≠1，
即k的取值范围为k≤2且k≠1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（2020·全国·九年级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；
【答案】(1)见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）先求出方程的两根为x＝ ，x＝﹣1．再根据题意方程有两个互不相等的负整数根，可得
1 2
＜0．从而得到0＜m＜4．再由m为整数，且 ，可得m＝1或2．即可求解．
(1)
解：根据题意得∶
△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有两个实根；
(2)
解∶∵ ，
∴x＝ ＝ ，x＝ ＝﹣1．
1 2
∵方程有两个互不相等的负整数根，∴ ＜0．
∴ 或 ，
∴0＜m＜4．
∵m为整数，且 ，
∴m＝1或2．
当m＝1时，x＝ ＝﹣3≠x，符合题意；
1 2
当m＝2时，x＝ ＝﹣1＝x，不符合题意；
1 2
∴m＝1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程解的情况求参数，熟练掌握一元二次方程根
的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．
15．（2022·河南漯河·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实
数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)当k取满足条件的最小整数时，求出方程的根．
【答案】(1) 且
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k
的取值范围；
（2）依照题意，找出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论．
(1)
∵关于x的一元二次方程（k+1）x2-2kx+k-2=0有两个不相等的实数根，∴ ，
解得：k＞-2且k≠-1，
∴实数k的取值范围为k＞-2且k≠-1．
(2)
∵k＞-2且k≠-1，
∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2-2=0，
解得： ．
【点睛】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据一元二次
方程的定义及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据题意，确定k的值．
16．（2022·安徽·马鞍山中加双语学校八年级阶段练习）已知关于 的一元二次方程：
．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰 的一边长 ，另两边长 、 恰好是这个方程的两个实数根，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先计算 ，化简得到 ，易得 ，然后根据 的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根 ， ，则可设 ， ，然后讨论：当 、
为腰；当 、 为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
(1)
证明：
，无论 取什么实数值， ，
，
无论 取什么实数值，方程总有实数根；
(2)
解： ，
， ，
， 恰好是这个方程的两个实数根，设 ， ，
当 、 为腰，则 ，即 ，解得 ，此时三角形的周长 ；
当 、 为腰时， ，此时 ，故此种情况不存在．
综上所述， 的周长为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个不相等的
实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及
分类讨论思想的运用．
17．（2022·全国·九年级）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通
过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：
x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1
∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1
试利用“配方法”解决以下问题：
(1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，则代数式A＝ ，常数B＝ ；
(2)已知a2＋b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值；
(3)已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．
【答案】(1)x﹣1；3
(2)-6
(3)M＜N
【解析】
【分析】
（1）根据配方法进行解答，即可求解；（2）先移项，再利用配方法，得到（a﹣3）2+（b+2）2＝0，可得到a，b的值，即可求解；
（3）用作差法进行比较，即可求解．
(1)
解： x2﹣2x+4
＝x2﹣2x+1+3
＝（x﹣1）2+3，
故答案为：x﹣1；3；
(2)
解：∵a2+b2＝6a﹣4b﹣13，
∴a2﹣6a+9+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣3）2+（b+2）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴ab=3×（-2）=-6；
(3)
解：∵N﹣M＝2x2﹣1﹣（4x﹣5）
＝2x2﹣1﹣4x+5
＝2x2﹣4x+4
＝2（x2﹣2x+1）+2
＝2（x﹣1）2+2，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2+2＞0，
∴N﹣M＞0，
∴M＜N．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，利用作差法比较大小是本题的关键．
18．（2022·全国·九年级）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运
算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
(3)求x2+8x+7的最小值．
【答案】(1)4；
(2)（a﹣5）（a﹣7）；
(3)-9
【解析】
【分析】
（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将x2+8x+7转化为（x+4）2﹣9，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
(1)
解：a2+4a+4=（a+2）2，
故答案为：4；
(2)
解：a2﹣12a+35
=a2﹣12a+36﹣1
=（a﹣6）2﹣1
=（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
=（a﹣5）（a﹣7）；
(3)解：x2+8x+7
=x2+8x+16﹣9
=（x+4）2﹣9，
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2﹣9≥﹣9，
∴x2+8x+7的最小值为﹣9．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．
