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专题05 直角三角形的边角关系（难点）
一、单选题
1．在 中， ， ， ，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图， 与地面平行，点A、B、
D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线 方向调节．已知， ， ，车轮半径
为 ， ，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为 时骑着比较舒适，此时 的长约为
（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
4．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条
地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
1A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
5．因为 ， ，所以 ；因为 ，
，所以 ，由此猜想，推理知：一般地当 为锐角时有
，由此可知： （ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在矩形 中， 为边 上一点，将 沿直线 翻折，使得点 的对应点 落在
边上．若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在四边形 中， ， ， 为边 上的点， 为等边三角形， ，
，则 的值为（ ）
2A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°， ，把 沿着AC翻折得到
，若 ，则线段DE的长度（ ）
A． B． C． D．
9．如图，设锐角 的三条高 相交于 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形 的边长为2，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上的一点，连接
分别交 ， 于点 、 ，且 ，连接 ，则以下结论：① 为 的中点；②
3；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上动点，
连接 、 ．若 ，则线段 的最小值是 ．
12．如图，在正方形 中，E是边 的中点，将 沿直线 翻折后，点B落在点M处，连接
并延长与边 交于点N，那么 的值为 ．
13．如图，在平行四边形 中， ，E是 边上的点， ， ，F是 边上
的一点，且 ，若M、N分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ．
414．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点 ， ，点C在x轴负半轴上，连
接 ， ，若 ，以 为边作等边三角形 ，则点C的坐标为 ；点D的坐标为
．
15．如图，在反比例函数 的图象上有一动点A，连接 并延长交图象的另一支于点B，在第二象限
内有一点C，满足 ，当点A运动时，点C始终在函数 的图象上运动，若 ，则k
的值为 ．
16．如图，将边长为 的等边 折叠，折痕为 ，点B与点F重合， 和 分别交 于点
M、N， ，垂足为D， ，则重叠部分的面积为 ．
517．如图，正方形 中，点 为 上一点，点 为 延长线上一点， ，连接 相交于
点 ，连接 ，则以下结论中，① 为等腰直角三角形；② ；③ ；④
；⑤当 时， ，其中正确的是 ．
18．如图，正方形 中， 、 是 上的两个动点 不与端点重合 ，且 在 的左侧且
不与 重合 ， 交 于 ， 交 于 ，设 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
19．如图1和图2，在 中， ， ，点 在 上，且 ，点 从点 出发
沿折线 以每秒2个单位匀速运动，同时点 从点 出发以每秒1个单位向点A运动，连接 ，
其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒．
6(1)当点 在 上时， ______（用含 的代数式表示）；
(2)当点 在 上运动时，
①点 与点A的最短距离为______，此时 的值为______；
②求出点 到直线 的距离（用含 的代数式表示）；
(3)在整个运动过程中，当 与 的一边平行时，求出 的值；
(4)当点 在 上运动时，是否存在某一时刻，使得 ，若存在，直接写出 的值，若不存在，
请说明理由．
20．如图1，在梯形 中， ， ， ， ， ，点 在
边上，且 ，过点 作 交 于点 ，点 、 分别在射线 和线段 上．
(1)求线段 的长；
(2)如图2，当点 在线段 上（点 与点 不重合），且 ，设 ， ，
求 关于 的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)如果 为等腰直角三角形，求线段 的长．
21．如图，在平面直角坐标系中， ，连接 ，将 沿 轴翻折，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 是线段 上一点，连接 ，交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，设 的面积为 ，
求 与 的关系式（不要求写出 的取值范围）．
(3)在（2）的条件下，过点 向 作垂线，交 于点 ，延长线交 于点 ，连接 并延长，交
于点 ，且 ，过点 作 轴的垂线，与 延长线于 ，与 延长线于点 ，求 的长．
22．问题探究：
7（1）如图①，已知线段 ，在 的两侧分别作等边 和 ， 、 分别为两个三角
形的中线，连接 ，则 的最大值为_______________；
（2）如图②，分别以 为直角边在 左侧作 ，以 为斜边在 右侧作 ，且
， ，请求出 的值；
问题解决：
（3）如图③，已知边长为a的正方形 ，点E是边 延长线上一动点 的最小值？如果存在，求
出 ；如果不存在，请说明理由．
23．综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，若 ，则 与 的数
量关系为________．
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形 折叠，使点B落在 边的中点E处，点A落在点F处，
折痕交 于点M，交 于点N，则线段 的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形 中， ，点E在边 上，点P，Q分别在边 ， 上，
且 ，则 的值为________
【综合应用】如图4，正方形 的边长为12，点F是 上一点，将 沿 折叠，使点B落在
8点 处，连接 并延长交 于点E．若 ，求 的长度．
24．如图1和图2，平面上，四边形 中， ， ， ， ， ，点M
在 上，且 ．将线段 绕点M顺时针旋转 到 ． 的平分线 所在的
直线交折线 于点P，设点P在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
(1)若点P在 上，求证： ；
(2)如图2，连接 ，求 的度数，并直接写出 时，x的值；
(3)如图3和图4，若点P到 的距离为2，求 的值．
25．【探究发现】如图1，正方形 的对角线交于点O，E是 边上一点，作 交 于点
F；学习小队发现，不论点E在 边上运动过程中， 与 恒全等.请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形 的对角线交于点O， ，E是 延长线上一点，将 绕点O
逆时针旋转 得到 ，点F恰好落在 的延长线上，求 的值；
【拓展提升】如图3，等腰 中， ，点E是 边上一点，以 为边在
的上方作等边 ，连接 ，取 的中点M，连接 ，当 时，直接写出 的长.
26．如图，在锐角 中， ，点D，E分别是边 ， 上一动点，连接 交直线 于点
9F．
(1)如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点C顺时针方向旋转 得到线段 ，连
接 ，点N是 的中点，连接 ．在点D，E运动过程中，猜想线段 ， ， 之间存在的数量
关系，并证明你的猜想；
(3)若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，点H是 的中点，
点K是线段 上一点，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．在点D，
E运动过程中，当线段 取得最小值，且 时，请直接写出 的值．
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